С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 34
Текст из файла (страница 34)
На каждом фиксированном сеточном слое 1=йт=сопз1 и(х, у, 1) =азуо(х, у, 1) иу,+а;„,а(х, у, 1) и;, ул+ +а1Уч„т В(Х, У, 1) ио„,+ас„У,,(Х, У, 1) ини Утп (все остальные коэффициенты агль н1(х, у, йт) =О). Повторением с очевидными упрошениями и видоизменениями, только что проведенных рассуждений доказывается неравенство и'(х, у, кт) с(хну(/ув Я и'(х, у, йг). 1=сопз1 по всем узлам 6 слоя 1=аз При ит(1((й+1) т и при нашем способе интерполяции и(х, у, 1)= и(х, у, кт)+ и(х, у, [1+1)т), и'(х, у, 1)( + и'(х, у, йт)+ и'(х, у, [у+1]т), и'(х, у, 1)с(хс(у - Ц и'(х, у, йт)с(хс(у+ 1 = с оп51 а=от с о + ~~ и'(х, у, [1+1'1т)с(хс(у=- 1=<А+Пт ~шах( )) ивс(х1(у, ~~ издхду).
1сь Ат 1=(С+!)т Поэтому при любом 1 1*, е, !! аа~ .* 1 Х "1*, з, а1а*). у сопи по всем )по слою с сеточным [ 1 слоям й (71 КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ СЕТОЧНЫХ 5РРНКЦИН 215 ((и 'Ли [ и ([(+1] й, у, 1) — и (щ, у, () ах Ьх [х=м а 1=-Ат би ((и [ и(х, [/+1]Ь, 1) — и(х, (ии () ау оу [х=м Ь П=(А (=ы отметим еще следующие неравенства для и(х, у, (), построенной при помощи описанной интерполяции: ( М (~ (5",) 5~, и=(ь (=Ат 55(м *[ ~ (5„") 5~.
"(==Ах [ =М и„'(х, у, () о(и=соп5() и',(х, у, (а=соп(П [(=СОЯ(!1 ') максимум по 1 следует брать только по тем 1, для которых и( су(дест'- вует, исключив тем самым из рассмотрения конечное число значений й Теперь мы докажем, что оценки квадратичных интегралов от производных проинтерполированной и(х, у, [) вытекают из оценок соответствующих сумм квадратов разностных отношений сеточной (зи функции.
Обозначим через — разностное отношение ()( Ьи аи ] и (х, у, [Ф + !] т) — и (х, у, йт) ь( [ =(л, Р=(А, (=ьт т На интервале времени (й+ [) т ) [) [ет, производная по ( у нашей проинтерполированной и(х, у, [) при фиксированных х, у постоянна и вычисляется по формуле л(™ (х' У' [) „~,(хиль (х У ит) ~,у( ]'ь ( ( Поэтому на атом интервале времени и,' (х, у, () ( ~~~~ аи( А (х, у, йт) [ — ~ (( и((х, у, ()([х([у( ~~) Ье( — ) . ат«((Ф-Ьпт ПО СЛОЮ (Р Дт Теперь уже очевидно, что *) М(С 5.
((5*5(М * [ ~ 5'( — '")~, (=СОПЯ( сс(ояпь(м ПО СЛОЮ с СЛОЯМ Обозначая вычисляемые по сеточной функции разностные отношения: $ !71 КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЯ 217 вытекают аналогичные неравенства: ~ ~ ~ и' (х, у, 1) !(х !1у !11 ~ сопз1, !пах ~ ~ и' (х, у, 1) !(х ду ~ сопз1, щах ~ ~ и!) (х, у, 1) г(х г)у =- сопз1, гпах ~ и,' (х, у, 1) пх ( сопз1, гпах ~ и,', (х, у, 1) !(у ( сопз1, !,к которым удовлетворяют функции, продолженные (проинтерполированные) на всю 6. Константы в соответствующих неравенствах для сеточных и продолженных функций одинаковы. Доказанное утверждение позволяет нам воспользоваться теоремой 2 из 2 9 главы 1 и следствием из этой теоремы и теоремы Арцела (см. тот же 2 9).
Цель, к которой мы стремились, исследуя продолжения сеточных функций, — достигнута. На компактности будет основано доказательство теоремы существования (см. 22 19, 20). С очевидными упрощениями аналогичное исследование свойств продолжений (интерполяций) может быть проведено и для сеточных функций и(х, 1) от двух переменных х=!и, (=йт. В каждой ячейке й ~ х ( (! + 1) й, йт — 1 =.
(/г + 1) т, мы проннтерполируем такую функцию линейно по х при (=сопз1 н линейно по 1, при постоянном х. Не останавливаясь на доказательстве, ограничимся только формулировкой важных нам свойств такой интерполяции. Из неравенств для сеточных функций (по сетке, покрывающей область 6): ~~ и' (х, 1) 7!т ( сопз1, к, ! щах ~х~ и'(х, 1)й( сопз1, к п1ах 7 ( — ) Ь(сопз1, к гпах ~~( — ) й(сопз1, к вытекают, для продолженных на 6 непрерывных и(х, у, 1), сле- 218 гипвеволичвские уийвнвнйя (гл и дующие неравенства, имеющие, соответственно, те же постоянные: ~ ~ и' (х, () Йх й -= сопз1, гпах ~ и' (х, () Йх» сопз1, шах)и)(х, () г(х»сопя(, гпах )и'(х, () Йх»сопз1.
