С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Предельная функция для последовательности 7"„),„7„..., указанной на рис. 27, изображена на рис. 28. В точке $=$, функция 7($) не имеет производной. Очевидно, могут быть построены и более сложные примеры, в которых дифференцируемость нарушается более чем в одной точке. Можно даже построить пример последовательности решений, для которой предельная функция будет разрывной. (Конечно, в этом случае предельный переход должен совершаться не в смысле равномерной сходимости.) % кв ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ Такой пример изображен на рис.
29. Разобранные примеры ведут нас к мысли о разумности пополнения множества решений с гладкими ) множеством функций и =1(х — 1) с теми Г, которые могут быть в некотором определенном смысле получены яз гладких путем предельного перехода. Такой предельный переход естественно делать в смысле сходи- мости по норме вида !1 и!1 = )/ гпах ) ил (х, 1) с(х.
Основанием для выбора такой нормы являются следующие соображения, связанные с оценками решений при помощи интеграла энергии. Рассмотрим для уравнения ди + ди 0 дл дх характеристическую полосу, высекаемую из полуплоскости х, 1 х (1 ) 0) характеристиками х— Рис. 30. — 1=сопз1, проходящими через отрезок [О, 1] оси х. На этом отрезке мы будем задавать начальные данные.
Прямая 1=сопз1 пересекает эту полосу по отрезку 1(х(1+1 (рис. 30). Интеграл энергии для этого уравнения имеет вид $ и' с(х — и' с(1 = О. При интегрировании вдоль характеристик мы имеем ~ и'(с(х — иг) = О, и поэтому и'(х, 1) с(х = ~ и' (х, 0) с(х = ~ и, '(х) Нх, т. е. интеграл от и' по любому сечению (=сопз1 характеристической полосы будет один и тот же для любых й Поэтому, если мы возьмем последовательность решений и,(х, 1) уравнения ди„ ди„ вЂ” "+ — "=0 дг дк с начальными данными 132 [гл.
! ВВОДНАЯ ЧАСТЬ то, пользуясь еще линейностью уравнения, будем иметь !+! ! ~ [и„(х, 1) — и (х, !)]'йх=~ [и„,(х) — и,(х)]'йх, ь !+! !1и„— и ~1=1уг шах ~ [и„(х, () — и (х, !)]'йх= с ,Г ! = 1уг ~ [и„, (х) — и,(х)]'йх. 0 В случае если последовательность (и„ь) сходится в среднем на отрезке [О, !], то последовательность решений будет сходиться в смысле введенной нормы. Это утверждение служит основанием для следующего определения обобщенного решения.
Функцию и (х, 1) назовем обобщенным решением, если суи(ествует последовательность и„и„..., и„, ... гладких решений того же уравнения — "+ — "=О ди„ ди„ д! дх таких, что !~и„— и ~! — «О при п — «со. Другими словами, мы назовем функцию и(х, !) обобщенным решением, если ее можно как угодно точно аппроксимировать гладкими решениями. Описанное сейчас понятие обобщенного решения неудобно тем, что оно трудно проверяемо.
В самом деле, чтобы убедиться, что и (х, !) является обобщенным решением, мы должны построить бесконечную последовательность гладких функций и (х, 1), аппроксимирующих и(х, (), причем надо постараться выбрать и„(х, !) так, чтобы они были точными решениями нашего уравнения. Ясно, что это сделать трудно, особенно если речь будет идти не о проди ди стейшем уравнении — + -- = О, которое мы рассматриваем в качед! дх стве модели. С.
Л. Соболев дал другое определение обобщенного решения, которое в настоящее время является общепринятым. Основная идея этого определения состоит в замене дифференциальных уравнений непосредственно интегральными законами сохранения, из которых дифференциальные уравнения математической физики ди ди обычно и выводятся. Мы разберем модельное уравнение — + -- =О д! ' дх и на нем постараемся понять существо дела.
Простейших физи- ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ чески осмысленных примеров мы уже касались в начале параграфа. Начнем с замечания, что для любой функции ~р(х, Г) и любой области 6 ) ) (д + д )ф(х, ()дхЙ=О, если и(х, () является гладким решением уравнения — + — =О. ди ди д~ дх Для дальнейшего нам удобно предполагать, что область б имеет кусочно гладкую границу. Пусть и(х, () имеет в некоторой области 6 непрерывные первые производные и пусть для любой достаточно гладкой, например, дважды дифференцируемой функции ~р(х, () имеет место равенство 0( — '",+й) ' Тогда (как будет доказано) всюду внутри б — + — =О.
ди ди д~ дх ди ди Предположим противное. Пусть — + — — ~ О в некоторой д~ дх внутренней точке (хм ~,) области б. Для определенности предположим, что ( — + -) б>О. Из непрерывности производных ии и„следует существование такого е, что при (х — х,)'+(( — 1„)'(е выполнено неравенство ди ди б — + — > —. д~ дх 2' Определим теперь ~р(х, г) формулой <р(х, () = О, если (х — х,)'+ (( — (,)' > е. Выбором достаточно большого р можно добиться, чтобы функция ~р была нужное число раз непрерывно дифференцируемой. (При р= 3 Ч~(х, 1) имеет две непрерывные производные.) Очевидно, что для такой функции ~р(х, ~) Уе (((й.).— ")~и, ~)ии)~ (1 — — ') 2 ~ )О.
