Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 74

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 74)

Это означает, что при опыте с повторяющимися бросками каждый бросок предполагается не зависимым от всех предшествующих. Для задачи об игральных костях зто представляется очевидным. Однако для задачи о движении молекул иперемешивание" и ибросание" суть непрерывные процессы, так что указанная независимость отнюдь не является очевидной а рпоп. Мы должны рассмотреть теперь, какими свойствами обладает одна молекула или группа молекул в течение некоторого промежутка времени 1.

Это соответствует опыту с повторяющимися бросками. В другом варианте мы можем взять одновременно М систем и рассмотреть свойства группы молекул в каждой системе. Иначе говоря, мы берем „ансамбль", состоящий из М копий исследуемой газовой системы. Предполагается, что результаты обоих опьггов будут одинаковы, если Х и 1 одинаково велики. Это свойство и называется свойством эргодичности системы. Оно равносильно предположению о том, что существует такой момент времени 1 = 1*, к которому данная система, например молекула, уже „потеряла всякое воспоминание" о движении до момента 1 = О, и ее последующее движение не зависит от упомянутого, Таким св.З. Функции распределения 423 образом, наблюдение одиночной системы за период, проходящий до момента г') ся, оказывается равносильным одновременному наблюдению М систем, причем связь между двумя величинами дается формулой Таким образом, осреднение па времени в интервале с для одиночной системы равносильно осреднению по ансамблю, состоящему из И систем.

В этом смысле величина ц(х,у)йхйуЯц(х,у) йхау определяет собой тот средний промежуток времени, какой данная молекула проводит в ячейке (х, у). . При рассмотрении свойства эргодичности непрерывной системы было в неявной форме сделано предположение о том, что „условия", в которых находится система, не изменились за время осреднения. Точнее говоря, статистические свойства системы не должны изменяться с течением времени. Такая система называется микроскопически стационарной системой. Результат, полученный путем наблюдения такой системы в течение заданного времени, совпадает с результатом, полученным за любое другое время, при условии, что в каждом случае интервалы наблюдения превышают г*. Трудно представить себе такой газ, который находился бы в некотором физическом сосуде и не обладал бы свойством эргодичности; дело в том, что частицы, из которых состоит твердая граница, также совершают неупорядоченное тепловое движение и; следовательно, оказывают на каждую молекулу, соударяющуюся со стенками, неупорядоченное силовое воздействие.

14.3. Функции распределения Рассмотрим газ, заключенный в сосуде объемом )с. Газ находится в термодинамическом равновесии, так что его состояние может быть определено несколькими параметрами состояния— р,'а, Т и т. д. С точек зрения кинетической энергии газ состоит из очень большого числа И молекул, движущихся в объеме у' и соударяющихся как одна с другой, так и со стенками сосуда.

Механическое состояние этой системы определяется пространственными координатами и составляющими скоростей каждой из И моленул; число переменных оказывается очень большим. Несколько термодинамических переменных представляет собой средние значения определенных величин, связанных с этими йс молекулами. Рассмотрим, например, плотность а, представляющую собой среднее значение массы, приходящейся на единицу объема.

Гл. И. Элементы газовой кинетики 424 С молекулярной точки зрения величина и равна среднему числу находящихся в единичном объеме молекул, умноженному на массу и каждой молекулы. Так как и — величина однородная, то среднее число молекул, приходящееся на единичный объем, оказывается повсюду одним и тем же, так что статистический вес и (х, у, е) каждого элемента объема ак' будет равен единице. Вероятность нахождения данной молекулы в данном элементе объема «У равна простой'У/)г, что в точности соответствует задаче о бросании игральной кости без добавочной нагрузки. Имея такую простую весовую функцию, мы можем без труда рассчитать другие осредненные величины, связанные с молекулярной массой, как, например, центр масс газа в объеме (г и т. д.

Путем проверки читателю легко убедиться, что центр масс совпадает с точкой осредненного положения каждой молекулы! Пока что мы не рассматривали составляющие скоростей, которые вместе с координатами масс необходимо знать для того, чтобы охарактеризовать механическое состояние молекул. Сейчас мы увидим, что некоторые осредненные значения составляклцих скоростей связаны с давлением р и температурой Т.

Но каким образом вычисляются эти осредненные значения? Мы не можем воспользоваться пространственной весовой функцией р(х,у,з), поскольку все молекулы имеют различные скорости. Для того, чтобы указать, как распределены скорости, потребуется другая весовая функция. Следовательно, нам нужно представить себе „пространство скоростей" и, и, й с соответствующей весовой функцией распределения т (и,и,ю). Здесь могут быть непосредственно использованы введенные нами ранее определения. Например, вероятность нахождения молекулы в элементе „,объема" «и «иди (т.

