С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Условие строгой диссипативности, при используемых нами диаго- нальных В, имеет вид неравенства с л, л, ~ йсо,' — ~ сссе'; + с Г=л.-с-! лю л, Г лю л, + ~йвс ~ 1-в + '~~ й в 'Ую лл=1 ю'=1 С=л,+1 С=! !'=-лю+1 = Х лс х с асса! Х еСос' + л, лв (о) +пса+ о,'), С=-л,-1-1 которое заведомо выполнено при достаточно малых р,. (При 1с! =0 оно является следствием диссипативности граничных условий для исходных уравнений. Левая часть условия диссипативности является квадратичной формой от переменных оп рп ос (/ = п, + 1, ..., п,), сумма квадратов которых стоит в правои части неравенства.
Коэффициенты этой квадратичной формы непрерывно зависят от рс.) По существу, идея этой конструкции с л, ,в„' сс ! ~~ асср!+р, '1С=л.-с- ! с=л,.с- ! л С л, л, Хй~ Х !по+и Х С= л,-!. ! С=л,-с-! ,,л л, — г, вв!1в С=л,-',-1 !1 л, аС,УО ' — ЕСО,в с'=л,+1 $ !61 ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ 203 та же самая, что и у приведения к диссипативному виду граничных условий в задаче с двумя независимыми переменными (см. 2 15).
Теперь мы уже можем стандартным образом применить технику оценок интегралов энергии, развитую в 2 12 и приспособленную к смешанной задаче в начале настоящего параграфа. В результате мы получим для рассматриваемых решений следующее неравенство: [166(Аи, и)+1оор3(Аиь и!)+рор',(Аи„, и„) с(хс(у6- о ! = сопи! х>о =еи! т / ~~ [ро(Аи, и)+рор!(Аи„и!)+ро16!(Аио, ио)~с!хе(у, $/ а, !=о «>о с постоянной М, которую можно оценить через коэффициенты решаемой системы, через коэффициенты граничных условий и через производные всех этих коэффициентов. Эта оценка не содержит никакой информации о производных и,.
Для получения такой информации удобно применить следующий прием. В силу исходного уравнения Ви„= — Аи, — Си„— Яи, (Ви, Ви,) =(Аи!+Си„+Яи, Аи,+Сио+Яи) = =(А'иь и!)+(Сои„, ио)+Дои, и)+ +2(АД„Си„)+2( Аиь Яи)+2(Си„, Яи) Так как А положительно определенная, то (А'и„и,) ( сопз1 (А иь и ), (С'и„, и„) ~сопз1 (Аи„, ио), Дои, и) =сопз1(Аи, и), ( — (А'и„и)+ — (С'и„и„) ~сонэ( [(Аи„и,)+(Аи„и„)1.
В результате этих оценок мы приходим к выводу, что на решениях нашей системы (Ви„, Ви ) (сопз([(Аи, и)+(Аиь и,)+(Аи„, и„Я, Отсюда и из выведенного выше неравенства, дающего интеграль- ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЙ [гл. ц ную оценку решения, заключаем гпах э / ')') [(Аи, и)+(Аис, ис)+(Ви«, Ви„)-(- 1сс С, !=сопи '«>о + (А и„, и„)] с(х с(у ( (сопзс.
сС ~ ~ [(Аи, и)+(Аис, ис)+(Ви«, Ви«)+(Аи„, и„)]с(хс(У( 1сс с,с=о «>О (сопз1,с' ~ ~ [(Аи, и)+(Ви«, Ви«)+(Аи„, и«)]ссхс(у. 1с' с,с=о «>О В последнем неравенстве мы воспользовались тем, что ис = — А-'Ви« вЂ” А-сСи„— А-сДи, и что в силу этого (Аи„и) ~с о~сонэ![(Ви„, Ви«)+(Аи„, и„)+(Аи, и)],, Мы научились, таким образом, оценивать производные и«, входящие в форму (Ви«, Ви«), Правда, если В вырожденная (если п«п,), то производные по х не от всех компонент вектора и в эту форму входят. Этот дефект оценки не удается полностью устранить, хотя его можно ослабить с помощью приема, который вскоре будет описан.
