Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 79
Текст из файла (страница 79)
74.1З. Пределы применимости теории сплоитой среды 449 14.13. Пределы применимости теории сплошной среды Рассматривая вязкость с молекулярной точки зрения и применяя результаты рассмотрения к исследованию течения Куэтта, мы видели, что существуют два предельных случая течения: первый — когда плотность столь велика, что времена релаксации определяются исключительно межмолекулярными соударениями, и второй — когда газ настолько разрежен, что времена релаксации определяются исключительно соударениями с граничными поверхностями.
Для течения, подобного течению Куэтта, т. е. для течения жидкости, заключенной между стенками, два указанных предельных случая нетрудно охарактеризовать величиной отношения среднего свободного пробега Л к диаметру канала». Отношение Л/» часто называют числом Кнудсена; если Л/» и 1, то преобладающую роль играют межмолекулярные соударения; если же Л/»» 1, то преобладающую роль играют соударения с граничными поверхностями.
Поскольку и Лс и с а, можно дать следующее выражение числа Кнудсена через число Маха и число Рейнольдса: л м пе Следовательно, течение прн М/йе 1 может с полным основанием называться течением разреженного газа. Часто утверждают, что теория сплошной среды непригодна для исследования течений разреженного газа и что расчет таких течений должен выполняться с помощью кинетической теории. Подобные утверждения являются чересчур строгими и делаются обычно на основании сравнения экспериментов для течений разреженного газа с непригодными в этих условиях решениями уравнений Навье — Стокса. Например, исследование течений разреженного газа , недопустимо проводить без учета сжимаемости, так как в последнем случае следовало бы считать, что М вЂ” О, а тогда отношение М/йе не могло бы, вообще говоря, достигнуть большой величины.
Таким образом, решение уравнений Навье — Стокса для случая течения несжимаемой жидкости в трубе (течение Пуазейля) никак нельзя - сравнивать с течением разреженного газа. Кроме того, течение разреженного газа всегда будет относиться к классу течений с малыми числами Рейнольдса. Следовательно, мы не можем сравнивать, например, результаты измерений поверхностного трения в потоке разреженного газа с данными теории пограничного слоя, которая пригодна только при больших числах Рейнольдса. Подобно этому, было бы бессмысленно использовать в качестве характерного параметра отношение среднего свободного пробега к толщине пограничного слоя.
Следует также все время помнить, что простая форма зависимости )с и сс от Т, т. е. зависимость типа Р = р (Т) и й = й(Т) при- 29 эолз— 450 Гл. >4. Элементы газовой кинетики годна лишь в ограниченном диапазоне изменения плотности. При очень малой (а также при очень большой) плотности имеет место зависимость типа р = р(о,Т) и к = К(О,Т). Снова следует проявлять максимальную осторожность при сравнении решений уравнений Навье — Стокса с результатами опыта или кинетической теории для режимов, соответствующих разреженному газу.
В принципе можно считать, что теория сплошной среды перестанет быть применимой лишь тогда, когда пульсации, обусловленные молекулярной структурой газа, сделаются настолько большими, что измерения не дадут возможности получить надлежащих средних значений.
Этот предел зависит не только от отношения среднего свободного пробега к размерам канала, но в силу свойства эргодичности также и от продолжшпельносгпи осреднения по времени. Имея прибор, позволяющий производить осреднение за очень длительное время, в принципе можно осуществлять измерения, например профиля скорости течения в трубе при очень низких давлениях. Таким образом, даже и для течений разреженного газа имеется возможность определять средние значения таких величин, как давление и сила, и применять к этим средним значениям уравнения сплошной среды.
Однако часто оказывается, что применение кинетических представлений к течениям разреженного газа позволяет получить результаты более простым и прямым путем, даже если речь идет об определении средних значений. Аналогично этому при нормальных условиях более простой и прямой путь состоит в применении газодинамических представлений, причем величины р и к следует или брать из опыта, или определять с помощью кинетического расчета. Таким образом, области применения газовой динамики и газовой кинетики фактически перекрывают друг друга, и выбор конкретного пути подхода диктуется скорее соображениями простоты, нежели необходимостью.
