Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Пока что, однако, эта система не является полной, поскольку тм и у, еще не выражены через градиенты скорости и температуры соответственно. Чтобы сделать это, мы должны ввести дополнительно предположение, касающееся свойств жидкости: предположим, что тензор напряжений представляет собой линейную функцию тензора скоростей деформации.
В большинстве случаев, интересных для исследования, это предположение очень близко к истине; отклонения возможны только в потоках, проходящих через очень сильные ударные волны. Аналогично этому мы предположим, что существует линейная связь между а и градиентом температуры.
Наконец, мы ограничимся рассмотрением изотропных жидкостей, т. е. таких, для которых ни одна ось не имеет преимуществ перед другими; это последнее допущение едва ли может как-либо ограничивать диапазон задач, решаемых в газовой динамике, поскольку этим свойством обладают все газы и однородные жидкости.
Тензор скоростей деформации ея связан с полем скоростей посредством формулы (!3.72) т. е. он представляет собой симметричную часть так называемого тензорного градиента див~дх (формула (7АЗИ. Наличие линейн<Ьй связи между хп и еп означает, что тп = ссвяьяеья,' (13.73) аналогичным образом наличие линейной связи между ц и агай Т означает, что ЧВ= РИ д .' дг (13.74) " дх. Таким образом, аи, и фи являются обобщенными коэффициентами вязкости и тейлопровнодности соответственно. К счастью, коэффициенты онн и йи для изотропных жидкостей должны быть такими, чтобы формулы (13.73) и (13.74) оставались инвариант- ными по отношению к повороту системы координат. Это означает, что вектор а должен быть параллелен вектору ягай Т и что главные оси двух симметричных тензоров тп и вья должны иметь одинаковое направление.
При таких ограничениях коэффициенты всп1 должны быть представлены в следующей форме: онлт = в дядья + ес(дидик + дстдн) (13.75) 393 Гл. 13. Влияние вявяосаи и аеилоироводносаи Таким образом, имеется всего лишь два коэффициента вязкости, Л и 1с(точно так же, как для изотропных твердых тел имеется два коэффициента упругости). Коэффициенты Д; принимают такой вид: рч — — -е дч, (13.76) где через )с обозначается коэффициент теплопроводности, а знак минус ставится обычно для того, чтобы вектор в был направлен в сторону понижения температуры.
Таким образом, тензор напряжений тн выражается в форме След тензора тн, т. е. сумма его диагональных членов, будет при этом таков: ъи = (ЗЛ + 21с) — ' = (ЗЛ + 21л) йч и. ах; Коэффициент н = ЗА + 21с называется коэффициентом суммарной вязкости или вторым коэффициентом вязкости. В некоторых работах предполагается, что он равен нулю; это приводит к равенству х/вти= — р [см. формулу (13.62)]. Однако если отвлечься от такйх особых случаев, как, например, случай одноатомного газа, то нет никаких оснований предполагать, что ЗА = — 2и. При учете соотношения (13.76) формула (13.74) принимает, наконец, хорошо известную форму дх.
(13.78) или в = — йегаб Т. Таким образом, если собрать воедино пока что разрозненные результаты проведенного в этом пункте вывода, то мы получим следующую систему уравнений, служащих для описания течения вязкой сжимаемой жидкости: уравнение неразрывности — + ~" =0; аои1 ае ах; = уравнение количества движения аеие ааееии. ар а еи + ах ах;+ дх + Е~Ь й,(1378) уравнение энергии ае.1 аеи;У ар а ае ах; ас ах, — + — ' = — + — 1и1 и — Ея! + е!си ' уравнение состояния ~(р,е,Т) =б. 399 гЗиз*. уравнения Навье-Ствхеа В этих уравнениях " дх! дх; дх! ат д = — ~ —. ! дх. В заключение мы можем получить „уравнение неразрывности" для удельной энтропии з, показывающее, как протекает необра- тимый процесс создания энтропии, обусловленный действием вяз- кости и теплопроводности. Вычитая из уравнения энергии урав- нение неразрывности, мы получим в г ! ,1 ! ар ! а — '1л+ — и'1 = — — + 1ие+ — — (ить — !7 ) ве1 г 1=в а! '' е ах, т.
е. уравнение, отличающееся от уравнения(7.25) только наличием члена, зависящего от вязкости. Аналогично этому, вычитая урав- нение неразрывности из уравнения количества двйжения, мы по- лучим уравнение ви; ! ар ! ае, — — — — + 1! + — — е В! е дх, е дхь отличающееся от уравнения Эйлера (7.19) наличием члена с вяз- костью. Если это уравнение умножить на и; и вычесть из данной выше формы уравнения энергии, то результат будет таким: ви ! вр ! аи, ! ав тм В! е В! е ' дхя е а ха Энтропия связана с другими параметрами состояния соотношением Тйз = еУ! — е(р/р.
