С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Если известно решение этой системы, то р, и, о могут быть получены с помощью уравнений др ди ! ди ! 1з, — = — — г — = — — 3. д/ =г' ' д/ = Ро о д/ Ро пришли к симметрической системе шестого д дк Π— !со о ΠΠ— (с„' — Р) Б р ду и которая при !1!(со является гиперболической. Следующий пример расширения мы получим, заметив, что при произвольных параметрах /с, 1 линейная комбинация производных от р, и = р, — /гр„— 1р„ В результате мы порядка: !.......О сои с) — /о д/ ! О....,,, 1 Π— с,'...
— с, 'О О О О О.... /о)...ΠΠ— ( (с„' — /о) О О О /+ /о ! — — г Ро ! — — 3 Ро гео гГЛ. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ При этом, как нетрудно убедиться, производные от л, йс дл дл дл 8== —, 6=---, х==--, г=р„, а=ру д! ' дх' оу' и сами л, р, и, о являются решениями уравнений: ! дг дд с„'д! дх дд д! дх д — — — О, у дб дх О, др др — — — гг - -— д! дх дг дг - — й --— д! дх (2) дх д! дб й — „=б, дл — =В д! дх дс д! дх ди ! --= — — -г, д! Ро которые также образуют (при любых й, !) симметрическую гиперболическую систему.
Третий вид расширенной системы можно получить, если воспользоваться тождеством (дг+ д д )(д! д"- д' ) ' (дгг х(д Я + д ~)1= =(,) ггх ! д'р д'р г д'р = (- — ) — — 2! — +(й+!) —. с,') ды дгду ду- ' 1 — — ) —, — 2! — -г- (й'+(х) — = ( —.) Ус ! д'р д'р , х х д'р с„ ') дгс д! ду ду' — +)г -"- — ! ' = 0+йб — (х, д! дх ду которое допускает еще и следующую запись: )( 'О ) д !с,', д ( (др гс'„др( д! с," — Ф! ду) (д! с'„— хх ду) с„'ггх (Ах+и — с„'! д'р с„' (с2 — Ух!х дух с( — Ес Введи обозначения !с! с ~ Ф ~ )Гус+Н вЂ” с,', с„' — А' ! с' В !с„'— Д'( РУ' удовлетворяет волновому уравнению и получить для давления р уравнение др ! д.— — л, у (--=б, дг ду дх 1- — =к, ду дс ! — — — — 3, д! р, $ ге! теоремА едггнственности /, д уравнения первого порядка: (О + Йб — /к), (3) с А ! 1«ьг+П вЂ” с„' д/ >сг /гг! ду "--=О, др /с, "др д1 сг — Аг ду получим для Р д/ 1с! д/ д1 с-„"— /гг ду ду 1с-'„ду д1 с„'— Аг ду Компоненты и, о скорости удовлетворяют уравнениям: гги ! ( 1!/г! ~с1 — /г'~ д1 р„и ) с,(с,',— /г'! 1' /гг+/г — с(й]' дс 1с1 — И~ д/ с, , '/г ! )«/гг+ Р— с,', (4) представляющим собой запись в новых обозначениях равенств: ди ! др дс ! др д1 рг дх' д1 рц ду ' «=Рх з=ру! для третьего расширения (Впг, пг) = — 296.
Напомним еще, что для осуществимости первого из наших расширений необходимо выполнение неравенства г/,'~с„, а для осуществимости третьего — выполнение трех неравенств: й' чь с,'", йи+ /и — сю ) О й ~ О. В дальнейшем (см. 6 15) мы воспользуемся построенными здесь примерами при анализе смешанной задачи, Е С.
К. ГРА« Если объединить уравнения для 0, 6, к, и из (2) с уравнени- ями (3), (4) для /, д, Р, и, гг, мы придем к замкнутой системе девятого порядка, которая тоже может считаться расширением уравнений акустики. Это последнее расширение является симмет- рической гиперболической системой, только если /ги+/и — с„') О, /!гаусс, /1 чь О.
Все три приведенных сейчас примера расширений уравнений акустики имеют внд симметрических гиперболических систем Ад'" ) Вд" ) сдм /, д/ дх ду Для дальнейшего нам важно о~метить, что связанные системами квадратичные формы (Внг, нг) имеют вид для первого расширения (Вгр, пг)= — 2с";,/«, где /=Р,— /Р„, «=р; для второго расширения (Внг, пг) = — 286 — й(«'+ах+ р'), д д 6=;11.
(Рг — ЕРх — /РЕ! 6 — д (Р— Рх — Ри) !б2 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ )ГЛ. П $13. Условие неотрицательности квадратичной формы, связанной с интегралом энергии Конус векторов, связанных с неотрицательно определенными нвадратичными формами интеграла энергии. Его выпуклость. Способ вычисления границы этого конуса. Неравенство т+Н ($, Ч)»0 и определение Н (й, Ч).