Пока же мы отметим, что если оценивать интегралы энергии для расширенной системы, содержащей вторые производные решения, то через начальные данные может быть оценен щах )') [ро(Аи, и)+р,'р',(Аи„и,)+р,'р',(Аи„, и„)+ С !=«оп«! «>О +рорсрпс(Аи„„, и««)+(со)сср](Аи«с, и„,)+ + ро«рсрс (Асс!с, исс)] с(х с(у, а через этот интеграл в свою очередь может быть оценен шах )с )[(Ви«, Ви«)+(Ви«о Ви,)+(Ви«„, Ви „)]с(хс(у. С,!=«оп«! « > О Аналогичное положение имеет место и при получении оценок для высших производных. Для оценок производных и«в точках, лежащих строго внутри области х) О, можно воспользоваться следующим приемом, который приводит к включению в расширенную систему уравнений для производных и«, умноженных на гладкий неотрицательный множитель тс(х), отличный от нуля при х)Х,>0 и равный нулю в полосе )с «х«0.
о 16] твоввмл единственности в смвшлннон злдлчв зов Продифференцировав по х основную систему Аи, +Ви +Сну+Оп = О и помножив результат дифференцирования на т,(х), запишем его в виде равенства +т,(х)В„и — т,'(х)Ви„+ч,А„и~+о,С,ио+чф„и О. Заменив в подчеркнутых слагаемых Ви„на — Аи,— Сио — Яи, В„и„=й,Ви, на — Л,(Аи,+Сии+Оп), а затем выразив и„ио, и в младших членах через пои, мои,иь цоц,и„, мы сможем включить это уравнение в расширенную систему оценки первых производных, которая будет теперь выглядеть так: О А О О д ион|и~ + О й О О д Иащи, + С О О О~ пои + О О С О д О С О О д уоуи + младшие члены = О.
О О С О (дУ ран|со) о о о с хи.' Здесь младшие члены — это линейные комбинации величин рои, р р1ио рор,ио, т,и„. В силу того, что вектор т,ии равен нулю в некоторой окрестности границы, можно считать, что он на границе удовлетворяет произвольным однородным линейным соотношениям. В качестве таких соотношений могут быть взяты некоторые граничные условия, например, те же самые, что и условия, которым удовлетворяет вектор и.
При этом, как нетрудно проверить, будет обеспечено выполнение условия диссипативности для только что выписанной расширенной системы, которой удовлетворяют р„и, рор,ии рор,и„, т,и„. Пользуясь этой диссипативностью, нетрудно вывести неравенство: гпах ~ ~ т1 (Аи„и„) ит> о>ос «>о ~сонэ( $ $ [(Асс, и)+(Ви„Вп,)+(Аиу, и„)+т',(Аи„и„Ц (хЛР-- о=о с.и>о (сопл( $$ ((Аи, и)+(Ви„, Ви„)+(Аи„, и„)+.хо(Аи„, и,цо(хо(р, о о с,и>о оценивающее производные и во внутренних точках области б.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ. и Для получения оценок производных порядка выше первого ту расширенную систему с диссипативными граничными условиями, которая использовалась при оценке первых производных, подвергают следующему расширению. Это расширение выполняется в точности по той же схеме, что и описанное сейчас расширение исходной системы. Только теперь роль исходного вектора и должен играть составной вектор, векторными компонентами которого ЯвлЯютсЯ !Аои, цо!А»ио Ро!А»иу, У»и . В РезУльтате РасшиРениЯ мы теперь придем к симметрической гиперболической системе с диссипативными граничными условиями, которая позволит нам оценить уже вторые производные от и. При построении описываемого расширения мы будем использовать производные по х от исходного составного вектора, умноженные на неотРицательный «сРезаюший» множитель Уо(х), Равный нулю в некоторой полоске вблизи х=О (аналогично множителю у,(х), использованному при первом расширении).
