Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 77
Текст из файла (страница 77)
с (14.44) здесь И вЂ” характерный размер, например расстояние между стенками в течении Куэтта или расстояние между стенками Число соударений и с твердой границей будет зависеть от вероятности того, что молекула столкнется с границей прежде, чем завершит свой средний свободный пробег. Следовательно, соударения со стенкой играют важную роль в зоне, примыкающей к границе и имеющей толщину Л. При течении разреженного газа между стенками, наподобие рассмотренного в п. 13.2 течения Куэтта, или при равновесном состоянии газа, находящегося в сосуде объемом У под низким давлением, может оказаться, что толщина этой граничной зоны будет иметь тот же порядок, что и характерные размеры конструкции, или даже больший,чем они. Тогда молекулы будут соударяться со стенками чаще, чем друг с другом, и время релаксации будет иметь порядок Гл.
И. Элементы гигввва кинетики 438 сосуда. В этом случае коэффициент й зависит как от свойств газа, так и от материала стенок. Время релаксации представляет собой очень важный параметр, и пользоваться этим понятием обычно бывает удобнее, чем понятием среднего свободного пробега. Время релаксации 1в можно отнести к любому свойству, которое несет в себе молекула и которое может быть изменено за счет соударения; таковы, например, количество движения и кинетическая энергия. Кроме того, времена релаксации видов энергии, соответствующих вращательному движению, могут отличаться от времен релаксации видов энергии, соответствующих поступательному движению.
Далее, многоатомная молекула обладает внутренними степенями свободы или добавочными видами энергии; иначе говоря, атомы в ней могут колебаться один по отношению к другому. Эти внутренние добавочные виды энергии также могут быть изменены при соударении, и время их релаксации в общем случае отличается от времени релаксации видов энергии, соответствующих поступательному и вращательному движениям. Чтобы получить представление о величине 1в, дадим оценку частоты соударений л в воздухе при стандартных условиях, т.е.
при комнатных температуре н давлении М = 2,69 1Огв см — ', сж 4,5 1О' см сек-', А ж 1О гв см'. Отсюда следует, что л ~ 10' сек-', 1*ю и 1О-в сек, Л*яз 4х 10 в см. Как показывает анализ процессов соударения, для поступательных степеней свободы коэффициент и имеет величину порядка единицы. Для внутренних же степеней свободы величина а может быть весьма большой, достигая в некоторых случаях порядка 10'! Очевидно, что времена релаксации уменьшаются с, увеличением плотности; зависимость от температуры оказывается более сложной, так как от температуры зависит не только с, но также и и А.
Времена релаксации служат критерием той быстроты, с которой затухают малые отклонения от равновесного состояния. Эти отклонения могут выражаться в виде изменений количества движения или энергии, степени диссоциации или ионизации или в общем случае в виде изменения распределения энергии 74.О. Вязкость и тсплопрзвздпость по различным степеням свободы. Таким образом, времена релаксации определяют интенсивность тех спехов, которые возникают в неравновесном состоянии. При рассмотрении макроскопических процессов они оказываются тесно связанными с ларамеглрами переноса (например,,и и 1с).
14.9. Вязкость и теплопроводность Мы уже видели выше, что можно вывести термодинамические уравнения состояния, а также закон распределения скоростей, не вдаваясь в подробное рассмотрение процессов соударения. С другой стороны, для газов, не находящихся в термодинамическом равновесии, процессы соударения приобретают первостепенное значение. Создание строгой теории процессов пере' носа является, в сущности, очень трудным делом; функция распределения скоростей должна строиться применительно к данным физическим условиям.
Для определения этой функции р(х, у,г, и, о, т) Больцман вывел интегро-дифференциальное уравнение. Несмотря на наличие многочисленных превосходных работ, выполненных после этого, путь решения уравнения Вольц. мана еще не определился полностью. Мы будем рассматривать здесь лишь малые отклонения от равновесного состояния и сделаем предположение о наличии линейной связи между напряжением и скоростью деформации, а также между потоком тепла и градиентом температуры. Итак, наша основная цель будет состоять в том, чтобы с помощью методов газовой кинетики получить выражения для коэффициента вязкости сз и коэффициента теплопроводности я. На основании анализа размерностей следует ожидать, что величины 1з/е и 1с/с о могут быть представлены в форме и = (с)з Гь = сЛ~ь = аь сЛ, е — = (с)* 1ь, = с Л,* =- а, с Л, сре где 1; и ф суть времена релаксации для количества движения и энергии соответственно.
Здесь были поставлены знаки равенства, так как величина 1ь может включать произвольную постоянную. После подстановки выражения для Л (формула (14.43)) получим что сс с р = — =а — ю Е зссА е сре ' сСА Гл. 74. Элементы газовой кинетики 440 (константу и можно было бы также ввести в выражение площади А поперечного сечения молекулы при соударениях).
Величина И представляет собой число молекул в единичном объеме и, таким образом, тИ есть не что иное, как плотность о. Следовательно, т— р= во=и — с, т 1=из — с с. А о Таким образом, величины ег и к не зависят явным образом от о или р. Как свидетельствуют экспериментальные данные, вязкость и теплопроводность газов действительно зависят только от Т в достаточно широком диапазоне давлений или плотностей. Это означает в свою очередь, что величины ее и А не обнаруживают заметной зависимости от р.