Теорема 1 из 2 9 главы 1 и там же сформулированное следствие из нее и из теоремы Арцела позволяют для прямоугольной области 6: (х,»х»х„(,»1»(,) вывести из этих неравенств утверждение о компактности (относительно равномерной сходнмостн) любого бесконечного семейства функций, удовлетворяющих выписанным неравенствам.
Теперь мы уже имеем критерий компактности для сеточных функций как от трех, так и от двух переменных. Для сеточных функций от трех переменных (х, у, () мы в дальнейшем будем пользоваться критерием компактности в несколько иной формулировке, а именно мы будем требовать выполнения неравенств: гпах ~ ', и' (х, у, 1) й' » сопз1, х,и шах У ( — ) Ь'=.— сопз(, и, д шах ) [( — ) + ( — ~ 1 й' == сопз1, п1ах~~) [ — ~ й'» сопз1, левые части которых содержат суммы только по целым сеточным слоям 1= сопз1 и не содержат сумм по отдельным сеточным рядам ((=сопз1, у=сопз1), ((=сопз1, х=сопз1), которые участвовали в критерии, обоснованном выше.
Вместо этого мы включили суммы по слою от квадратов вторых разностей й2и ~ Л (Ьи') и (х+й, у+й) — и (х, у+й) — и (х-';-й, у)-)-и (х, у) йхйу (., „ду (йх/ у Покажем, что из сформулированных сейчас неравенств следует выполнение уже обоснованного критерия компактности. Область 6 мы считаем прямоугольным параллелепипедом с гранями, парал- ййо ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (гл. и Отсюда следует существование такого у', что ~(У')-у Теперь очевидно, что для любого у (л — „) й=8(У)=~~(У')~+~~(У) — ~(У')(~) + х) . к у соек! (= сопз! Ет гон~в Нам удалось оценить т ( — ) 6 через размеры 6, через к~а (,йх) к к,у к, у и через к, у чт гЬи(а Оценка суммы у ~ — ) и получается сменой обозначений перемен? '(лу) ных х, у.
Удобная для нас форма критерия компактности в трехмерном случае обоснована. 3 а д а ч а. Сформулируйте и докажите аналогичный критерий для случая четырех независимых переменных х, у, г, 1. Обоснованные критерии компактности (двумерный и трехмерный) дают возможность, построив удовлетворяюгцие им последовательности сеточных функций, утверждать, что из них можно выбрать подпоследовательности, равномерно сходящиеся к некоторой непрерывной функции. Иногда есть возможность установить дифференцируемость этой предельной функции. Для этого, оказывается, достаточно потребовать, чтобы наряду с сеточными и (х, у, 1) критериям компактности удовлетворяли и все их первые Ли Ли Ли разностные отношения †, †, †. В самом деле, рассмотрим Л1 Лх Лу наряду с множеством сеточных (иа(х, у, ()) еще совокупности таких функций (о„(х, у, 1)), (ига(х, у, 1)), (да(х, у, ()), которые определим при помощи равенств и(х+а, у, 1) — и(х, у, 1) Ли ол(х у ()— Л Ьх и(к, у+а, 1) — и(х, у, 1) Ли Гва (х У () Л а г у и(х, у, 1+т) — и(х, у, 1) Ьи э 1и КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ 221 Выберем из (ил (х, у, ~)) сходящуюся подпоследовательность, из нее выберем подпоследовательность такую, чтобы построенные по ней ол(х, у, ~) тоже сходились.
Из этой последовательности выберем в свою очередь подпоследовательность так, чтобы ее юл (х, у, () были сходящимися. Переходом к следующей подпоследовательности мы добьемся сходимости также и дл(х, у, Г). Итак, при выполнении Лил аил лил критерия компактности для ил, — , †, †, из семейства сеаг ' лх ' лу ' точных функций ил(х, у, ~) можно выбрать подпоследовательность такУю, что непРеРывные фУнкции ил, Ол, шл, дл, полУченные описанной выше интерполяцией с сеток на всю покрываемую ими область, будут равномерно сходиться к непрерывным функциям й(х, у, 1), о (х, у, Г), ш(х, у, 1), д(х, у, 1), так, что ~ил(х, у, 1) — й(х, у, 1) )(е(Ь, т), ~ ил(х, у, 1) — о (х, у, Г)',(е(Ь, т), ~шл (х, у, () — ю (х, у, г)1(е (й, т), ~ул (х, у, г) — й (х, у, Г), (е (й, т) (й- 0 е(л, г) — 0 прн $т — ~О (мы будем в качестве ил, ол, шл рассматривать теперь только эту сходящуюся подпоследовательность).
