Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Теперь мы можем воспользоваться свойством эргодичности и считать, что средние значения получены путем осреднения по времени. Таким образом, величина на тс представляет собой удвоенное значение средней кинетической Если рассмотреть первое слагаемое левой части, то будет очевидно, что здесь дифференцирование по 1 и суммирование по всем элементам ансамбля являются линейно независимыми операциями и порядок их выполнения может изменяться.
Но мы рассматриваем макроскопически стационарную систему, так что все средние значения должны быть не зависимы от времени. Тогда упомянутое первое слагаемое обращается в нуль, и мы получаем одну из форм теоремы Клаузиуса о вириале: тс' = — Г г. 14Х Уравнение состояния совершенного газо 427 энергии одной молекулы, за которой наблюдают в течение долгого времени, а величина Г г получается путем осреднения по времени силы, умноженной на перемещение данной единичной молекулы в направлении действия силы.
14.5. Уравнение состояния совершенного газа Применим теорему вириала к молекулам газа, заключенного в сосуде объемом й. Для простоты мы можем выбрать сферический сосуд, имеющий радиус г„ и поместить начало отсчета в его центре. Размеры каждой молекулы и пределы действия ее силового поля предполагаются исчезающе малыми.
Это ведет к предположению о том, что молекулы представляют собой материальные точки и, как мы увидим, позволит вывести уравнение состояния совершенного газа. В случае точечных молекул доля, вносимая в выражение вириала межмолекулярными силами, равна нулю. Это объясняется тем, что вектор такой силы г в любой точке имеет случайное направление,такчто средняя величина Г г равна нулю. Такимобразом, единственным видом сил, создающих вириал, являются реакции стенки.
Для того чтобы найти вириал, умножим все члены уравнения (14.15) на М, число молекул в объеме )е, и запишем Атее = — 1Ч Г ° Г. Действующая со стороны стенки сила г связана с давлением. По величине она равна давлению, умноженному на площадь стенки, и направлена по радиусу внутрь.
Кроме того, ! г! = г . Таким образом, 11тс = р 4нго го — — ЗрЧ, или — = — с'. р !— о з 1р (!4.16) Это уравнение становится тождественным термическому уравне- нию состояния газа Р =1сТ, о если положить, что !— 1сТ = — с'. 3 ~ (14.! 7) Величина ',с,се = ег представляет собой среднюю кинетическую энергию, соответствующую поступательному перемещению еди- 428 Гл. 14. Элементы газовой кинетики пичной массы газа. Следовательно, —,=1сТ= — е .
р 2 3 (14.18) Таким образом, нам удалось выразить температуру через механические характеристики газа. Далее, если газ состоит из отдельных материальных точек, то величина ет определяет собой его полную энергию, отнесенйую к единице массы, и, следовательно, соответствует термодинамическому определению внутренней энергии. Следовательно, е= 2ВТ. 3 (14.19) Уравнение (14.19) представляет собой калорическое уравнение состояния ооноатомного газа. Удельная теплоемкость с„и отношение удельных теплоемкостей у определяется по формулам Ве 3 с ат 2й Таким образом, для многоатомных газов величина с, будет больше 3 5 чем — )г а величина у — меньше чем— 2 3 14.6. Распределение Максвелла — Больцмаиа Теорема вириала позволила нам получить связь между средним значением квадрата абсолютной скорости молекулы с*, термодинамическим давлением р и температурой Т.
Теперь мы можем использовать эти результаты для того, чтобы привести функцию распределения и (и,о,го) к ее окончательному виду. Функция со (и,о,го) была задана нами следующим образом: со(и,р,го) йи йр йго = Ае-дол+"'+оп йи йо йго, (14.23) ср 1с+ с„5 3' (14.21) Эти значения согласуются с наблюдениями для таких инертных газов, как Не, Аг и т. д., в довольно широком диапазоне температур. Многоатомные газы, помимо кинетической энергии поступательного перемещения молекул, будут обладать другими видами энергии, например энергией вращательного движения и энергией колебательного движения молекул. В этом случае е = — 1с Т + екр „+ е„„, и т. д.
3 (14.22) гв.а. Распределение Максвелла — Бвлзвмапа 429 где А и ф — постоянные, не зависящие от и, о, ю. Сначала мы уста- новим связь между А и р путем нормализации р, т. е. выберем такое значение А, чтобы О1 Ае-е(ы+з + аз) йи ао еип = (14.24) Этот интеграл представляет собой произведение трех хорошо из- вестных интегралов вида: ~ е-е"'а'и =~ —. (14.25) Следовательно, условие (14.24) принимает такой вид: А( — )'=1, А=( — ) '. (14.2б) После этого свяжем величину 1У со средней квадратичной скоростью.
