С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 31
Текст из файла (страница 31)
1, о о Здесь вместо равенства выписано неравенство, так как мы подробно не расписывали двойной интеграл по внутренности прямоугольника. Этот двойной интеграл заменен на больший. Константы М и Л! оценивают сверху, соответственно, матрицу 0 и вектор правых частей ~. Аналогичные рассуждения при оценке интегралов энергии несколько подробнее проводились в ~ 12. В силу диссипативности' мы только усилим неравенство, отбросив интегралы по левой и правой границам. Обозначив, для сокращения, через 1(О интеграл л ~(()-1 Х и)(х, () (х, О!=1 получим для него уже знакомое нам неравенство !» )((,) ~(у+( (т(()+И р'~~~~~ ((, в котором постоянная 22' оценивает сверху правые части (~~!)).
Из этой оценки по лемме об интегральном неравенстве полу- чается следующее ограничение роста решений м Я я Ь/тр) е2 +)у 1, Теорема единственности следует из этого неравенства. Лействи- тельно, если бы у нас существовало два решения задачи с одними и теми же правыми частями (!(х, () и с одинаковыми начальными данными и! (х, 0) = !р1(х), то разность этих решений удовлетворяла бы однородной системе ф=О) и нулевым начальным данным. Рас- сматривая однородную систему с нулевыми начальными данными, мы должны считать, что )у'=О, 1'(0) =О.
Отсюда 1'(1) =О. Больше для единственности ничего не нужно. Перейдем теперь к случаю, когда независимых переменных не две, а три (х, у, О. 4 с«1 твогвмл вдинстввнности в смвшлннои злдлча 195 Пусть некоторая область 6 пространства (х, у, 1), лежащая при х)0, с)0, ограничена поверхностью, состоящей из трех частей. Две из этих частей — примыкающие друг к другу по отрезку прямой х=О, 1=0 ограниченные куски полуплоскостей х=О, 1)0 и х)0, 1=0, тогда как третья является как бы «шапоч- Гг,(; Ф кой», опирающейся на границу :4» первых двух (рис. 54). Мы будем предполагать, что единич- 1 ! ный вектоР (т, $, «1) внешней %п нормали во всех точках «шапоч- бс ки» удовлетворяет неравенству Гамильтона — Якоби т + Н (9, «1, х, у, 1) > О, обеспечивающему неотрицательность квадратичной формулы Рис.
54. ([тА+5В+ЧС)и, и). В области 6 мы будем рассматривать решения симметрической гиперболической системы и получим для них оценки, вытекающие из тождества интеграла энергии: ~ ~ ([тА + $В + ЧС1 и, и) сЬ = ~ ~ ~ [(0и, и) + 2 (), и)) сс( с1х с(у. 3 о Удобно применять это тождество не ко всей области 6, а только к ее части 1,)1) 1„ограниченной плоскостями 1=1„1=(„х=О и поверхностью «шапочки». При этом мы приходим к равенству Ц (Аи, и)с(хс(у= )') (Аи, и)с(хс(у+ ) ') (Ви, и) с(ус(1— с=с, »=о — ([«А+ИВ+«1С]и, и) сЬ+ + ) ) ~ [()'.си, и)+2(~, и)) Жс(хс(у.
с с,>с>с, Из этого равенства, пользуясь диссипативностью граничных условий, в силу которой (Ви, и) «О, выводим неравенство: ') ') (А и, и) с(х с(у « ~ ~ (Аи, и) с(х с(у+ с=с, и +$ ( $ ~ [!(«)и, и) ~+21[(и) Дс(хс(у~И. с, !! =сопя! Это последнее ничем не отличается от неравенства, о помощью !96 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [гл. и которого доказывалась теорема единственности и получались оценка решения в случае задачи Коши (см. 5 12).
Тем самым теорема единственности решения у смешанной задачи доказана. Для дальнейшего существенно отметить, что предположение о непрерывности и(х, у, 1) в замкнутом полупространстве х)0, которое использовалось в намеченном здесь доказательстве единственности, может быть ослаблено. Достаточно ограничиться предположениями: 1) непрерывности и(х, у, 1) во всех внутренних точках, т. е. при х)0; 2) непрерывности вплоть до границы х = 0 вектора Ви и квадратичной формы (Ви, и). Зти предположения отличаются от предположения о непрерывности при х'=-0 вектор-функции и(х, у, 1) в случае, если матрица В вырожденная; 3) существования при каждом 1 интеграла (А и, и) дх ду ! = слп5! и непрерывной его зависимости от времени 1.
Читатель без труда убедится, что при указанных ослабленных требованиях 1), 2), 3) к решению и(х, у, 1) намеченное нами доказательство проходит с несложными уточнениями рассуждений. Мы не будем на них подробнее останавливаться. Теперь естественно попытаться, так же как и в ~ 12, применить развитую технику оценок интегралов для получения оценок производных от решения. Но в случае смешанной задачи мы сталкиваемся здесь с серьезными затруднениями. Конец этого параграфа будет посвящен их преодолению.
