Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 80
Текст из файла (страница 80)
положить, что бз = = (де/дх)дх+(де)дТ) ЬТ = О, а также де = (де)дх) ах+ (де)дТ)ЬТ = О. Удельные теплоемкости для простоты считать постоянными. Показать, что (а) и, Т вЂ” (е, + АсТ) = езТ вЂ” (ее + СдеТ), т. е. что Упражнения 453 Ое/ез — — сопз1 ° Тле !и е — ~-'Ивт, где 1 Ле, = ем — еы и !! че !7 = — А'и 2 .4се = с„— сап Сравнить эти результаты с выведенным в тексте уравнением (1.78) и с общим законом действующих масс (уравнение (1.74Д. Обратить внимание, что, как следует иэ приводимых в тексте равенств (1.90) и (1.91), бс/!7 = '/г 1.11. Применить закон действующих масс !уравнение (1.74Ц или последовательность рассуждений такого типа, как в упражнении (1.10), к случаю ионизирующегося одноатамного газа, т. е. к реакции типа Аге + е = Аг, Ион аргона + Электрон = Нейтральный аргон.
Электронный газ предполагается совершенным. Массы, а следовательно, и газовые постоянные для Аг' и Аг приблизительно одинаковы, так как масса электрона очень мала. Предположить, что удельные теплоемкости всех трех газов постоянны. Пусть символ х обозначает степень ионнаации, т. е. х — это доля общей массы, приходящаяся на Аг'. Показать, что х' Т'З , = сопзг ° — е-янт.
1 — х' р [Константа не может быть определена с помощью термодинамических соображсинй. СтатИСтИЧЕСКая МЕХаНИКа даЕт дпя НЕЕ ВЫражЕНИЕ (2 л а) Ьй бй где щ — масса электрона, а л — постоянная Планка.) Формула (2ЛШ) й (1 Т)Н ь щт 1 — хе рд' представляет собой известную формулу Эггерта — Саха. 1.12. Рассмотреть двухфазную систему единичной массы, состоящую, , например, из доли х водяного пара и доли (1 — х) воды. (а) Показать, что при равновесии й =бз (б) Применить зто условие равновесия к двум соседним точкам на диаграмме р-Т, т.
е. к 21(р 7) — яз(р ~Ъ И,(р+ер, Т+ет)=гз(р+ер, Т+бт), и показать, что ар ! ат т(е — е ) Это — общая форма уравнения Клапейрона — Клаузиуса. ар зз — Яр П' е,— е (в) Показать, что Т(е — з,,) = ! = скрытая теплота парообразования. Следовательно, Упралсиенил 454 Если предположить, что 1 не зависит от Т, и рассматривать пар как совершенный газ, то получится, что р = сопл(. е-цит. Сравнить с уравнением (1.83) в тексте. !.13. Рассмотреть каверну объема г', из которой удалена вся материя. На стенках каверны поддерживается температура Т.
Электромагнитную радиацию, заполняющую каверну, можно рассматривать как термодинамическую систему, обладающую энергией Е = а'г'Уч (закон Стефана; а — постоянная). Показать, что радиация создает давление 1 Е Р= — у 3 г' на стенки каверны и что энтропия системы определяется формулой 4 Е 8= —— 3 Т (первым, кто применил термодинамические методы к исследованию этого процесса, называемого „излучением абсолютно черного тела", был Больцман).
Указание: использовать соотношения взаимности. Упражненяя к главе 2 2.1. Показать, что в случае совершенного газа При малых числах Маха отсюда получается, что а 1 4 (а)1 Получить также выражения, определяющие Т)Тм р/рм д/и в зависимости от (и/ае)е. 2.2. Показать, что если число Маха мало, то уравнение Бернулли (2.38) приводится к виду (2.18в), соответствующему несжимаемой жидкости. Указание: в данном случае р лишь ненамного отличается от р, т.
е. р = р,(1 — е), е «1. Показать, что -Е *=(р — Р)(1+ — +...). 1 г е г' ' (, гу 2.3. Показать, что связь между местными и характерными параметрами (параметрами невозмущенного потока) осуществляется посредством соотношения и получить соответствующие выражения для р/ри з/д. Получить простые приближенные выражения для случая малых возмущений, когда и = = и — и«и. Упражнения 455 2.4. Показать, что наибольшая скорость, какая может быть достигнута при истечении из сосуда, выражается формулой „ = 2»„ или, в случае совершенного газа, »Р = ам 2 — о Каковы соответствующие значения т и М? Дайте объяснение полученному результату.
