С.К. Годунов - Уравнения математической физики (1161622), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Так как вектор ! —, —, — ) коллинеарен вектору /д~р дар даа ', ',д! ' дх' ду/ нормали (т, в, а!) к поверхности 5, то последнее условие эквива- лентно неравенству й е ! !! тА + $В + а!С (! ~ О. Определение. Поверхносапи 5!ар(х, у, !)=0), на которых с1е1! -д(А+ -т В+ — тС~ = — О, или, что то же самое, г)е((!ТА+ИВ-)- ! д!а д!а дар +- т!С ) = О, где (т, Ц, Ч) — вектор нормали к поверхности 5, называ>отея характеристиками системы А ди+ В ди+ Сди д! дх ду Разберем пример, иллюстрирующий это определение.
Система, описывающая в двумерном случае распространение звуковых волн, пишется так: др , /ди ди! — +р,р) ( — + — !-О, д! а !,дх ду) ди ! др — + — — =О, д! Ра дх да ! др д! + Раду=о. ХАРАКТЕРИСТИКИ форма этой системы: О р,с! О р — О О д и ! Ро дх — + О О О о Вот матричная о о р р О о о рэ О О О д и О ду О Р О О ! О д и д! — + О О ! о ! — О Ро так: Ее определитель д! А + дх В + д- С(~ = др ')( ду) со ~~~ дх) + (д ) 1! ° Приравнивая определитель нулю, получаем уравнения характеристик: д~ Определение.
Система п уравнений первого порядка называется 1-гиперболической, если ее характеристическое уравнение де!()ТА+аВ+т~С'!=О при любых вещественных Е, Ч Я'+Ч'ФО) имеет и вещественных и различных корней т. Если матрицы А, В, С зависят от х, у, р, то требуется, чтобы это условие было выполнено в каждой точке (х, у, !) рассматриваемой области.
Проверять условие гиперболичности для конкретных систем очень трудно. Однако есть один важный класс систем, когда такая проверка существенно облегчается. Рассмотрим систему Матрица ~ — А+ — В+ ~,де де ~ д! дх ~Ч' дУ ! дгр ро дх ! дгр Ро ду де — С~ здесь пишется ду „д~р, д<р Ра~! .д х Ро~~ Ду — О д) О дгр д! 86 ВВОднАя чхсть ~ГЛ. ! 1 др ди — — +— рчс„'дЬ дх ди Рь дЬ дь р О дЬ дь +,—,=О, у + -Р -- О, дх др. О ду с симметричными матрицами А, В, С. Матрицу А предположим к тому же положительно определенной.
Очевидно, что матрица З=ЧВ+т)С тоже будет симметричной при любых $, ц. Известно, что любые две симметричные матрицы А, Э, одна из которых (в нашем случае А) положительно определенная, можно одним и тем же иевырождеииым вещественным преобразованием Т привести к диагональному виду (матрица А при этом может быть переведена в единичную) ь, о о Т"!УТ = Т"АТ=[ Ьх о ь„ ~о Рассмотрим теперь уравнение йе([тА+$В+х)С[=бе([тА+Л[=[бе([Т Ц-'бе((гТ*АТ-(- т+ь1 о +Т" %Т[=[с3е('ЬТЦ-'ое( + ', =О, о т-';ь„' При любых вещественных $, Ч оио имеет дчя т ровно и веществеииых корней. Правда, у иас иет никакой информации об их кратности. Несмотря иа это, системы вида ди , ди ди А — + — -+С вЂ” =( дЬ дх ду с симметричными матрицами А, В, С, из которых А положительно определенная, обладают всеми основными свойствами гиперболических систем.
Часть этих свойств будет нами в дальиейшем подробно изучаться. Оп редел еи не. Систел~а ураснений Ад — +В -+Сд — =1 ду дх ду назьмается симметрической (-гиперболической сиипемой (по Фридрихсу), если матрицы А, В, С являются симметрическими, а матрица А к тому же положительно определенной (Все элементы матриц А, В, С и компоненты правой части предполагаются, как обычно, достаточно гладкими функциями х, у, (.) П р и мер. Уравнения распространения звуковых волн, которые мы уже рассматривали, можно записать так: 87 хлллктеюютики По сравнению с предыдущим примером мы первое уравнение разделили на р,е3, а два последующих помножили на р,. В матричной форме рассматриваемая система перепишется так: Из этой записи следует, что матрицы / ! А=~я~~" В=! о о С= о о о о р„ удовлетворяют всем условиям только что приведенного определения и что поэтому уравнения распространения звука в использованной сейчас форме образуют симметрическую 1-гиперболическую систему.