Мы обсудим, как получить в диссипативной смешанной задаче расширенную систему, содержащую уравнения для производных от решения. Вся трудность состоит в получении для этой расширенной системы диссипативных граничных условий. Наше исследование будет производиться в предположении, что изучаемая система имеет матрицу В вида ~л ~л +1 ~~л, +2 $ !А! ТЕОРЕМА ЕДННСТВБННОСТН В СМЕШАННОИ ЗАДАЧЕ 197 и что граничные условия л~ и!= ~~~~ и!Тин 1=!, 2, ...ии, ! = ли + ! являются строго диссипативными (й, ) О): ~~ , 'й!и! — ~ ', /г!и'; = = ! !=и,+! и, / л, )3 л~ / л, =х ~ ~ .") - ~ —.( х ) !=! /=и,+! /=ли+! 1=л.+! Кроме того, для некоторого упрощения и оез того громоздких рассмотрений мы ограничимся случаем однородной системы урав- нений 1Г=О).
Это ограничение не является существенным. Из сделанного предположения о виде В вытекает, что д д! — А, д д! — /ги д — — А д! лз о о 1 д — — А! А! д! 1 д — — Ф! Аи д! 1 д — — А д! л, и1 о Ф и, о где !ти — некоторая матрица с ограниченными гладкими козффи- циентами, 198 1гл. и ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Точно так же показывается, что В,=В, В; ВУ=В, В, где )см )со — ограниченные матрицы, имеющие ту же гладкость по х, у, 1, что и производные В„, Ву матрицы В. Продифферен- цировав исходную систему по 1, х, у, мы приходим, так же как и в слУчае Коши (см. 912), к РасшиРенной системе дла и, иь и„, иу. А — „"'+ВД+С- д— ш+ф+Ао) и,+Вон„+Соиу+Оии=О, А д'+В д" +С ди" +А„и +(В„+ое) и„+С„и„+1е„и=О, диу диу диу А — , "+ — у+С ду+А„и,+В„и„+(С„+ое) и„+Я„и=О.
Для дальнейшего нам удобно слагаемые В,и„, В„х„во втором и четвертом уравнениях выразить с помощью первого уравнения (исходная система) через и„иу, и: В,и„= К,Ви, = — ЙоАи, — поСиу — хооо1еи, Вуи =)хоВи„= — )ооАи,— )ооСиу — )ГДи, и исключить из системы третье уравнение. Тогда для и, ии му мы приходим к следующим уравнениям: А — + — +С вЂ” = — Яи, ди ди ди д1 дх ду (' А) д1-("')+ (: В) д'"')+ (: С) д-'("') = Ао — "~оА+О Сг — иоС ) (ио) ((Оо йоО) и) Ау — РоА Су — ВоС+ф ~иу/ ~(Оу — ВоО) и]' Мы в этой записи постарались подчеркнуть важные для даль- нейшего особенности ее структуры: уравнение для и независимо от уравнений для и„иу, тогда как эти последние составляют симметрическую гиперболическую систему, завязанную с уравне- нием для и младшими членами.
Если матрицы коэффициентов А, В, С, Я были достаточно гладкими, то можно рассматривать полученную здесь систему как исходную и опять провести рас- ширение, включив при этом уравнения для вторых производных: О А Π— иоу + Π Π— иоу + О С О вЂ” иоу Здесь многоточием в правой части заменены младшие члены, представляющие собой суммы слагаемых, каждое из которых получается применением ограниченных матриц к и, ии иу, ии, ицв иуу. з !в/ твовамх вдинстваиности в смвшхинон зхлхчв 199 л, и,(0, у, /)лл ~ а//(у, /)и/(О, у, /), !=1, 2, ..., и, /=л,+1 Таким дифференцированием мы придем к соотношениям: л, л, ии = ~ ации+ ~ а„!и/, / = л~+! /=ло+1 л1 л, и!„= ~ ', а!/и/„+ ~ч~ а„„и/, /=л, +! != ло+! л, ии/ = а!/и/!, + ~ 2а/пил+ ~ а,/,/и/, ! /=л,+! / = лл+ ! л, а„и//„+ Я а г и/а+ ! /=л,+! л, л~ + '5'„а////и//+ ~ аи/ли/.
/=лл+! /=лл+1 л л, а!/и/„„+ У', 2ау„и/„+ ~Ч~~ а!/„„и/, ! /=лр+! / = — лр+! л, и//а= /=лр+ л, и!„„= /=лр+ Ясно, что при достаточной гладкости коэффициентов возможны и дальнейшие шаги процесса расширения, которые включаются в систему уравнения для все более и более высоких производных по / и по у. Важной для дальнейшего особенностью описанной здесь схемы получения расширенных систем является то, что прп их составлении мы как бы полностью игнорируем производные по переменному х, исключая эти производные с помощью либо исходных уравнений, либо уравнений, выписанных в результате предыдущих шагов расширения.