Однако они, а также их отношениеи/А меняются при изменении Т. Таким образом„и и к не просто пропорциональны с 7РТ, а имеют более сложную зависимость от температуры. Было бы весьма логично предположить, что при малых отклонениях от состояния равновесия коэффициенты переноса связаны с соответствующими временами релаксации. Например, в задаче Рэлея (п. 13.5) начальное отклонение от термодинамического равновесия осуществляется за счет получения жидкостью вблизи границы избыточного количества движения. Впоследствии этот избыток количества движения рассеивается внутри газа. Быстрота изменения количества движения во времени измеряется макроскопически вязкостью газа, а микроскопически — соответствующим временем релаксации.
Подобно этому теплопроводность определяет собой быстроту рассеяния избытка энергии. Величины е и к/с о представляют собой два параметра переноса, соответствующих рассеянию касательных напряжений и теплоты. Оба параметра имеют одну и ту же размерность, а именно скорость х длина„или, лучше, квадрат скорости х время. Характерной скоростью является средняя молекулярная скорость, например с или 1'с; какую именно из них мы выберем, не имеет значения, поскольку в любом случае мы будем иметь одйу неопределенную постоянную. Характерным временем является время релаксации 1*, а характерной длиной — путь релаксации Л*.
14.10. Течение Куэтта в случае сильно разреженного газа Течение Кузтта соответствует одному из немногих случаев, когда решение уравнений Навье — Стокса известно для всех чисел Маха и чисел Рейнольдса. Кроме того, это пример течения, 441 14.10. Случай сально разреженного газа в котором действуют только касательные силы. Таким образом, он очень удобен для демонстрации применения представлений предыдущего пункта. При течении Кузтта касательное напряжение т„связано с вязкостью,н, скоростью движущейся стенки У и шириной канала й соотношением (13.16) з (14.45) о здесь 1г — величина коэффициента вязкости прн температуре движущейся стенки. В случае течения с малыми скоростями и/р — 1, так что и =,и — у ы (14.46) или после введения коэффициента поверхностного трения С1 йе (14.46а) Теперь мы можем выразить 1г через введенные в предыдущем пункте молекулярные характеристики.
При давлениях, достаточно больших для того, чтобы время релаксации со определялось лишь числом соударений между молекулами, мы имели ,и = а(с) 1*= —, с, откуда получается, что гн Зу =а —— з А й Это уравнение не дает каких-либо новых результатов. Скорее, оно представляет интерес как соотношение, позволяющее определять и/А экспериментальным путем. Если давление газа настолько мало, что величина 1,* определяется в основном соударениями со стенкой, то и 1*= а — г .1— с 1г = йПсг1~ = а асй, и соотношение (14.45) принимает такой вид: т„= й,дел.
(14.47) При малых давлениях напряжение т„оказывается не зависимым от расстояния между стенками! Гл. И. Элементы голосой кинетики 442 Выражение в правой части формулы (14.47) можно переписать так, чтобы туда вошли давление и температура. Для совершенного газа = 1сТ е с = Я'гссТ. Следовательно, 1!8 ры ф (14А8) Соответствующий коэффициент поверхностного трения выражается в следующем виде: ты 1/8 1 С =-— = 2а угой г1 нг м что можно сравнить с выражением (14.4ба) для случая течения несжимаемой жидкости С = —. 2 нс Характерный параметр, с помощью которого можно определить, насколько сильно разрежен газовый поток, связан со средним свободным пробегом А или с макроскопическими величинами следующим образом: а' И1 а Не Л 8~* о и М' Так, если М/йе ы 1, то газ следует считать плотным, а касательное напряжение определять по формуле (14.45), тогда как если М/йе» 1, то газ будет сильно разреженным и касательное напряжение определяется по формуле (14А8).
В заключение мы можем рассмотреть течение Куэтта для случая разреженного газа„не вводя ограничения относительно малости 11. Тогда мы должйы применить соотношение (13.16), полагая в нем с 1/Т а с 1 Т При отсутствии теплопередачи величина Т/Т связана с и/У=4 соотношением (13.15): т ! + Рг У 2 Мз (1 бо) 443 11. Понятия скольжения и акколтдации Для краткости записи введем обозначение Рг ~ М' = Г;тогда для определения касательного напряжения получается формула 1 тоФ Г до — агс 5)п ~ —. (14.49) я и „I '1'1+Г(1 — де) ! Г )' !+Г о При малых М, т.
е. при малых Г, — агс 51П ~/ — -~. 1. УГ ~1+ Г При больших М, т. е. при больших Г, 1 . 11 Г я =агс 51п '1'Г )' 1+Г аУГ ' Таким образом, получается, что к„= и, ~ — — (при малых М ), т. е. мы вновь получаем наш прежний результат (14.48). В другом предельном случае при течении разреженного газа с большой скоростью мы находим „=Ы,)' ~ ! р б м ). (14.50! (т — 1) Рги у — Г Коэффициенты поверхностного трения для каждого из указан- ных случаев соответственно выражаются как !!в 1 т и 1/ я 1 г )' т(т — 1) Рг М' Аналогичные результаты могут быть получены и в отношении теплопередачи, которая, подобно т, при низких давлениях становится не зависимой от ширины канала е!. Этот результат является весьма характерным и кладется в основу техники измерения низких давлений по данным о теплопередаче или о касательных силах (манометр Пирани, манометр Кнудсена). 14.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