В наиболее интересном для нас случае, а именно в случае неограниченного потока, обтекающего некоторое тело, оба метода наталкиваются на затруднения, связанные с выбором надлежащих граничных условий на бесконечности. Например, затруднение возникает при построении решения уравнений Навье — Стокса, справедливого для любых чисел М и Ке и описывающего течение сжимаемой вязкой жидкости около такого тела, как сфера.
С другой стороны, те решения, которые дает кинетическая теория, оказываются обычно пригодными только в предельном случае так называемого „свободно-молекулярного течения", соответствующего условию Л- . Весьма трудно установить, как именно осуществляется приближение к этому пределу в случае неограниченного объема жидкости. В заключение следует заметить, что задачи, связанные с течением разреженного газа, вообще содержат еще много неясностей.
УПРАЖНЕНИЯ Упражаения к главе 1 1.1. Показать, что Проверить справедливость этой формулы в случае совершенного газа. 1.2. Показать, что ср — с„= Т( — ) ( — ) 7(гр — се) = Т(аи)', где 1.3. В критической точке (Зр/др) = (8'р/дре) = О. Рассчитать величину и = (Рсэе)/(ЙТс) пользуясь уравнением состояния Дитеричи: а йТ нг„ р= — с и™ ° р — /) Сравнить полученное значение к со значениями, приводимыми в табл. 1. 1.4. Использовать формулы, полученные в упражнениях (1.1) и (1.2), с целью определения выражения для квадрата скорости звука а' = (Эр/дб)в , в газе, подчиняющемся уравнению состояния Дитеричи.
1.5. Рассмотреть адиабатический процесс дросселирования. Рассчитать величину ЛТ/ар для газа, пользуясь уравнением состояния вида (1.85) или (1.87). 1.б. Найти каноническое уравнение состояния Е = Е( г', 8), соответствующее уравнению Дитеричи и уравнению (1.85). 1.7. В теплоизолированном жестком резервуаре помещен простой маятник.
При 1=0 маятник получает начальное отклонение и начинает колебаться. Как изменится энтропия системы при переходе от начального состояния к конечному, т. е. к состоянию, которое будет иметь место после затухания движения7 1.8. Тело, сопротивление которого Р = В(0) зависит от его скорости (7, движется по произвольной траектории в замкнутом изолИрованном сосуде. 29' — ы— Упражнения Показать, что если в моменты времени ! н 1, тело находится в покое, а газ (который считается совершенным) — в равновесии, то — =е ', где Лд= ) — сС!. Т,,дм, г !!(.с Т, 3 Т д Показать, что если Т, незначительно больше, чем Т, а движение является установившимся, то скорость увеличения энтропии приближенно выражается в виде дд !1(С д! Т, 1.9.
(а) Совершенный газ в объеме, ограниченном теплоизолированнымн (вертикально расположенными) цилиндром и поршнем, находится в равновесии с параметрами р„э, Т . На цилиндр помещают какой-либо груз. После некоторого числа коле4айий движение прекращается и гдз приходит в новое состояние равновесия с параметрами р„э„Т,. Найти зависимость отношения температур Т,)Т от отношения давлений Я = рс/рс.
Показать, что приращение энтропйи определяется формулой 1+(у — 1)Л)тс(~ '> ! 2 с е — е =С!!и ~ у ( Показать, что если начальное возмущение мало, т. е. А = 1+ е, е «1, то ез — ес ' ж седу. сд (б) Показать, что при использовании соотношений изэнтропичности часто- та малых колебаний около положения равновесия равна 1 ) и = — 1( у — е дх ! где ! — высота цилиндра.
Сравнить зту формулу с выражением для частоты колебаний простого маятника. Обосновать возможность применения соотно- шений изэнтропичности. 1.10. Рассмотреть изолированную (замкнутую) систему, состоящую из единичной массы диссоциирующего двухатомного газа, например из М и М,. Пусть символы е, е и х обозначают соответственно энтропию, внутреннюю энергию и долю общей массы, приходящуюся иа М, а символы е„ е, и, (1 — х) обозначают соответствующие переменные для М,.
Следовательно, е = хе, + (1 — х) е, е = хе, + (1 — х) е . В случае замкнутой системы максимальное значение е соответствует положе- нию равновесия и получится, следовательно, что де= О. Так как приток тепла отсутствует и окружающая среда не производит работы над системой, то Б не изменяется, так что дЯ = О. Применить эти два условия к данной системе, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