е. вероятность наличия молекулы, имеющей значения составляющих скорости в пределах между и и и+ «и, и и и+ ди, ю и зи + е(ю) выражается как т(и,о,зо) «и «о «т Ц(т(и,о,т) «» «о «т Другой пример — среднее значение квадрата и определяется фор- мулой Щи д (и о т) «и «о «в и'— ') ) ') т(и, о,в) «и «о «т Интегралы должны быть распространены на все возможные значения каждой из составляющих скорости от — до + .

Из этой формулы можно видеть, что о (и, о, в) не может быть равна 14М. Теорема Клоузпусп о вприале 425 единице или другой константе, ибо наличие такого равенства привело бы к получению бесконечного значения средней кинетической энергии т4т(й + и-+ иуи), тогда как средняя энергия газа остается конечной. Фактически при больших значениях и, о, ш функция р (и, и, ш) должна очень быстро стремиться к нулю. Таким образом, задача о молекулах, находящихся в пространстве скоростей, соответствует задаче об игральных костях с добавочной нагрузкой, т. е. с непостоянным ~р.

Одна из задач кинетической теории состоит в определении функции р(и,о,и) на основе данных механики и статистики. Для газа, находящегося в равновесии, эта задача сравнительно проста; ее решение соответствует закону распределения Максвелла и Больцмана, се(и,п,ш) = Ае-р<" + "+ "ч. ~ (14.9) Эта функция была впервые получена Максвеллом с помощью очень простой и интуитивно ясной последовательности рассуждений. 1. Так как ни одному из направлений в пространстве скоростей нельзя отдать предпочтения, то функция сс(и, о, ш) не должна изменяться при любом повороте осей. Следовательно, р(и,о,ш) зависит только от и'+ ое+ ше.

Иначе говоря, у(и,о,в) = = 1(ие + ге + ше). 2. Если предположить, что и, и, ш статистически незавйсимы>, т. е. что р (и, и, и) = ое (й) о (о) р (ш), то получается следующее: р(и) ср(о) р(ш) = 1(и'+ и' + ше). .(14.10) Единственная функция, не имеющая особенностей и удовлетворяющая этому соотношению, имеет форму, определяемую равенством (14.9).

Имея в виду наши цели, важно помнить, что если функция о (и,о,ш) известна, то мы можем вычислить средние значения любых функций и, о, и и. Кроме того, эти средние значения можно интерпретировать как результат осреднения ио времени или как рдзультат осреднения по ансамблю. 14.4. Теорема Клаузиуса е вириале Один из методов получения уравнения состояния совершенного газа связан с вычислением общего количества движения, переданного некоторому участку стенки. Будет весьма поучительно, ') Безусловно, зто предположение является простейшим из всех возможных, и было бы вполне законным полениться проверить его опытным путем.

При применении классической механики к кинетической теории зто предположение о независимости оправдывается совершенно строго с помощью исследования процессов соударения. Гл. 14. Элементы газовой кинетики 426 однако, рассмотреть эту задачу также и с несколько иной точки зрения; такой подход был предложен Клаузиусом и связан с использованием уравнений механического движения в явной форме. Рассмотрим движение одной молекулы газа. Пусть т будет ее масса, г — вектор, определяющий ее положение по отношению к произвольно выбранному началу отсчета, а Г(г,1) — равнодействующая приложенных к ней сил.

Эти силы действуют со стороны других молекул и со стороны стенок сосуда, в котором содержится газ. Уравнение движения имеет такой вид: аее гп —, =Г. ше (14.11) Умножим теперь обе части уравнения скалярно на г и несколько преобразуем левую часть получаемого после этого уравнения: йее й г ае~ ~ае~з тг — = т — (г — ) — т~ — ~ == Г г (14.12) ш' ш ( Ф) ~й1! или, если ввести обозначение Фг/й1 = с, т — „, (г с) — тс' = Г. г. (14.13) Теперь мы займемся осреднением этого уравнения.

С этой целью представим себе большое количество систем, представляющих собой копии нашего газа. В каждой из этих систем выберем какую-то молекулу и напишем для нее уравнение (14.13). Затем сложим все зти уравнения и разделим сумму на число систем. В результате получается уравнение, связывающее величины, осредненные по ансамблю: т — (г.е) — тс' = Г г. Вв (14.14) ~ (14.15) Величина Г ° г называется вириалом сил. Теорема вириала была получена путем осреднения по ансамблю.

Характеристики

Список файлов книги