Симметрические 1-гиперболические системы, как это выяснится в следующей главе, позволяют построить некоторые важные соотношения, которым удовлетворяют их решения. Эти соотношения, обобщающие закон сохранения энергии для решений уравнений акустики или уравнений Максвелла, носят название интегралов энергии.
По существу вся теория симметрических гиперболических систем основывается на этих тождествах. Лля системы А(х, У, ~, 4 .), -+В(х, У, г, ) а — +С(х, У, ~' и) д- — — ~(х, у, ~, и) (здесь А, В, С вЂ” матрицы, и — а-мерная вектор-функция) мы определили характеристики как такие поверхности Я, что вектор (т, 1, Ч) — нормаль к 5 — удовлетворяет равенству бе(;,тА+вВ+нС) =О.
Заме~им, что это определение выделяет поверхности, которые не меняются прп произвольном линейном невырождениом преобразовании множества нскомь|х функций и прп замене исходных уравнений произвольными их линейными комбинациями. Именно, положим и = Ти (Т = Т (х, у, ~) — невырожденная матрица). Тогда функции и будут удовлетворять системе Замена уравнений системы их линейными комбинациями эквивалентна умножению системы слева на невырожденную матрицу Я.
!Гл ! Вводнля члсть При этом уравнения принимают форму ~АТ вЂ” + ~ВТ вЂ” + РСТ вЂ” = ٠— г~(А — +  — + С вЂ” ) о. до до до Г дТ дТ дТ~ д1 дх ду (, д~ дх ду) Если бы Я была вырожденной, то эти уравнения не были бы эквивалентны исходным. Напишем уравнение характеристик для так преобразованной системы: бе( ~~ЩАТ+ЪДВТ+чЯСТ !! = О. По теореме об определителе произведения матриц г)е(!)тОАТ+ЬДВТ+~фСТ~~ =йе('дЯ(тА+$В+пС) Т д'= =г)ег ~~ 9з бе( з тА+ $В+чС ~~ бе( ~~ Т 1й В силу неравенств ое(йЯ'ЗФО, г)е('д Т ~!~0 уравнение бе( 'д тА + $В + т~С ~~ = 0 (з) эквивалентно уравнению бе( ~~ЯА Т+ ЯВТ +ъДСТ д' = О.
Утверждение об инвариантности понятия характеристик относительно невырожденных линейных преобразований множества искомых функций и относительно замены уравнений произвольными равносильными линейными комбинациями доказано. Множество векторов (т, $, т)), удовлетворяющих равенству (3), очевидно, является конусом, так как с каждым вектором (т, $, Ч) этому равенству удовлетворяют и все коллинеарные ему векторы вида (йт, Ц, ФО).
Конус, определяемый таким уравнением, называется конусом нормалей к характеристикам или, короче, конусом характеристических нормалей. Если матрицы коэффициентов А, В, С зависят от координат х, у, 1, то и конус характеристических нормалей бе('1тА (х, у, г)+чВ(х, у, ~)+т~С(х, у, ()) =О в каждой точке пространства (х, у, Г) свой. Дадим еще определение характеристик в случае одного уравнения второго порядка Ограничимся только случаем двух независимых переменных х, (. В случае большего числа переменных характеристики определяются совершенно так же.
Перейдем к новой системе координат: гр=гр(х, 1), а=а(х, (), (~' )~0. хАРАктеристпки В этой новой системе координат уравнение запишется так: '(А (У~) +2В(д )(д )+С(~ ) 1,~ + д~р да да да д~р да д~р дат деи дГ дГ де дх дх дГ дх дх1 дорда + ~А (тг) +2В(дг)(д )+С(д ) 1Ы+ =((х, г', и, и„~р,.+и,а„и„гр,+и,а~). Предположим теперь, что на некоторой кривой гр =~р„=сонэ( нам задана функция и и все ее первые производные, как функции от а.
