С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Выведенный нами интеграл энергии будет использован в следующем параграфе для доказательства единственности решения задачи Коши в случае произвольной гиперболической системы. Интегралы энергии можно строить не только для симметрических систем первого порядка. Сейчас мы опишем интегралы энергии волнового уравнения Для этого умножили обе его части на — +т — +и —, др др др дг дх ду ' и преобразуем слагаемые, получившиеся в произведении, по го2 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ггл и следующим правилам: др д'р д р) др д р д „д рх ггг дго дг 2 ' дг дхо дх (Р" хг дг 2' ' др д'р д д ру дг дух ду " дУ 2 ' —.
— = — (Ргр ) — — —, др дор д д рг др дор д д рг дх дгг дг дх 2 ' ду дм дг о ду 2 -- — = — (РРх) — — — — — = — (РР ) — —— дР дР д Рх дР доР д г„„д Ро дх дхо дх 2 ' дх дуо ду ""'о дх 2 др дор д д рх др дор д ро ду дхо дх '"""' ду 2 ' ду ду' ду 2 В результате мы придем к выполненному на решениях тождеству д ) Рг'+ 2пгргрх+2пргро+ со (Р„'+Ро)1 ду( 2 1пгр~г+2соргр» пгсорх+2псор Ру+пк)грх] дх ( 2 д ( прг)+2соргр„— пс-,ро+2тсор,р„+осер~1 Если то+по(со', то квадратичная форма от производных о + 2тр,рх+ 2ггргр +со (Р'„+ рог), стоящая в этом тождестве под знаком дифференцирования по 1, является положительно определенной. Тождество носит название интеграла энергии для волнового уравнения и используется для тех же целей, что и интегралы энергии у симметрических гипер- болических систем.
В заключение этого параграфа докажем вспомогательную лемму, которой в дальнейшем не раз будем пользоваться. Лем ма об интегральном неравенстве. Пусть ари Оп--.1(Т функция 1(1) )0 непрерывна и дифференцируема. Если такаЯ 1(1) длЯ лгобых 0(1г.=-1, =.Т Удовлетворнет неРавенствУ гв 1(1,)~1(1,)+М)1(1)д1+й1 1 ~/1(1)д1 (я~О, йг~О), г, го )/7(1) =-.)/7(0)е' + — (е' ' — 1). Доказательство. По предположению, для 1г(1о имеет место неравенство ) (м1+Аг)с)) ег = М1 (1*) + й1 )гТ(1*). — го — гг ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ й 121 Мы воспользовались здесь теоремой о среднем значении, выбрав с ее помощью 1* (12(1*(12). Стягивая 11„12) к внутренней точке 1 интервала и пользуясь дифференцируемостью 1(1), получаем »И»' (1) + й1 Ут(1). (2) Если 1(1)=0 для выбранного значения 1, то выполнение неравенства (1) в точке 1 очевидно.
Пусть теперь 1(1)) О. Обозначим посредством 1, либо наибольшее из тех значений 1, для которых 1(1)=0 и 1<1, либо (если г'(1))0 для всех 1<1) точку 1=0. На интервале (1„, 1) функция 1(1) положительна. Поделим обе части неравенства (2) на 2)Г1(1). Имеем д )/1 1(г) М ( 1У п«2 2 ' б Р»1 (1) М, у-(— М Ш 2 2' м, Умножим обе части последнего неравенства на е А«, Л.— -"~1~(г)1 М,-Т «11 2 Проинтегрируем это неравенство от 1, до 1 ")'1О- о~'1(1,)-4~ '"- ' Ч Следовательно, У1(1) )17(12)н2 ( Так как 1 — 1,(1, а 1(1,) либо равно ((О), либо равно нулю, то интегральное неравенство (1) доказано. 5 12.
Теорема единственности и оценки решений гиперболических систем Использование интеграла энергии для оценок решений симметрических гиперболических систем. Оценки проводятся в области полупространства Г ) О, ограниченной сверху некоторой «шапочкой», о которой известно, что по ней поверхностный интеграл энергии неотрицателен.
Как проверить это условие, пока не выясняется. Теорема единственности для рассматриваемых областей. Получение оценок для производных путем применения изучаемой техники к расширенным системам, включающим уравнения для оцениваемых производных. Расширение уравнений акустини. ~ГЛ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Мы начинаем изучение теоремы единственности и теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных данных для симметрических гиперболических систем. Попутно мы получим некоторые важные оценки для решений и их производных.