Про и„ом юл, дл, определенные на всей плоскости, нам, кроме того, известно выполнение неравенств, дающих оценку их непрерывности: )и„)~м, | ил (хл Ул (1) ил (ха Уа Га) ~ ~ 1У (1~ хл:хл+ У Ул:Ул+)кТ:4) ~ол!~М, ил (хп ун (л) — ол(хм ул Гл) ((у( хл — хе+~/у~ — ул+~'7,— Гл) Мы воспользуемся этими неравенствами для того, чтобы доказать равенство й(хл Уо Г~) — й(хи Ул, (,)= ~ о(х, У„Г,)йх, к, которым связаны значения функций-пределов й, и на произвольной прямой у = у„ г = 1„ параллельной оси х. Рассмотрим сетку с некоторыми шагами и, т, соответствующие сеточные ил, ил и их интерполяцию на покрытую сеткой область. Эту интерполяцию мы обозначаем теми же буквами ил(х, у, г), ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1Гл.
и оа(х, У, 1). Положив х1=11Ь+$„ха=йай+$„Уй=)й+ть (а= Ьт+б' '~1~»2' ~~а~» 2' ~т(~» 2' ~б~» 2' мы тем самым а а а выберем сеточный ряд точек у=(Ь, й=йт, ближайший к прямой У=У„, 1=1а. ОчевиДно, что ~ил(хо Уо ~о) — ий(11Ь )Ь Ьт)!»)У(2 1/ 2+ $/ — 2), г— !ил(ХИ Ум (о) — ил(1гй (Ь Ьт)~»1Ч(2 ~У 2 + )аУ -2-), ил(1',й, )Ь, Ьт) — ий(11Ь, уй, Ьт)= 1= 11 — 1 1,а ( — й) Ь = ~ ол (х, (Ь, Ьт) 1(х, $=Ч откуда ! йй ил(хм У„1а) — иа(х„У„(,) — ~ оа (х, (Ь, Ьт) 1(х» ьй = (41/-";+1/-;~. () С другой стороны, пользуясь имеющимися у нас оценками ограниченности и непрерывности подынтегральной функции оа (х, у, 1), нетрудно установить, что: ! ка ой ~ оа (х, у„ („) (х — ~ ол (х, )Ь, Ьт) (х = к~ ьй Ьй-ЬЕ пй — ол(х, 1Ь+П, Ьт+б) Нх — ~ ой(х, (Ь, Ьт) йх па+и ьй »М('~ с1 + ьа ()+У '1ай — 11Ь',(ф Я), )к ~б ~)» »2М +1ЧХ(1/ — + 1/ — ).
(**) Объединяя утверждения неравенств (*) и (*"), приходим к ра- венству: иа(х,, у„(й) — иа(х1, уа Га) — ~ ой(х, у„(й)с(х=О(й+)/й+)~"т), к, в котором можно перейти к пределу при Ь, т, стремящихся к нулю. В результате этого предельного перехода выводим: к, й(х„у„(„) — й(х„у„1а) = ~ о(х, у„(а) дх. кк 2 !71 кгитвгии комплктности сеточных функции 223 Пользуясь произвольностью х„х„у„~„перепишем это утверждение в виде к й(х, У, 1) — й(х„У, 1) =~ йЯ, У, 1) 2($. 2 Совершенно аналогично доказываются равенства й(х, у, 1) — й(х, у„() =~ ш(х, тЬ 1) 2(Ч, и (х, У, 1) — й(х, У, 12) = ~ д(х, У, 6) 2В, которым удовлетворяют предельные функции и, о, и2, д. Из этих равенств уже следуют дифференцируемость й(х, у, 1) и равенства дй " дй — = 0 — — = И2, дх ' ду ди д~ обеспечивающие непрерывность производных.
дй дй дй Для дальнейшего важно отметить, что й, —, —, —, полудх' ду' д2 ' ченные как пределы равномерно сходящихся последовательностей равностепенно непрерывных и равномерно ограниченных функций, будут удовлетворять тем же оценкам: /и(х, у, () /(сопз(, ~ й (21 Ч1 т1) й (22 Ч2 12) ! 1-"- дй ди дх (з1 Чм т1) дх (з2 Ч2 т2) ~'- (сопз((~~ ~й' ~21 .+ ф ~Ч' 'Ь'+5 ~/ ' ' '~), !" дй дй —,„а„Ч„,)- —,„(й., „,)~=- дй дй д~ (21' ~1' 1) д1 ("2' (сопз( 1 ~~' 4~ +1 ~ 1' 2~+-5 Т /2 ~ — ~ ( сопз(, ~ — ~ ( сопз(, ~ — — ! ~ сопз(, 224 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. П дй дй дй ЧтО И ФУНКЦИИ иы ОМ Шзо да, ИЗ КОТОРЫХ и, — —, — —, —; ПОЛУ- дх' др' д~ чаются в результате предельного перехода. Константы в этих неравенствах при переходе к пределу не меняются, и, следовательно, зависят лишь от постоянных, оценивающих суммы квадратов разностных отношений, входящих в соответствующие критерии компактности сеточных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