Для нас существенно, что известна функция и и ее ди производная —. Дифференцируя их по а (то есть вдоль кривой), да ' мы найдем на этой кривой ди взи д2и да ' дав' дорда' Теперь с помощью уравнения, если только А ( дт ) + 2В ( дт-) (-„т ) + С ( дт) ~ О, мы сможем найти —. Кривые <р(х, 1) =сонэ( (цгаг) грФО), на код2и да2 ' торых А (дт) +2В ®(-х)+С(д ) =О, (4) называются характерисп~икал~и уравнения А .д, +2В дгд +Сд „вЂ” — (. д'и дви дии Ат'+ 2Вт$+ С$' = О, где (т, Е) — нормаль к исследуемой кривой. Характеристики играют для одного уравнения такую же важную роль, какую они играют для систем. Так же как и для рассмотренных выше систем, при определении характеристик для уравнения второго порядка равенство (4) можно заменить эквивалентным ему соотношением ВВОДНАЯ ЧАСТЬ 1гл.
1 Если кривая 1р(х, 1) =1р, является характеристикой, то решение и удовлетворяет вдоль нее равенству дф да дф дх дф да дф да 1 д /ди 1 де д1 д1 дх дх де дх дх) да (,дф ) =1(Х, 1, И, иАфх+и„а„; иягР, +ииа,). Это равенство можно рассматривать как соотнон,ение между ди и, — вдоль характеристики. дф Задача Коши для уравнения вп1орого порядка ставится так, ди Задавая на некоторой линии ф=сопз1 значения и, —, мы долдф' жны постараться определить решение в некоторой окрестности этой линии.
Если кривая ф=сопз1 является характеристикой, то ставить задачу Коши на ней нельзя. Задав и на кривой, мы сможем определить и из соотношения на характеристике. Свобода задания начальных данных снижается. Иногда, правда, достаточно на характеристике задать и, чтобы определить решение, но такую постановку задачи уже неестественно называть задачей Коши. д-'и д'и Примеры. 1. Для уравнения —., — —,=0 характеристики дд дхв определяются равенством !д1) (д) !д! д ~ ду+д) Общее решение уравнения — -+ де=О имеет внд 1р=ф(х — 1), дф дф дф дф а общее решение, аннулирующее другой множитель -, — —, будет 1р =1р(х+1).
Равенства ф(х — 1) =сопз1 или 1р(х+1) =сопз1 определяют два семейства прямых х ..н1= сопз1, ко~орые н будут характеристиками рассматриваемого уравнения. дии д'-'и 2. Для уравнения Дапласа —, + -;=0 уравнение характедх' дуз /дф1Я !дф Р ристик ~ — ) + ( — ! =0 действительных решений не имеет. '1д! ) (,дх1 Уи ди 3. Уравнение теплопроводности — = приводит к уравнедхв д1 нню характеристик ~ — ) =О. Общее решение этого уравнения 1дф 1х ~ дх ) 1р=1р(1). а характеристики ф(1)=сопз1 (1=сопз1) представляют собой прямые, параллельные оси х. Задача определения темпера. туры для 1)0 по начальным значениям и(х, 0) представляет 9! $61 ХАРАКТЕРИСТИКИ собой задачу с данными на характеристике.
Именно поэтому здесь задается в качестве начального условия только одна функция, хотя уравнение теплопроводности второго порядка. Начальная задача для уравнения теплопроводности не является задачей Коши, хотя такое название ей часто в литературе присваивается. Оказалось, что уравнения с частными производными естественно классифицируются по свойствам характеристического уравнения. Так было введено понятие гиперболических систем, которые мы уже определяли. Дадим еще определение эллиптических систем нли уравнений.
Система ди ди ди А ---+ — +С вЂ” =г дх ду дг называется эллиптической, если ее характеристическое уравнение бе( ~~ 5А+пВ+.~С й =О не имеет вещественных решений (9, т), ~) таких, что $г+т~г+ + сг ) О. Чтобы дать определение эллиптичности для одного уравнения А — +2 — +С вЂ” =1, д'и йи д'и дх' дх ду дух надо рассмотреть его характеристическое уравнение А~и + 2В$т)+ Спг = 0 н потребовать, чтобы оно не имело вещественных решений ($, и) таких, что хг + пг ) О. Примером эллиптической системы является система уравнений Коши — Римана: ! д дх ду ди 0 ду дх а примером эллиптического уравнения — уравнение Лапласа дги д'и — + — =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