2.5. Отношение давлений при переходе через прямой скачок уплотнения является иногда более удобным параметром, чем число Маха. Показать, что 1+ —— !+1 Р, а, и, у — 1 р, р, Т, Е и у + ! р, р, ! — 1»»е Эти соотношения называются соотношениями Ренкина — Гюгонио. 2.б. Получить нижеследующие формулы для случая слабого прямого скачка ( — = — '-«1)! » г!Р Ре — Р1 Р1 Рь »е .»и 1 г»р е, и, у р, М,' = 1 + — (точная формула), ! +1 г»Р 2у р, М,' нг !в у+1 Ар У 2у Р1 Упражнения к главе 3 3.1. Получить соотношения для прямого скачка уплотнения путем непосредственного применения уравнений сохранения к случаю распространяющейся ударной волны (см.
п. 3.2). Указание: рассмотреть жидкость, находящуюся между движущимся поршнем и контрольным сечением впереди ударной волны. 3.2. Показать, что уравнение неразрывности имеет вид — + — (Еи) + 5» — = О, ае д еи а» аг г где 5»= О, 5» = 1 и И = 2 для течений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами соответственно. Уравнение Эйлера (3.8) одинаково для всех трех случаев. Получить соответствующие акустические уравнения для течений с цилиндрическими и сферическими волнами. Показать, что во всех трех случаях движение является безвихревым (п.
7.10), так что скорость может быть определена с помощью потенциала скоростей и акустические уравнения могут быть записаны в форме агу ае„»Ч 8„ — — = т'у — + —— ае 3Р аг г аг ' Упражнения 456 Показать, что в случае сферических волн (М = 2) общее решение имеет вид у = — [м (г — а11) + уа(г + аД]. 1 г Сравнить это решение с решением для случая плоских волн (М = О, п. 3.4). Что можно сказать о случае М = 1? Плоские и сферические волны подобны между собой, если не считать различий в их затухании, но цилиндрические волны имеют совершенно другую структуру. Исследование волнового уравнения можно найти в книге [Б.
2). Различие между решениями одномерного и двумерного волновых уравнений было отмечено нами в связи с рассмотрением установившегося сверхзвукового течения (см., например, пп. 9.7 и 9.11) 3.3. (а) Показать, что после отражения акустической волны, имеющей интенсивность Ар, от закрытого конца трубы давление там становится равным 2 лр; у открытого конца оно равно нулю, так что отраженная волна должна быть волной разрежения. ,(б) Рассмотреть отражение ударной волны и центрированной волны разрежения от закрытого конца. Дать схематические наброски соответствующих диаграмм х-1(сравнить с упражнениями 12.5 и 3.7). 3.4.
Показать, что уравнения одномерного движения могут быть записаны в такоЙ форме: 2 У да даа ди — ( — + и — ) +а — =О, У вЂ” 1(д1 дх/ дх ди ди 2а да — + и=+ — — =О. О1 ох У вЂ” 1 дх В результате их сложения и вычитания получаются соответственно уравнения [О1 +(™+') дх3 (и+ 1) =О, — +(и — а) — ) [и — ) =О, 2а 2а из которых видно, что величины Р = и + — и () = и — — оказываются у — 1 постоянными на кривых, имеющих соответственно наклоны бх/41 = и+ а и их/с(1 = и — а.
Эти кривые представляют собой характеристики; величины Р и 14 суть инварианты Римана. Разработать метод расчета, основанный на вышеуказанных свойствах уравнений (указание: сравнить с п. 12.3). Показать, что в просмей волне разрежения (или в случае иззнтропического сжатия) один из инвариаитов Римана остается постоянным. Тем самым проверить урав- нение (3.23). ЗЛ. Вывести следующие формулы, характеризующие движение газа в ударной трубе: скорость распространения ударной волны а, 2Уа 2У! Р, число Маха в области за ударной волной М 1 ( Ра 1)[ Ра ( У1 + 1 + Уа 1 Рз)1 И Упражнения 457 число Маха в области за поверхностью контактного разрыва З.б.