Можно было сделать выкладки при нашем описании процесса расширения чуть более короткими, если предполагать, что расширяемая каноническая система имеет матрицы В постоянными. При этом производные В„ В„ равны нулю и поэтому пропадает необходимость выражать их через В. Напомним, что если система приведена к каноническому виду, который использовался при описании расширения, то она может быть приведена и к каноническому виду постоянными В (см. 9 11).
Получив расширенную систему, мы постараемся использовать ее для вывода оценок, так же как это делалось в случае задачи Коши. В случае смешанной задачи нам придется пользоваться диссипативностью граничных условий. При этом граничные условия расширенной системы мы будем получать дифференцирова. иием по / и по у граничных условий исходной ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ.
И которые могут рассматриваться как граничные условия для расширенной системы. Если бы мы включили в нашу систему уравнения для и, и„„„мхи, и,ь то для них мы не сумели бы получить граничных условий описанным здесь приемом, так как нельзя дифференцировать по х граничные соотношения, заданные нам только на плоскости х=О. Именно это обстоятельство побудило нас строить расширенную систему специальным образом, включая в нее только производные по у и по й Однако и теперь у нас еще нет уверенности, что граничные условия расширенной системы оказались диссипативными. Они действительно могут не быть таковыми. Чтобы справиться с возникшим затруднением, удобно, выбрав гладкие положительные множители РО=РО(х У, !) Р,=Р,(х, У, 1), Р,=Р,(х, У, !), использовать в расширенной системе в качестве неизвестных не вектор-функции и; иь ци; ии, ипО иии; а пропорциональные им Роп РОРип! Рорипи РОРГРОпд РОР Р~пм РОРирипе Характер системы от введения таким образом новых неизвестных не изменится.
Она опять будет иметь следующий вид; А д +В д~ +С ~~' =младшие члены, содержащие (Рии], дх ду (..). (""' ')+(..).-("'"'"')+(' ')-'("'"'"')= = младшие члены, содержащие (Роп), (РОРипД* (РОРГпи) О А Π— ВОР!Рии!и + Π Π— РОРи у!и!и + +1О С О вЂ” Р,Р, Р, и,и) =МЛадШИЕ ЧЛЕНЫ, СОдЕржащИЕ ~О О С~ !,УОР,Р,иии ду иГРОПз! !ГРРР!"и1э ГГРОР!" и!! !ГРОРхри" а1, ГиРОРири"!и!! (Р Рири"ииз! 5 16! ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ В СМЕШАННОН ЗАДАЧЕ 201 Изменятся коэффициенты граничных условий, которые теперь пишутся так (1=1, 2, . по)! и, [Рои!] =,Е а!/ [Рои/1 /=..+! л, л, [Роруии] = ~' а!/ [Рор/и/!]+ ~ Р/а!/! [Рои/], !=по+1 /=л.+! ио ло [Рор1и!у] = ~ а!/[РЛР1и/у]+ ~ ' Р,а,/у[Р и/], 1=Л,+1 !=Ло+1 л, [ ор/рои!!] = Х а!/ [Рор/Руи/!!]+ /=по+1 л, и, + Х 2роа!/! [Рор/и/!]+ Р,' рор1а! !! [Рои/], / л,+! !'=п -!-1 л, [Роророи!у] = Х а!/[Рор/рои/!у]+ !'=-л,+1 Л! +,5~~ Роа!/! [РОК!и/у]+ ~'./ Ро'1!/у [РЛР1и/!]+ /=п,-!-1 /=ло-!-1 л, + о о РЛР1а!! [Рои/] /=л,-!-1 л, [Роророиуу] = Х а!/ [Рор/рои!уу]+ /='!о+1 л Ло + ~Ч~ 2Роа!/у [РЛР1и/у]+ ~~ Рор,а!/уу [Рои/].
/=ло-!-1 +! Благодаря сделанной подстановке у некоторых из этих коэффициентов появились множители р„р„рор1. Поэтому, пользуясь свободой в выборе р„р„р„мы можем сделать коэффициенты, содержащие эти множители, произвольно малыми (но не нулямиВ!), и за счет этой малости обеспечить диссипативность граничных условий. Поясним, как это делается на примере расширенной системы, с помощью которой оцениваются только и, и„ и„. В качестве неизвестных при этом должны быть выбраны вектор-функции О=Рои, 0=РЛРТи!, Ъ=РЛР1иу, ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАБНЕНИЯ сГЛ. И удовлетворяющие при х=О граничным условиям: л, асссасэ С=лю-с-1 л, а!!в + ~ 1СсаСССО;ю С=л,+1 л, асД+ ~ р,ацуоп С=л,-с-! (1 =1, 2, ..., По)ю с=л,+! л, ос= с=лю+1 а при х)О системе, у которой мы выпишем только старшие члены, содержащие производные от неизвестных функций: (ю в ~)с(),-(ю в ~)~()Ю-(ю с ю)с()ю-...=ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