Все эти теоремы и оценки получаются из исследования интегралов энергни с помощью интегрального неравенства, доказанного в / конце прошлого параграфа. До- 11 казательство, которое здесь будет проводиться, предполагает неотрицательность некоторых поверхностных интегралов. Сейчас мы этими интегралами зай ниматься не будем, поэтому все наши выводы будут носить условный характер. Условия неотрицатель ности таких интегралов будут изучены в последующих параграфах. Их изучение связано с важными идеями. Изучая гиперболическую симметрическую систему мы в предыдущем параграфе установили для ее гладких решений интегральное тождество, которому было присвоено название «интеграл энергии»: ~ ~ ((тА + ЕВ+ «1С1 и, и) «Ь = ~ ~ 11(Ри, и) + 2 (Г, и)) «1( «(х «(у, В этом тождестве поверхность 5 ограничивает область 6 в пространстве (1, х, у), вектор (т, $, »1) — единичная внешняя нормаль к этой поверхности.
Матрица Р определяется равенством Р =-„; А+ - -В+,— С вЂ” М+()*) Пусть некоторая область ограничена поверхностью, которая разбивается на две части. Первая из этих частей представляет собой ограниченный кусок плоскости (=О, а вторая — является как бы «шапочкой», опирающейся на границу первой и расположенной в полупространстве (~ О. Такая «шапочка» изображена на рис.
31. Мы будем предполагать, что всюду на поверхности «шапочки» квадратичная форма ([тА+$В+«)С)и, и) неотрицательна. Прн каких условиях это предположение выполняется, мы сейчас выяс- 1Оо ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 1 521 нять не будем. Проведем сечения !=ем е=(, (!2~1,) и рассмотрим область б, ограниченную этими сечениями и поверхностью «шапочки». На сечении !=12 вектор внешней нормали (Т„$, т)) имеет координаты (1, О, 0), а на сечении 1= г, координаты ( — 1, О, 0).
Опуская в тождестве интеграла энергии неотрицательный интеграл по боковой поверхности и заменяя тройной интеграл по области 6 на повторный, получим неравенство ') ') (А и, и) еех ееу ( Ц (Аи, и) 22х е(у + 5=5, +~( ~~ [1(Ри, и)~+21(Г, и) ~)е(хе(у !11. 55 5! =СОП5! Здесь все интегралы по сечениям !=с„е=е„!=сонэ( берутся только по пересечению 6 с соответствующей плоскостью. Обозначим через l (1) интеграл (Аи, и) е(хе(у. ! =сопи Воспользуемся неравенствами: — М (Аи, и) ~ (Ри, и) ( М (Аи, и), :(Ри, и) ~е(хе(у==.М )') (Аи, и)е(хе(у=М!((), ! == СОП5! ! =СОП5! 2 (1, и) /е(хиу(2 $ ~ ) (И))'(и, и)е(х22у( ! = сопи ! = СОП5! ~2 ~/ ~~ (г', 1)е(хе(уф' р' ')') (Аи, и)е(хс(у( с=СОП5! ! =СПП5! ~Ж1/ ~~ (Аи, и)е(хе(х =У)Г! (1).
! =СОП5! С их помощью получаем, что 1(1,) < ~ (1,) + М ~ ) (1) е(1+ )У ~ ) !Т(() а. Применяем теперь лемму об интегральном неравенстве, доказанную в конце прошлого параграфа: м м е2 У!' (1) ( ) 'ЦО) е ' + У Постоянная М здесь оценивает коэффициенты системы и их произ. водные, а Л! — правые части 1'. ~ГЛ. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Из доказанного неравенства вытекаат, что если и=О при (=О и если ((х, ()=О, то 1(0=0, а следовательно, всюду внутри «шапочки» и = О. Это утверждение представляет собой теорему единственности.
Правда, мы пока не обосновали важнейшего условия положительности поверхностного интеграла по «шапочке» и поэтому не установили, для каких «шапочек» такая теорема имеет место. Рис. ЗЗ, Рис. 32. Заметим, что (и, и) -сопз((Аи, и), и, определив норму 11и11 вектор-функции и(()=и(х, у, () на сечении !=сонэ( равенством 11и(г!11=1/ ~~ (и, и)ккхс(у, 1 !=сои ! запишем выведенную оценку в следующей форме: 11 и (() 11 ( сопз( 11 и (0) 11+ сопз( шах 11 у (() 11. Мы предполагаем здесь, что ( меняется на конечном отрезке м — ! — е» вЂ” 1 0 ( 1 ( Т, и благодаря этому оцениваем е ', сверху через некоторые постоянные. Рассуждения, которые мы проводили, никак не связаны, кроме обозначений, с тем, что число пространственных переменных х, у равно двум.