Если использовать течение в области за ударной волной в ударной трубе, то последняя может служить аэродинамической трубой кратковременного действия. Показать, что параметры течения в области (2) эа ударной волной определяются через скорость распространения ударной волны М, = с,/а, отношение плотностей Ч = рв/рд и параметры течения в камере расширения (/) посредством следующих формул: 1д — = 1 -1-уМв(1 — — !' 1 " =М,(1 — — ') 9 = 1+ — — = ! + (гд — !) Мв 1 — — ° И„сви, / 1д — в( Приведенные выше уравнения являются общими. Если известно уравнение состояния, то для их решения можно применить процесс итераций, начинаю- щийся с предположения относительно величины ш Вывести аналогичные уравнения для случая ударных волн, которые достаточно слабы, так что удельная теплоемкость остается постоянной.
Указание: величина в/ для этого случая определяется по формуле (2.47). Подсчитать М,= и,/ав Показать, что М, имеет предельное значение м, 2 7Ь вЂ” !) В результате отклонения свойств реального газа от свойств совершенного газа эти значения получаются несколько ббльшими. Для получения еще более высоких чисел Маха необходимо осуществить расширение потока внутри сопла (в области (3) на величину М, никаких ограничений не налагается, но ' величина И„остается малой). 3.7. Показать, что если параметры течения за ударной волной после ее отражения от конца трубы обозначаются индексом 5, а скорость распростра- нения ударной волны по отношению к трубе равна (/л, то после введения для отношений плотности обозначений ч = рв/о и б = рв/рд получаются сле- дующие формулы: (/и ч — ! в с, Рв в (Ч 1)(д — 1) — = ! -1-,Мв в Рд = 1 + (Уд — 1) Мдв (Ч вЂ” 1)((; — 1) 1 и д в о ° Если свойства ударной волны до отражения известны, то вначале рассчитываются М, и Ч (упражнение 3.6); после этого решаются приведенные выше уравнения путем задания различных величин б и определения соответствующих друг другу значений р, и И,.
Упражнения 458 3.8. Показать, что максимальная скорость распространения ударной волны, достижимая в ударной трубе (постоянного сечения), определяется при р,/р, -~ формулой у,+1 а, ч у4 Указание; из уравнений (3.26) и (3.2) получить соответственно формулы 7р,(р, т (а,/а,) )Ггу,(у, + 1)/(у, — 1), М, = )'(у, + 1)/гу, Ур,/рг Вычислить предельные значения М, для сочетаний воздух — воздух, .гелий— воздух, водород — воздух. Какое влияние оказывает на них отношение температур Т,/Т,? Упражнения к главе 4 4.1. Показать, что при малых отклонениях потока коэффициент давления с точностью до малых второго порядка может быть представлен в виде 2 (у+ 1) М," — 4(М',— 1) ГМ, — 1 2(М,— 1)э Показать, что тот же результат получается из соотношений для прямого скачка уплотнения и из соотношения Праидтля — Майера, если считать д положительным в случае сжатия.
На каком основании можно ожидать, что коэффициенты при з и бе (называемые коэффициентами Буземана) будут одинаковыми для обоих вышеупомянутых случаев? Указание: изменения энтропии имеют порядок б'. 4.2. Слабый косой скачок составляет с линиями Маха впереди него угол е (формула (4.18Я. Показать, что скачок составляет такой же угол и с линиями Маха, идущими вниз по потоку от него. Иначе говоря, положение скачка определяется путем „осреднения" положений линий Маха с каждой стороны.
Использовать этот результат для доказательства того, что в области, где скачок ослабляется волной разрежения (фиг. 43,а), он имеет параболическую форму. Указание: использовать широко известное правило оптики, гласящее, что параболический „рефлектор" фокусирует пучок параллельных лучей в одну точку. 4.3. Вычислить разность /1' — б (фиг. 37,а), предполагая, что скачки являются достаточно слабыми для возможности использования приближенных выражений п. 4.7. Определить кривую зависимости М, от О при выполнении условия /à — Д = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