Наличие такой связи диктуется соображениями размерности; действительно, из соотношения (14.23) видно, что величина й должна иметь размерность единицы, деленной на квадрат скорости. Возьмем, например, выражение йз = Щ изт(и,о,ю) Ии Ио Ию = (Р) Ь О~ цзе — низ зз~+ зз1 лц ло лю (Р) Ь ~ цзс — ли йи При вычислении последнего интеграла нетрудно установить его связь с интегралом (14.25), если воспользоваться чрезвычайно порезным методом дифференцирования по параметру: -- — ".~ -" -- — "'~'-='г е — Езз из аи — ) е Ез' ди = — — ~l — = — ~~ — ° (14.27) сз = (цз + оз + заз) = йз + оз + юз. Таким образом, мы получаем выражение цз 2Р (14.28) и аналогичные выражения для си и йз.
Тем самым мы, в сущности, определили уже и величину с, так как 430 Ги 74. Элементы гааоеой кинетики Следовательно, с' = —. 2Д (14.29) Однако ранее нами было получено соотношение [формула (14.17)) с' = 31сТ, откуда следует, что 1 ф — — ~ 2'ее т и закон распределения Максвелла — Больцмана может быть запи- сан в такой форме: Е~(иов) «и «о йв = (2л ГсТ)-1 е — < и+ ™+ ыч1гат«и «о «в.
~ (14 30) Часто оказывается более удобным переписать формулу (14.30), вводя в нее абсолютную молекулярную скорость с и два угла Ф и 1Р. Иначе говоря, при этом вводятся сферические координаты в пространстве скоростей. В данном случае нужно лишь преобра- зовать выражение для „объема ячейки" «ийо«в.
В сферических координатах мы имеем «и йо «в = са з)п!Р «с йеР йФ, а формула (14.30) принимает вид р(и,е,ю) йи йо «в = (ЬЖТ) '1* с'е-"12ат з)п )ее «с «1Р «Ф, (14.31) Формулу (14.31) можно записать еще в виде оа(и,о,ю) «и йо «в = )(с,аР,Ф) йс ~И' «Ф, где 1(с,Р,Ф) представляет собой весовую функцию для ячей- ки «с «1Р «Ф, /(с,Р,Ф) = (2л 1сТ) '1е с' е-'*12ат сйп Р, которую можно сравнить с функцией ео(и,а,ю) = (2л)СТ) *1 е во+о*+ "о>12ат. (14.32) (14.33) )» (14.34) Из формулы (14.31) можно определить также вероятность обна- ружения молекулы, имеющей абсолютную скорость в пределах между с и с+ йс независимо от направления ее движения. Для этого нужно лишь выполнить интегрирование по всем значе- ниям Р и Ф.
Таким образом, ео о ) «Ф 1 йте )(с,еРФ) = 4л(2л 1сТ) 'е с'е — "1™т = Цс) о б и, следовательно, с'(с) йс =- ~ с'е-"Г'ат «с (2н ЕЕ7УЬ 7о.уе. Удельные теллоемкоети газов 431 откуда следует, что с=~ — ° (14.36) которая существует между с и )г с 1;)тметим зависимость, и скоростью звука ш о = 1 у)с Т =- с — = )' се (14.37) Таким образом, средние молекулярные скорости имеют тот же порядок, что и скорость звука. 14.7'.
Удельные теплоемкости газов В предыдущем пункте мы имели дело только со скоростями молекул газа. С помощью закона распределения Максвелла— Больцмана 1формула (14.23)) мы нашли статистический вес ') Сравнивая эту формулу с формулой 1)4.27), следует заметить, чта пределы здесь изменились, так как величина с изменяется только ат О да обозначает вероятность обнаружения молекулы, имеющей абсо- лютную скорость в пределах между с и с + е1с, независимо от на- правления ее движения. Эти примеры служат иллюстрацией того, как может быть преобразована функция распределения. При этом ключевую роль всегда играет преобразование единичной ячейки.
В заключение приведем несквлько полезных соотношений: с' = ) с' с(с) Ис. о Этот интеграл тоже может быть преобразован с помощью дифферен- цирования по параметру'): све-д'*е1с = —, ~ е-д" Ис, о о Таким путем мы вновь приходим к нашему прежнему результату: е' = 31тТ. (14.35) С другой стороны, средняя скорость с выражается как е = ) сс(с) е(с. о Этот интеграл приводится к элементарному интегралу се-д" ас =— 1 2)) а 432 Гл. ГЛ.
Элементы газовой кинетики г(и, о,ш) ячейки йиао йв в пространстве скоростей и смогли затем рассчитать все средние величины, связанные с поступательными степенями свободы. В общем случае молекула представляет собой сложную механическую систему, способную не только к поступательному перемещению, но и к вращению и колебаниям. Поэтому для расчета средней энергии молекулы нам нужна функция распределения, охватывающая все степени свободы. В этом состоит задача статистической механики. Подробное исследование этой задачи выходит далеко за рамки данной книги; мы здесь лишь в общих чертах опишем путь, которым нужно следовать при выводе выражений для со(Т) и с„(Т) ]ем. формулы (1.91) и (1.92)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
