С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Граничные условия л и»мм ~, 'а»уи! (1=1, 2, ..., по) при х=О, 1=л,-1- ! л, и!= ~Ч~ ~р»зи! (!=и,+1, ..., и) при х=1. перепишутся для неизвестных о»=1»!и! так: л о!= 7 — ' а„о, (1=1, 2, ..., по) %1 1й н! !=ля+ ! ло о, = х — ' ~!р! (! = п, + 1, ..., и) %» !»! Нl 1=! при х=О, при х=!.. Интересно, что рь стоящие в числителе, отвечают номерам, связанным с «уходящими» характеристиками, а ру в знаменателях имеют / такие же, как и «приходящие» характеристики. Выбором функций рч(х, () можно добиться, чтобы все элементы матриц граничных условий для о„о„..., ол были по абсолютной величине меньше любого заданного фиксированного числа.
Конечно, уменьшая эти элементы, мы будем изменять и, как правило, Увеличивать ти, 1! и их пРоизводные. Сейчас будет приведено важное определение, смысл которого выяснится в следующем параграфе во время проведения собственно доказательства теоремы единственности. Граничные условия, заданно!е на одной из границ, называются диссипативными, если в точках втой границы для любой вектор- функции (и„и„..., ил), удовлетворяю»цей граничным условиям, выполнено неравенство — й»и! + 'У, 'й»и! ---.
О. по прихо. по уходядящям ! щим ! (Мы пишем «по приходящим Ь, подразумевая под этим, что суммирование выполняется по всем тем 1, для которых соответствующая характеристика — приходящая. Аналогично истолковывается сокращение «по уходящим Ь.) Воспользуемся свободой в выборе нормировочных множителей р„(х, 1), чтобы сделать граничные условия диссипативными. Рассмотрим, например, левую границу с граничными условиями л о! — — ~, — ауог (! 1, 2, ..., и,) 1'! ну ! л»+1 188 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ 11 н подставим значения о„о„..., ол, из этих условий в выражение — й!о', + ~ /г!о,' хм — ~Х~ й!о,' + ~ й!о! = ! = л и -1- 1 по проходящим ! по уходящим ! л ля 1 л 13 й!о) + ~ й! ~ ~~Р~ 1 ! а!1о,) г=л,ч ! г=! 1=» +! и! В результате подстановки первая сумма — отрицательно определенная формы олг„и ол„„, .., ол, вторая — некоторая другая форма тех же переменных.
Выбором гх! можно сделать все коэффициенты этой второй формы достаточно маленькими, а тем самым полную сумму отрицательно определенной. При таких р! граничные условия для о„ о„ ..., ол будут диссипативными. Более того, граничные условия будут строго диссипативными. Так мы будем называть условия, при которых для любой вектор- функции, удовлетворяющей граничным условиям, выполнено неравенство: — й;и!+ ~, й;и; "-( — /го ~ и,', /го ) О.
по приходящим по уходящим ! по приходящим ! Выбрав р, отдельно на левой и отдельно на правой границах, чтобы удовлетворить условиям диссипативности, мы можем потом построить всюду внутри прямоугольника такие гладкие функции р!(х, 1), чтобы на границах онн совпадали с теми, которые там были выбраны. В дальнейшем, рассматривая систему дг +й! — д — + У Глиц!=!'ь 1=1, 2, ..., пщ ди! ди! л д! й! д + ~~ глин! =!! ! 1!о+ 1 ди! ди; 1=1 с граничными условиямп и;= ~~", аои! (1=1, 2, ..., Л) при х=О, 1=- ли+ ! и,= ~ р!!и! (!о по+1, ..., и) при х=д., мы всегда имеем право предполагать, что эта задача диссипативиа и даже строго диссипативна. !89 постАновкА смен!апноп задАчи а 151 До сих пор мы обсуждали постановку смешанной задачи только у гиперболических систем с двумя независимыми переменными х, 5.
При изучении смешанной задачи для симметрической системы А ~ +В д +Сд +(чы в некоторой подобласти четверти пространства т)0, ()О с начальными данными, заданными при !=О и граничными условиями, поставленными при к=О, мы всегда будем предполагать, что систему перед этим изучением удалось привести к каноническому виду, который обеспечивает следующую простую форму матрицы В: Ач — А„+1 — !(„ (й ) о) — А гн о О Матрица А при этом может быть произвольной симметрической положительно определенной, а С вЂ” произвольной симметрической (см.