Наличие срезающих множителей у„у» приводит к тому, что квадратичные интегралы от вторых производных, которые нам удается оценить, будут эти срезающие множители содержать. Таким образом, мы, в частности, оценим !пах ~ ~ У«У«(А и„», и„„) о(х «(У, о, »>о «=с«пм шах ~ ~ У«(Аи,„, и„„) Вх«(у. о, к>о «=«О«5! По той же схеме, с помощью дальнейших последовательных расширений, оцениваются во внутренних подобластях интегралы от высших производных. На самом деле, вместо у»(х), уо(х), ... обращающихся в нуль в некоторых окрестностях границы х=О, можно взять как в качестве ти так и в качестве у„у„..., одну и ту же у (х) =х, обращающуюся в нуль только на границе х=О. Конструкция с множителЯми У«(х), Уо(х), ... выглЯдит несколько пРозРачнее, потому мы с иее и начали изложение.
Читатель без труда проверит, что во всех приведенных выше рассуждениях и формулах, действительно, можно считать У»(х) =У»(х) =...=х. Полученная с помощью у»(х) =х оценка и и первых производных шах оу»>о О<«СГ Ц~Аи, и)+(Аи„и,)+(Ви„Ви„)+ «=«оп«! +х'(Аи, и,)+(Аи„, ио)) «(х«(у =сонэ! „ / ~ ~ ((Аи, и)+(Ви„, Ви„)+х'(Аи„, и )+(Аи„, и«Ц«(хну, ЬГ С,»>О «=о $ Щ ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ведет к неравенству [ и ) и о= сопз( [ <Р !!!е, т — ~ ) ) ') [(Аи, и)+(Аи„и)+(Ви„, Ви„)+ о [а,»о !=ооо~! +х'(Аи„, и„)+(Аи„, и„)) о(х!(у~ !и ) + шах а.~>о о<!<т [(Аи, и)+(Ви„, Ви„)-)- 1= СОП5! +х'(Аи„и„)+(Аи„, и„)1 о(х !(у, )и[ Ь1~е= [(А(Р, сР)+(Вср„ВсР,) +х'(Аср„ср>) +(Аср, сР„)] !(х о(у.
о, !=о > х>о Константа в оценке нормы решения через норму начальных данных оценивается через коэффициенты системы и граничных условий, через производные этих коэффициентов и через геометрию области. Приведенная сейчас оценка решения, очевидно, обобщает на смешанную задачу с диссипативными граничными условиями неравенства для норм решений, которые мы получили во вводной части (й 5) для простейшей гиперболической системы одномерных уравнений акустики. Надо сказать, что и вывод, приведенный здесь, делался по той же схеме, что и в ~ 5, но только теперь мы обращали внимание на большее число подробностей, имея в виду менее элементарные задачи.
Мы видели, что чем больше гладкость коэффициентов и начальных данных, тем для большего числа производных удается получить оценку. На этом мы закончим изложение техники, с помощью которой оцениваются квадратичные интегралы от решения и от его производных. Мы изложили самую трудную часть этой техники на задачах с тремя (х, у, () независимыми переменными. Применение ее к более простому случаю двух независимых переменных (х, г) не должно вызывать каких-либо недоразумений. Сделаем, однако, несколько важных для дальнейшего замечаний. Изучая смешанную задачу для системы д~ +!А д +ти=О если для оценки решения и и начальных данных !р ввести сле- дующие нормы: юв 1гл. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ в каноническом виде '!и — А„ч+ ! (й,>О) — и л, о в области О ( х ( 1 с двумя боковыми границами х = О, х = 1, на которых заданы диссипативные граничные условия: л, и,= ~', а!!и! /=л,+! лл и! = ~~ р!!и! !=п +1, ..., и, при х=1, !.= ! и строя расширенную систему для первых производных, нам будет удобно считать неизвестными функциями в ней векторы: ри, иь х (х — 1) и,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