Однородность и вытекающее из нее равенство ЕНь+ЧНч — — Н. Примеры: гиперболическая система с двумя независимыми переменными х, ! в канонической форме и уравнения теории упругости. Замечание о случае переменных коэффициентов. В предыдущем параграфе при исследовании интегралов энергии мы столкнулись с необходимостью изучать такие поверхности В, на которых ~ ~ ([тА + иВ+ э)С] и, и) сЬ '=- О; здесь т, $, Ч вЂ” компоненты вектора нормали к поверхности В; А, В, С вЂ” симметрические матрицы, причем А положительно определена.
Мы сейчас фиксируем некоторую точку (х„т„уо) пространства и рассмотрим для матрьщ А, В, С, описывающих коэффициенты некоторой системы в этой точке, множество всех тех векторов (т, С, т)), для которых тА+йВ+т)С неотрицательно определена. Во-первых, заметим, что вектор т = 1, й = О, т) = О отвечает, по условию, положительно определенной форме тА +$В+ЧС.
Отметим также, что вместе с каждым вектором (т, Е, т)), отвечающим положительно (неотрицательно) определенной форме, любой вектор т = рт, $ = р$, т) = рЧ при р ) О также дает положительно (неотрицательно) определенную матрицу тА+сВ+Г)С = = )з(тА+йВ+т)С). Это утверждение можно сформулировать так: Векторы, ол!вечающие положит!сельпо (неотрииательно) определенным форд!ил~, образуют конус. Покажем, что конус векторов (т, Е, з)), отвечающих положительно определенным формам, является выпуклым. Действительно, пусть т,(Аи, и)+Ез(Ви, и)+т),(Си, и)»х,(и, и), т,(Аи, и)+$з(Ви, и)+т)з(Си, и)="-х,(и, и). Любой вектор (т, $, т)), лежащий на отрезке, соединяющем концы векторов (т„$„Ч,), (тз, $„з)з), может быть представлен в форме т = (1 — а) тз+ ат„$ = (1 — а) с!+ а~з, т) = (1 — а) т), + ат), с неотрицательным а, не превышающим 1.
Отсюда ясно, что т(Аи, и)+$(Ви, и)+т) (Си, и)»[(1 — а) х,+ахз](и, и)» » пип [х„х,] (и, и). Это неравенство и означает положительную определенность. нвотеицхтельность квхдРАтичнои ФОРмы щз Итак, мы видим, что вместе с каждыми двумя векторами, отвечающими положительно определенным формам, все векторы, являющиеся их линейными комбинациями с положительными коэф- фициентами, тоже отвечают таким формам. Таким образом, конус векторов (т, $, т1) с положительно определенными формами явля- ется выпуклым и содержит вектор (1, О, 0), перпендикулярный плоскостям (=сонэ(. Этот конус не совпадает со всем простран- ством, так как вектору ( — 1, О, 0) отвечает отрицательно опре- деленная форма.
Рассмотрим векторы, лежащие на границе конуса положи- тельно определенных форм. В силу непрерывности квадратичной формы т (Аи, и)+ В (Ви, и)+ т1 (Си, и) относительно вектора (т, Р, т1) эта форма на границе конуса будет неотрицательно определенной: т(Аи, и)+В(Ви, и)+ч((Си, и) )О. С другой стороны, для вектора (т„$„Ъ), лежащего на гра. нице конуса, эта форма не может быть положительно определен- ной, так как в противном случае выполнялось бы неравенство т,(Аи, и)+$,(Ви, и)+т1,(Си, и))х О, если (и, и) =1, которое в силу непрерывности квадратичной формы было бы справедливо и для всех векторов (т, К, т1), близких к (т„~ч, т(,). Это противоречит тому, что (т„$„, т(,) — граничный вектор.
Из алгебры известно, что квадратичная форма симметрической матрицы т (Аи, и) + с (Ви, и) + 11 (Си, и) будет положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее собственные значения положительны, и эта форма будет неотрицательно определенной тогда и только тогда, когда все ее собственные значения неотрицательны. Поэтому неотрицательность квадратичной формы, не являющейся положительно определенной, влечет за собой равенство нулю одного из характеристических корней ее матрицы.
Отсюда ясно, что для векторов (т, $, Ч), лежащих на границе конуса положительно определенных форм, бе11тА+ЕВ+т1С( =О. Конус векторов, которые удовлетворяют последнему равенству, называется, как мы знаем 8 6), конусом характеристических нормалей. Он делит все пространство на несколько частей. Рассмотрим ту часть, которая содержит вектор (1, О, 0). Мы показали, что эта часть пространства совпадает с теми векторами (т, $, я), для которых форма положительно определена. Она является выпуклой. Чтобы найти границу конуса положительно определенных форм, надо при каждой фиксированной паре ($, ~)) найти иаиболь- 164 (гл. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРЛБИЕИИЯ ший корень т*(е, т)) уравнения с1е()тА+$В+т)С11= О. Легко видеть, что выполнение неравенства тает*6, Ч) является условием неотрицателъности формы: т (Аи, и) + с (Ви, и) + т1 (Си, и).