Но этому поводу 9 !1). Лля таких систем мы опять будем рассматривать при х=О граничные условия (строго диссипативные) вида ч, и(= ~', а!у!!1 (1=1, 2, ..., Пв), 1= ч*+ 1 обеспечивающие отрицательность квадратичной формы (Ви, и) (а, (= — !' А;~.г. Ачч — !.( у и) (ь.>а). 1= ы-1-! ( = и, -(- 1 Зад а ч а. Покажите, что граничные условия вида и, ч и,= ~~ га!(и(+ ~П~ у(,и (1=(, 2, ..., и! 1= ч„-1-1 =ч,-(-1 не являются диссипативными, если среди т(, есть отличные от нуля. Отметим, что определение диссипативных граничных ус.повий как таких условий, которые обеспечивают отрицательность нлн 190 1гл и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ неположнтельность квадратичной формы (Ви, и), прнменнмо н в том случае, когда В не записано в каноническом виде.
Мы будем пользоваться этим замечанием прн разборе ряда примеров. Исполь- зованне канонического вида В несколько упрошает построение общей теории. В случае задач с тремя (х, у, 1) нлн ббльшнм числом неза- висимых переменных не существует такого простого способа прн- водить более нлн менее произвольные граничные условия к дпс- снпатнвному виду, которым мы пользовались в случае двух незавнсимых переменных. О характере возникающих осложнений можно судить по примеру смешанной задачи для уравнений аку- стнкн, разбор которой мы начнем со следующей задачи. Зада ч а. Покажите, что Граничное условие Р+ йраи+1рао = О, заданное при х=О для уравнений акустики ! др ди до —,— + — + — =О, рас„' д! дх ду ди др ра — + — = О.
д! дх до др Ра + =О д! ду решаемых в полупространстве х) О, диссипативно, лишь если 1=0, я го О. Оказывается, что если даже этн условия днсснпатнвностн (1 = = О, й)0) не выполнены, то в целом ряде случаев можно пост- ронть такое расширение уравнений акустики, для которых наше граничное условие днсснпатнвное.
Этн расширения были описаны в конце з 12. Первое нз ннх, построенное прн ~1~(с„прнводнт к снммет- рнческой гиперболической системе А — + — +С вЂ” =1т дш дш дш д! дх ду для вектор-функцнн тр с компонентами 1'= р,— 1рк, г= р„, з= р„, Р, и, о. Условие днсснпатнвностн (Вгр, ш)(0 для этой системы имеет внд неравенства — 2со1г(0. Граничные условия р+йраи+1рао=О, после днфференцнровання по 1 н замены раи„рао, на равные им — р„, — р„, дают соотношение р,— йр„— 1Р„=О, эквивалентное для расширенной системы граничному условйю 1=йг. Днсснпа- тнвность этого последнего, если й=-О, очевидна. Второе нз описанных в конце З 12 расширений выполнено прн любых й, 1. Оно приводит к условию днсснпатнвностн (Вар, га) = — 29б — л 1Г'+ за+ рв) ~ О, 191 ПОСТАНОВКА СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ где д д д1 ()ь Р» Р"1 дх ()ь г=рх, З=р„. Эта диссипативность, очевидно, имеет место прн 6.=-0 на решениях, удовлетворяющих нашему граничному условию р,— йр„— — 1р„ =О, без каких-либо ограничительных предположений о коэффициенте 1.
Некоторое неудобство этого второго расширения, по сравнению с первым, состоит в том, что оно использует производные исходных функций р, и, и более высокого порядка. Диссипативность третьего расширения из 9 12 обеспечивается неравенством (В1в, ш) = — 206 О, где опять д д 6= ~-(р — йр.— (рх), 6= д„(р — йр.— (р,). Эта диссипативность всегда, при любых й, 1, имеет место на решениях с нашим граничным условием. Однако само это третье расширение можно осуществить лишь, если л'+Р) с1, л'~с3.
Итак, мы можем получить оценки решений смешанной задачи с граничным условием р+лр,и+(реп=О для уравнений акустики в случае двух пространственных переменных х, у путем приведе. ния к днссипативной задаче для расширенной системы. Такое приведение не удается осуществить, лишь если л= — с„или если выполнены одновременно неравенства й(0, й +1'- с'. Напомним, что вэ 8 была продемонстрирована некорректность смешанной задачи при л = — с, нли при одновременном выполнении неравенств й(0, й'+Р< с~, В дальнейшем (Я !6 — 19) будет показано, что для симметрической гип рболической системы смешанная задача с диссипативными граничными условиями поставлена корректно.
