С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ди ди Например, решая уравнение — + — =0 при х) 0 мы можем задавать значения и не только прн 1=0, но и на некотором отрезке оси 1 (х=О). При этом решение и =((х — 1) определится во всех точках плоскости х, 1, через которые проходят характеристики, пересекающиеся с областью задания начальных данных и граничных условий. Если решение имеет смысл разыскивать только при х)0, 1)0, то его область определения будет иметь вид, изображенный на рис. 48. С этим примером мы встречались в $ 5. Гладкие начальные данные и(х, 0)=гр(х), 0(х(Ь, и(0, 1) =тР(1), 0 1(Т )8( 4 !61 постановка смашлннои чхдхчи должны, конечно, удовлетворять условию согласования гр (0) = тр (0), чтобы решение и (х, () было непрерывным на характеристике ди ди х — ( =О. Так как, в силу уравнения, — = — — †, то для непре- дГ ах рывности производных в точке (О, 0) надо потребовать равенство ф' (0) = — гр' (0).
Если мы знаем, что и(х, () два раза непрерывно дифференцируема, то гр(х), ф(() удовлетворяют еще равенству гр" (0) — зр" (0) =О. В самом деле, для решений выполнены равенства: Разность левых частей этих равенств д дзи дзи — — — =О. дн дх' Рис. 48. Это равенство, рассмотренное в точке х = О, ( =О, как раз и превращается в сформулированное условие гр"(О) — ф"(О) = О. Чем большую гладкость решения мы хотим получить, тем более жесткие условия согласования на начальные данные и граничные условия мы должны накладывать.
С условиями согласования нам придется иметь дело при доказательстве теоремы существования. Прн изучении теоремы единственности мы о них говорить, как правило, не будем. Нам достаточно предполагать, что та или иная задача имеет достаточно гладкое решение, а за счет какого согласования такая гладкость получается, нам пока не важно. Чтобы понять, какие граничные условия надо ставить для тех илп иных гиперболических систем, рассмотрим следующий пример. Пусть в области 0(х(Т., (~0 мы изучаем решения системы диг дик — + — х=О д( дх д( дх диа дпз — — — =О дт дх дп4 — =О. дт Зада ч а.
Выведите условия согласования в точке х=О, (=0 производных третьего и четвертого порядков от начальных и граничных данных. Напомним, что изучаются такие решения уравнения и,+и =О, для которых и(х, 0) = = гр (х), и (О, г) = ф (г). [аа ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ 1! Эта система имеет два семейства характеристик с положительным наклоном: С ВХ вЂ” =2 си и =О, [! 4[и!=0, одно семейство с отрицательным наклоном [[и,=О, и одно — вертикальное — =-0 сх Ж 4[и! =О. и4 (х, 0) = 1р, (х), так как и, постоянна вдоль вертикальных характеристик. Эти характеристики изображены на рис. 49. Значения и, надо задавать Рис.
49. Рис. 50. при 1=0 на отрезке 10, 1) и на оси 1 при 1)0. Из рис. 50, на 4[Х котором изображены характеристики — -=1 (вдоль них и, по- й! стоянна), ясно, что начальные данные и,(х, 0)=1р,(х), 0(х=-1., и[(0, !)=фд([), 0(1, определяют решение всюду в рассматриваемой области. Аналогично, для определения и,(х, !) достаточно задать из (х, 0) = !р, (х), и, (О, !) = 4р, (!). Лля определения функции и4 достаточно ограничиться начальными данными 1вз з 1»1 ПОСТАНОВКА СМЕШАННОП ЗАДАЧИ Функция и,(х, () определяется по ее значениям на основании (1=0, 0(х --.4.) и на правой границе (х=4"., 4)0) области.
Это очевидно из чертежа (рис. 51), на котором изображены линии зх постоянства и, (характеристики — — = — 1). Полагаем из (х, 0) = ш = 1р,(х) (0(х=-Е), из(Ь, () =зрз(1) (Г)0). Йтак, мы видим, что решение системы в выбранной области полностью определяется следующими начальными и граничнымч условиями. Начальные условия и,(х, 0) =«рз(х), и,(х, 0) =«рз(х), Граничные условия на левой границе и,(0, 1) =»Р1(1), и,(0, 1) =зр,(1) при х =О, 1==0. Граничные условия на правой границе и, ((., 1) = зр, (1) при х = У., 1~ О. На разных границах нам пришлось задавать разное число условий.
На левой границе надо задавать столько условий, сколько нх у нашей системы характеристик с положительным наклонам —. «и ' По мере увеличения т эти характеристики удаляются от левой границы, унося с нее значения соответствующих римановых инвариантов. Мы будем р зх говорить, что для левой границы харак- йз теристики с положительным наклоном ех — — ) 0 «уходящие», а с отрицательным зи наклоном — «приходящие».
Для правой зх границы характеристики с — ) 0 — «при- «н ходящие>, а с — (0 — «уходящие». зх 47 х ш В разобранном примере нам пришлось на каждой границе поставить столько граничных условий, сколько на этой границе семейств «уходящих» с нее характеристик. Эти граничные условия могут иметь и несколько более сложный вид. Пусть, например, из = «ззиз+ аз«из+ зрз (1) на левой границе, из =амиз+ аз«из+ 4Р» (4) и, = рззиз+ рззиз+ рз«из+ зрз (1) — на правой границе. !84 [гл и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРЛВИЕИИЯ Задав эти граничные условия, а также указав начальные данные при (=О: и,(х, 0) =ср,(х), и,(х, 0) =4р,(х), и,(х, 0) =4р,(х), и4(х, 0) =!8,(х), выберем Т так, чтобы за время Т ни одна из характеристик не успела пересечь нашей полосы 0«х«ь от одной границы до другой.