о Мы пришли к противоречию. 134 1гл. 1 вводнля члсть Итак, утверждение при любой достаточно гладкой ~р и утверждение ди ди — + — =О дг дх для непрерывно дифференцируемой и(х, 1) эквивалентны, Теперь, воспользовавшись тождеством ди ди мы сделаем утверждение, что равенство — + — = 0 эквивалентно д1 дх для непрерывно дифференцируемой функции и равенству ~~ и ф+ фбхг(1= ~ грибх — григ(1 (2) с па гранннн С для любой достаточно гладкой гр.
Из проведенного нами доказательства вытекает даже, что все гр можно считать равными нулю на всей (или на части) границы 6, если мы хотим убедиться ди ди в выполнении равенства — + д — — 0 лишь внутри 6. При этом д1 дх соответствующая часть контурного интеграла пропадает. Для гладких и равенства (2) эквивалентны определению решения. Для проверки их выполнимости не надо, однако, дифференцировать и(х, 1).
Это и послужило основанием назвать функции, удовлетворяющие равенствам (2), обобщенными решениями уравнения — + — =О. ди ди д1 дх Прежде чем дать аккуратное определение, опишем структуру 6 в интересующем нас случае. Эта область будет представлять собой верхнюю (1) 0) половину полосы 0 ~х — 1< 1, ограниченной характеристиками х — 1=0, х — 1=1 уравнения;-+ — =О. Эти ди и дх крайние характеристики проходят через концы х=О, х=-1 отрезка 0(х=-.1 оси х, на котором мы задаем начальные данные.
Функции ~р(х, 1), достаточно гладкие внутри полосы (вплоть до границы), мы будем предполагать равными нулю на граничных характеристиках, и, кроме того, при всех достаточно больших1 внутри полосы. $ !о! ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ Пусть !р(х, ()==О при !>Т (Т для каждой ф(х, !) может быть свое). Выберем 6 в виде параллелограмма О=.=.х — (~1, 0(1(Т (см. рис. 30).
На его контуре ф(х, !) отлична от нуля лишь на основании г=О, 0=-х-=1. Поэтому для обобщенных решений должно быть выполнено равенство 1 ~ ~ и ( ф + ф с(х й!+ ~ ср (х, 0) и (х, 0) дх = О. о В двойном интеграле интегрирование проводится по всей полуполосе, что не вызывает никаких затруднений, так как ф =.О при (>Т. Определение обобщенного решения. Функция двух переменных и(х, !) *), имеющая ограниченную норму !+1 Ви((= ~( !пах ~ и'(х, 1) дх, с ди ди называется обобщенным решением уравнения - -+ --- =0 внутри дс дх полуполосы 0(х — ! 1, (>О с начальными данными и(х, 0) = = — и,(х), если для любой функции ф, принадлежащей описанному выше классу, выполнено равенство: 1 и(дс + дх)йхй+ ) ф(х, 0)ио(х)дх=О.
о<а †! о с>о Покажем, что из этого определения вытекает единственность обобщенного решения. Для этого, очевидно, достаточно убедиться в том, что из равенства и,(х)=0 вытекает равенство и(х, ()=О. Зададимся некоторым произвольным Т и покажем, что и(х, !) =0 при 0 -(~.Т почти всюду. Предположим противное. Из конечности !! и( вытекает, что ограничен )) и' (х, !) йх с(с, о<а †! т~сэо т. е, что и(х, () принадлежит пространству функций с интегрируемым квадратом в параллелограмме 0(х — 1 — 1, Т~!'>О. Каждая такая функция может быть сколь угодно точно аппроксимирована в смысле среднего крадратичного полииомами и„(х, !): ')) (и„(х, !) — и(х, !)]зс(хйс — з-0 при п-~-со.
ОМ: — С<1 т>с>о ') Функция и (х, С) предиоласаотои измеримой. <ЗЕ <гл < вводнхя чисть Построим теперь внутри нашего параллелограмма функции <р„(х, 1) как решения уравнений ++ дР" = (х — 1)'(1 — х+()о(Т вЂ” ()ои„(х, <), удовлетворяющие при (=Т условию <р„=О. Непосредственным дифференцированием можно убедиться, что такие решения задаются формулой т <р„(х, 1) = — ~ (х — 1)о(1 — х+()о (Т вЂ” т)'и„(х — 1+т, т) <(т и являются непрерывно дифференцируемыми. Последнее свойство не нарушится, если мы их доопределим равенством <р„(х, 1)=0 при 1)Т.
Очевидно также, что <р„=О при х — 1=0 и при х — 1=1. Из определения обобщенного решения вытекает, что Ц .( — ';,и; У),(Х =, о<х-«< <)о т. е. что <1< 1(х — 1)'(1 — х+()о(Т вЂ” 1)оп„(х, 1) и(х, () <(х<((=-0. о«и — «< т~<эо Переходя в этом равенстве к пределу при л-<- со, приходим к соотношению 11 (х — 1)о(1 — х+1)о(Т вЂ” 1)<и'(х, <)<(х<11=0, о<и — «о т~<)о которое и доказывает теорему единственности.
Докажем теперь теорему существования. Пусть для и,(х) суще< ствует конечный ~ и„'(х) <(х. Мь< покажем, что и(х, 1) =и,(х — 1) о ди ди является обобщенным решением уравнения -- + — = 0 с начальд< дх ными данными и,(х) при <=О, 0«х<1, т. е, что для любой функции <р(х, 1), удовлетворяющей всем наложенным на такие функции ограничениям, выполнено равенство < и.( — 1)(д', +Я)ах~1+5 р(х 0)ио(х)( =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