(Мы, правда, будем накладывать несколько более ограничительное предположение о строгой диссипативностн.) В доказательстве мы воспользуемся, по существу, лишь тем, что в диссипативном случае можно оценить интегралы энергии. Поэтому естественно ожидать, что корректность должна иметь место всегда, когда удается оценка этих интегралов. В настоящее время доказано (см. [71, [81, [91, [10))„что для решения смешанной задачи у гиперболических уравнений и систем всегда может бь:ть получена оценка интегралов энергии, если только приемом, описанным в 9 8, не строится !99 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАЕИЕНИЯ !ГЛ 1! пример, демонстрирующий некорректность задачи. Эти доказательства очень трудные. Приведенная здесь конструкция иллюстрирует, на сравнительно простом примере уравнений акустики, утверждения этих работ.
5 16. Теоремы единственности и оценки решений в смешанной задаче Постановка смешанной задачи с диссипативными граничными условиями. Оценка решения и теорема единственности. Расширение системы уравнений и граничных условий задачи. Получение сценок производных. Обзор оценок решений для симметричных гиперболических систем. Условия согласования начальных данных и граничных условий. Непрерывная зависимость решений от условий задачи.
Понятие об обратимых задачах. Примеры исследования постановок граничных условий дчя гиперболических систем. Переходим непосредственно к доказательству теоремы единственности и к получению оценок для решения диссипативной смешанной задачи. Начнем со случая двух независимых переменных. Мы рассматриваем прн 0(х(1., 1)0 решения системы ч — +й! д'+ У тг1и1=1! 1=1, 2, ..., пе дп! ди; д1 ' дх 1=! п ди! ди! 'Ез — ' — й! — + 1 тии1=!'1, !=и,+1, ..., и„ д1 дх 1=! д, +,1„тпи! — 1 1'.= ! Г=п,+1, ..., п с граничными условиями и! = '5' а1,и„ !=ее+! 1=1, 2, ..., пе при х=О, и!= ~, ~1,ип 1=! 1=и+1, ..., п при х=Ь. Начальные данные для этой задачи задаются в виде и! (х, 0) = гр1(к), О ( х ( 1 (! = 1, 2, ..., Л). Так поставленная задача называется смешанной, так как она требует выполнения для решений не только начальных, но и граничных условий.
Предположим, что на обеих границах выполнены условия диссипативности. А именно, предположим, что для любых и!(х, 1), удовлетворяющих граничным условиям, на каждой из $ !б1 ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ 193 границ выполняются неравенства — й!и! + У; й!и) < О. по уходящим ! по приходящим ! Наша система является симметрической гиперболической системой Š— +К вЂ” +ти ди ди д! дх со следующими матрицами: ~о +! о, Е=, ), К= 1,о 1/ и, о о о т =) тм(1и Было показано, что для решений этой системы имеет место сле- дующее тождество, носящее название интеграла энергии, ) ~ д! (и~ и)+ дх (Ки !~ (и, и) !(х+ (Ки, и) !(1 = = ) ) '1(0и, и)+2(1", и))!(хШ.
Элементы матрицы В могут быть вычислены через элементы матрицы т = )1 т!А ) и через производные от элементов К, т. е. через производные от й! (х, 1). Рассмотрим прямоугольный контур на плоскости х, 1, ограниченный справа и слева отрезками вертикальных прямых х=О, х =1, а сверху и снизу — отрезками горизонтальных прямых (=1м ( = 1,. Такой контур изображен на рис. 53. гипврволичвскив урдэнвиия Рассматривая по этому контуру (А,А,А,А,) интеграл энергии, мы приходим к неравенству 4»»» л А» ) ( ~~', и'~~дх( ~ — .д,' и!и!+ ~„)21и1 сц+ А, 1=1 А, по по приходящим ! уходящим» А, А»/ л — Х»лп!»- Г, »»г!»»~-1(д ",)я*»- А» по по А, 1=1 приходящим ! уходящим» ! Г! + М ~ ~ ~ ~~ , 'и! (х, ~) сЬ~ Ш+ Л» ~ ~ )уу ~ ~ч , 'и,' (х, () !(х 1(у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