Достаточно, чтобы Тшах( — „! (<— — — наклон характеристик). В системе уравнений нашего при( —— ах а! ах мера шах)- — ) — максимальный наклон характеристик — равен 2. Поэтому можно выбрать !. ! 2 Т= — =-- 8 2 !Рх !пах ~— При 0-.=(4«Т значения из на левой границе определяются только с помошью начальных данных, без использования каких- либо граничных условий. Зто станоантея ясно, если обратиться к рис. 52, Т на котором изображены характеристики 4!Х ш — =- — 1, вдоль которых из постоянна.
Для определения и, всюду в рас- !2 ,р сматриваемой области, в тол! числе и на левой границе, как мы уже отмеРис. 52. чали, достаточно лишь начальных дан- ных. Мы видим, что для 0 «( =-. Т при х=О могут быть найдень! сзз(0, !), и4(0, 1), а после этого вычислены их комбинации «ззиз+ и44из+ р! (!), аззиз + и„и, + зйз (() . Зти комбинаци и, в силу граничных условий, равны и, (О, (), и,(0, !). Аналогично, на правой границе при 0 «! «Т только по начальным данным определятся значения и„и.„которые «прино- 4!Х сятся» на эту границу характеристиками с наклонами „-- =1, 4!! и'х — = 2. Начальными данными определяется и граничное значе- 4!! ние и4. Зто дает возможность по формуле из = ()азиз+ ~азиз+ Рззиз+ 4Р4 (Г) вычислить и . !85 ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ Определив на левой границе и„и„а на правой и„мы свели задачу к уже разобранному случаю и теперь мы в состоянии определить и,(х, 1), и,(х, 1), и,(х, 1), и,(х, 1) всюду в прямоугольнике О(1» Т, О==.х~Ь.
Затем, приняв значения 1=Т за начальные данные, мы совершенно так же найдел! решение для Т( (1(2Т. Продвигаясь и дальше такими шагами по времени, тлы последовательно найдем искомые функции прн 2Т (1(ЗТ, ЗТ<1( 4Т и т. д., т. е. при всех 1) О. Для произвольной гиперболической системы нужное число граничных условий и их вид, оказывается, будут определяться совершенно так же, как и в разобранном примере. На каждой границе надо оставить столько условий, сколько семейств харак. теристик уходит от этой границы.
В качестве таких условий нельзя задавать значения «римановых инвариантовх, отвечающих приходящим характеристикам, или значения каких-либо функций от этих инвариантов. В дальнейшем мы ограничимся разбором только таких систем, у которых нет вертикальных характеристик.
Предположим даже, дх что в рассматриваемых областях ~ — ~ (абсолютная величина харакдт теристической скорости) ограничена снизу положительной константой. Пусть гиперболическая система уравнений задана нам в каноническом виде л дт +и! д + .'~ л!!!и(=1! (!=1, 2, ..., и,), !=! ди! ди! — ' — л! — + ~~ ш!!Н,=)! (! =и„+ т, ., ), дт ' дх !=! й,>О*) в полосе О ==. х ( 1 для О ( 1 ( Т. Рассмотрим для этой системы следующие граничные условия: и и,= л,' а!!и! при х=О (т=!, 2, ..., и„), /=л,-!- ! Л и, = ~ Я,и! при х =1 (1 =л,+1, ..., и). !' = ! Для простоты мы ограничиваемся однородными граничными усло- ') В дальнейшем будут рассматриваться и более обшие системы, в которых некоторые иа й! равны нулю, ~ГЛ.
П ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ виями, коэффициенты которых иц, ~)ц являются гладкими функциями й Начальные данные для описываемой задачи задаются в виде и, (х, 0) = чи (х). Можно доказать, что так поставленная задача имеет, и притом единственное, решение, если наложить на систему и начальные данные некоторые ограничения гладкости. Более того, можно показать, что решение такой задачи непрерывно зависит от начальных условий, коэффициентов н правых частей системы, коэффициентов граничных условий. Доказательство перечисленных фактов (доказательство корректности задачи) и служит обоснованием разумности ее постановки. Приведенные же нами рассуждения на типичном примере могут рассматриваться только как наводящие соображения, позволившие придумать хорошую постановку задачи.
Сначала мы начнем проведение доказательства теоремы единственности. Теорема о непрерывной зависимости решений от данных задачи н теорема существования будут разобраны позже. При их доказательстве мы еще сузим класс рассматриваемых задач, чтобы сделать вывод менее громоздким. При изучении теоремы единственности никакие дополнительные ограничения использоваться не будут.
В процессе доказательства теоремы единственности будут также получены некоторые оценки решения и его производных. Прежде чем приступать к проведению доказательства (оно будет разобрано в следующем параграфе), воспользуемся произволом в приведении системы к каноническому виду. На наличие такого произвола мы в свое время указывали. Умножим каждое из уравнений системы — -+-Ц вЂ” + ~~тии, =~, ди~ ди~ %1 дГ дх на какой-нибудь положительный гладкий множитель Р = Р, (х, 1) ) О. Результат этого умножения можно записать так: дР~ ди, — -~- А~— ди~и~ дкпи~ дГ дх ~' И вЂ” — РФ(+ ~ — таРФ~ = Р~1~ дГ дх ш йи Иу Обозначив Р,и~ через ои получаем для этих новых неизвестных функций опять каноническую систему гиперболических уравнений ди~ ди~ —.+ й,— + ~~тип,=~п дГ дх Характеристические корни й~(х, ~) этой системы такие же, как и ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ у исходной, а коэффициенты при младших членах то и правые части 1! — другие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