Точно так же могут быть разобраны случаи трех пространственных переменных х, у, г или одного только х. Остановимся кратко на последнем случае. При этом надо рассмотреть рис. 32. «Шапочка» в этом случае представляет собой не поверхность, а кривую, вместо двойных интегралов по сечениям г = сопз( ллы должны расслеатривать однократные. Норма 11 и (() 11 определяется здесь так: ке ки!) 1(и(011=1у' ~ [2„'и)(х, ~)1(х. к!сил !57 ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ Конечно, можно представить себе случай «шапочки», изображенной на рнс.
33. Сечения такой шапочки прямыми !=сонэ! могут состоять из нескольких не связанных между собой отрезков. Без всякого труда можно получить аккуратные формулировки, пригодные и для таких случаев. Сейчас я расскажу, как описанный выше прием может быть использован для получения оценок не самих решений, а их производных. Рассмотрим наряду с исходной системой ди ди ди А — + — +С вЂ” +9и=1 д! дх ду еще три равенства, получающиеся из нее дифференцированием по 1, х, у. Эти равенства вместе с исходной системой образуют расширенную систему, содержащую в четыре раза больше урав- нений и неизвестных, чем исходная: ди ди ди А — + — +С вЂ” +Яи=1, д! дх ду ди!, ди, ди, А — + — +С вЂ” +((!+А)и,+Ви +С и„+фи =1и А ди+В д-и+С д-+А.и,+(В,+Я)и +С.и„+(~„и=-1., дии ди» дии А --" +  — ~ + С вЂ”" + А „и, + В„и„+ (С„+ Е и, + Ки = 1« Эту систему можно записать с помощью клеточных матриц еще А д! ~ и д + С + д А 0+В С и Из этой формы видно, что рас!пиренная система тоже будет симметрической.
Это позволяет применять к ней рассуждения, разобранные нами выше. С их помощью могут быть оценены производные от и(х, у, !) через их начальные значения при !=0 и через правые части и их производные 1ь 1, 1„. Константы в этих оценках зависят от матриц расширенной системы. Для их получения надо требовать большей гладкости от коэффициентов исходной системы и ее правых частей, чем при оценке самой вектор- функции и(х, у, !). 188 1гл. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Начальные значения производных и„, ра могут быть получены дифференцированием начальных данных, а начальные значения производной и, вычисляются через начальные значения и, и, ру с помощью основной системы уравнений: Аи,= — Ви„— Сиу — Ям+1, и, = А-' Д вЂ” Ви — Сиу — Яи).
В случае, если надо оценить не только первые, но еще и вторые производные или даже производные более высокого порядка, то, аналогично, дальнейшим дифференцированием расширяют систему так, чтобы она после этого содержала в качестве искомых функций производные всех тех порядков, какие мы только хотим оценивать. Ясно, что чем выше порядок производных, для которых мы хотим получить оценку, тем большей гладкости нам нужно требовать от коэффициентов исходных уравнений, их правых частей и от начальных данных. У п р а ж н е н и е. Получите расширенную систему, с помощью которой можно оценить вторые производные от решений. В некоторых случаях удобно использовать расширенные си- стемы с симметричными клеточными матрицами коэффициентов, клетки которых отличны от исходных А, В, С. Сейчас будут описаны, без какой-либо мотивировки, три раз- личных примера такого расширения уравнений акустики, ! др ди до — — + — — + — — =О, рос,', д1 да ду ди др р — + — =О, о д1 дх до др Род1 + д„=О которые нам понадобятся в 8 15 при разборе поучительных примеров постановок задач.
Продифференцировав первое уравнение этой системы по вычтя из результата второе и третье уравнения, деленные на р, и продифференцированные соответственно по х, у, получим уравнение второго порядка для р, только множителем отличающееся от следующего волнового уравнения: Если теперь ввести постоянный параметр 1 и обозначить: /=Ра 1Р» Г=Рк Е=Ра. о !2! творима единственности то, пользуясь тождествами ( — '+1 —,'— ) (-,',— — 1 —,' ) — (; — 1) —,' ( —,' ) —; —,',— (-,'-)- (4 — 1') ( д — 1 -~-) ( — д — ) — (со — Р) -д — ( д — 1 Э ) = О, легко убедиться, что /, г, з удовлетворяют системе: д/ д/ , до , дг — +1 — — (с,' — Р) — — с,'— — = О, д/ ду о ду о дк , дг,дг од/ с' — — 1с', — — ео — = О, о д/ ду дк (со — Р) дг — 1(со — 1 ) д — — (со 1') д — — — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