Следовательно, скорость изменения энтропии в частице жидкости выражается уравнением Т вЂ” = — т.я — !- — — —. Вв 1 ди 1 адва В! Е М дхд Е ах, ' Если воспользоваться формулой (13.78), то зто уравнениа можно записать в виде Полученное уравнение имеет форму уравнения неразрывности, в правой части которого фигурируют добавочные „члены типа источника". Эти члены, которые всегда положительны, называются иногда членами, ойределяющими необратимое увеличение энтропии, или диссийативными членами.
!При наличии притока тепла извне сюда добавился бы еще один член такого типа, как в правой части уравнения (7.24). См. сноску на стр. 396. Этот добавочный член является „обратимым", т. е. он положителен или отрицателен в зависимости от того, положителен или отрицателен сам при- Гл. гг. Влияние вязкости и ниплвпрвввднвсти 400 ток тепла извне.] Данное уравнение можно сравнить также с тем результатом, который был получен для вязкого слоя в области ударной волны в виде уравнения (13.58). аз и зеив ав уравнение количества движения — '„+ — = —, (13.80б) уравнение энергии †„ + — = †(еи — о), аеиУ ааеео.7 а (! 3.80в) 18.14.
Турбулентный пограничный слой При достаточно большом числе Рейнольдса любой ламинарный пограничный слой становится неустойчивым, а затем и турбулентным. Это означает, что течение перестает быть установившимся (даже если граничные условия не зависят от времени) и компоненты скорости испытывают беспорядочные пульсационные изменения. Несколько подробнее о турбулентности вообще будет сказано в п.
13.17, здесь же достаточно сказать, что в результате наличия турбулентных пульсаций происходит резко выраженный процесс „перемешиоания". Зтот механизм обмена существенно отличается от молекулярного механизма обмена при ламинарном течении; турбулентный обмен может быть назван молярным и приводит к значительному увеличению вязкости, теплопередачи и диффузии. Ламинарный пограничный слой становится турбулентным при определенном, достаточно большом ' числе Рейнольдса и в дальнейшем продолжает существовать как турбулентный пограничный слой.
В общем случае турбулентный слой будет по-прежнему оставаться тонким по сравнению с характерными размерами тела, и приближенные допущения теории пограничного слоя могут по- прежнему применяться к осредненному движению. В самом деле, уравнения этого движения могут быть формально записаны в том же самом виде, как и для ламинарного слоя, если не считать того, что касательное напряжение т представляет собой теперь сумму вязкого напряжения и турбулентного напряжения.
Последнее. называется иногда кажущимся напряжением. Аналогично этому и о, тепловой поток, представляет собой сумму потоков, получаемых за счет молекулярной передачи и за счет молярной передачи. Можно, кроме того, ввести понятие „эффективного числа Прандтля". Таким образом, уравнения турбулентного пограничного слоя около плоской пластины формально тождественны системе уравнений (13.38): уравнение неразрывности — + — = О, аеи аев ах ау (13.80а) 13.14.
Турбулентный пограничный слой 401 где символы о, и, о, Т относятся к средним значениям, т. е. к тем величинам, которые можно наблюдать с помощью „медленно читающего" прибора. Например, мгновенное значение составляющей скорости, параллельной оси х, будет и+ и', где через и'(х, у, 1) обозначается турбулентная пульсация. Фактическая величина и' может быть замерена с помощью, например, термоанемометра.
Если вычислить сумму большого числа таких мгновенных наблюдений величины и', то эта сумма будет стремиться к нулю. Очевидно„что такая тенденция отсутствует у величин типа (и')', которые всегда положительны, а также отсутствует она в общем случае и у произведений типа и'о'. То обстоятельство, что величины вида и'о' и т.
п. не обращаются в нуль при осреднении, по сути дела и является причиной возникновения „кажущихся", или малярных, напряжения и теплопередачи. Для решения уравнений ламинарного пограничного слоя мы вводили выражения, которые связывали т и д с полями скорости и температуры: эи т=р — ~ ду эт д= — к —. эу В настоящее время не существует такой теории турбулентного движения, которая позволяла бы сделать подобный шаг по отношению к турбулентному напряжению и турбулентной теплопередаче. В сущности, определение связи между т и д, с одной стороны, и и, о, Т и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