Обычно вместо т* Д, Ч) рассматривается функция Н6,Ч)= — т" 6, т)), а конус векторов (т„$, т)), отвечающих неотрицательным формам, задается неравенством: т+ Н Д, т)) ) О. Ясно, что при а) 0 справедливо равенство Н (сто, ггЧ) = аН (с, т)), которое означает, что функция Н является однородной функцией первой степени однородности. Если Н вЂ” дифференцируемая функция, то по теореме Эйлера для однородных функций ",Н,+пН,=Н.
Сейчас проиллкстрируем описанную конструкштю двумя примерами. Первый пример рассмотрим в случае всего двух переменных х, 1, чтобы подчеркнуть независимость наших выводов от числа пространственных переменных. Ясно, что в этом случае Н = Н (й), но при этом может быть, что Н ( — с) эь — Н (ч). Рассмотрим гиперболическую систему в канонической форме: ди ди дг дх — + К вЂ” + г',1и = ~, Здесь А = Е (единичная матрица), В = К, т+ггга о бе11 тА + ЕВ ,'~ = с(е() тЕ + ЕК ), '= с1с1 + " О т+ и„) = (т+ /гД) (т + /гД)...
(т+ /г„,'„). Уравнение 11е1~(1тЕ+$К(~1=0 определяет конус характеристических нормалей: п прямых т+ ггД = О, которые делят плоскость (т, ~) на некоторое число углов. Угол, содержащий вектор т= 1, с=О, ограничен лучами прямых т+ггД=О, отвечающих наиболг,шему и наименьшему коэффициентам йр (рис. 34). Функция Н Д) 5Щ неотРицАтельнОсть кВАдРАтичнои ФОРмы всестороннего сжатия и модулем сдвига.
Вывод уравнений теории упругости имеется в курсе механики. сплошных сред. Выписанная система не имеет симметрической формы и по- этому неудобна для наших целей. Поделим последнее уравнение на р, а вместо третьего и четвертого возьмем некоторые их линейные комбинации. После этих преобразований уравнения уп в следующей окончательной форме; ди да~о дои р в —— ' о о( дх ду до дои до,о ' "д~ дх ду Г З((4-4р ЗК вЂ” 2р («(ЗК Ь,) Ар(ЗК+р) -'-' д( ЗК вЂ” 2р ЗК+ 4р д~ — — —,— а,.+ —.'а1 4р (ЗК+р) 4и (ЗК+р) й( Рис. 34.
ругпх волн запишутся ди — '. =-О, дх у=о, ду ди — — = О. ду ! дам да р д( дх определяется здесь так: Н ($) = шах ( — $йД. В качестве второго примера рассмотрим двумерные уравнения теории упругости: ди даоо да„ р --= — + —. од( = дх + ду ' В этой системе уравнений р„— плотность среды, и, о — компоненты вектора скорости перемещения, а;о — компоненты тензора напряжений. Постоянные положительные коэффициенты К и р называются соответственно модулем (бб ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (Га Эта система уже является симметрической системой вида В этом легко убедиться, если, обозначив ит= и, ит=о, ио= ио —— о„, и,=вы, выписать матрицы А, В, С: р, о о о о о р, о о о ЗК+4р 4р (ЗК+ р) ЗК вЂ” 2р 4р (ЗК+р) о А= о о о — 1 о, С= о о Уравнение бе(!!тА+ЕВ+ЧС()=0 для этой системы имеет вид о Ч Ч вЂ” т ЗК вЂ” 2р 4р(ЗК+ р) о ЗК+4р 4р (ЗК+ р) о т р тро О О тро о ЗК+ 4(4 4р (ЗК+р) ЗК вЂ” 2р 4а (ЗК + р) — о Π— Ч Замечая, что ЗК+ 4(т ЗК вЂ” 2р ! т 4р (ЗК+р) 4р (ЗК+р) 2 )т ' и вводя обозначения ЗК+ 4р ЗК вЂ” 2р 4р (ЗК+р) ' 4р (ЗК+р) ' мы перепишем это уравнение менее громоздко: оо Π— $ О О 4о Π— Ч вЂ” о а — ь Π— Ч вЂ” Ь а — — о о Ч О О 2 (а+э) =О, о о — ! о о о о о — о о о о о о о о — ! о о о о ЗК вЂ” 2р 4р (ЗК+ р) ЗК+ 4р 4р (ЗК+ р) о ! р о о о о о о — ! о О О О О О о — ! о о о — о о о о, 161 НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТЬ КВАДРАТИЧНОИ ФОРМЫ 4 м1 а затем раскроем определитель: [а Да+ Ч') — ы (а' — Ь')1[Д+ Ч' — 2со (а+ Ь)1 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
