Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 68
Текст из файла (страница 68)
(1) (и Для преобразования второго интеграла можно применить однократное интегрирование по частям, и окончательный результат становится таким: ~ (13.58) Уравнение (13.58) дает связь увеличения энтропии с действием диссипативных сил и с теплопередачей внутри зоны ударной р еди) волны. Таким образом величины ~( — ) и — ( — ) соответствуют Ф т(дя) т (дя) источникам энтропии — обстоятельство, о котором уже упоминалось в гл.
1. Следует отметить, что обе зти величины положительны. При наличии выражений для 2 и й можно проинтегрировать уравнения движения и найти зависимость и(х), Т(х) и т.д. С помощью последних можно в свою очередь определить толщину ударной волны е. В общем случае интегрирование уравнений приходится производить численными методами. Однако в двух частных случаях результаты достигаются более простым путем.
Первый из этих случаев имеет место при условии Рг= "'=1, )е т. е. при условии, что число Прандтля, подсчитанное для,и, равно единице. При сравнении с анализом течения Куэтта или течения в пограничном слое ясно, что в этом случае существует простой интеграл энергии )' = — ие + л = соп21. 1 2 В этом частном случае / имеет одно и то же значение не только по обе стороны ударной волны, но и во всей области течения. Второй случай, для которого нетрудно получить основные результаты, — это случай слабой ударной волны, когда и1(ао — ! и 1.
Подробности расчетов, относящихся к этому случаю, оставляются в качестве упражнения, 73.12. Течение в ударной волне 393 Переходя к вопросу о толщине ударной волны, можно отметить, что и(х), Т(х) и т. д. представляют собой функции, дающие плавный асимптотический переход к начальному и конечному состояниям, например и = и, и и = и,.
Следовательно, задача об определении толщины в аналогична здесь соответствующей задаче для пограничного слоя. Ее можно решать многими различными способами, и несколько примеров такого решения даются в упражнениях; ое I О и м-4» и 3'-46 $-48 ,й-до -4 Ф и г.
141. Распределение температуры внутри прямой ударной волны. 1По работе Шермйнй (8 И е г лги и Р. 8., А 1отг-йепв1(у го(пй гиппе1 ввиду 01 вйоск гвате вггпсгиге апб ге1ахаиоп р)гепспгепа 1п йавев, НАСА ТРГ 3289, 1988)1. Чнсло Маха М, = Г,82, рабочая среда — гелий. Значения температуры яамерялнсь термометром с проволокой высокого сопрстнвлення. О внспернмент с проволокой 0,00020", а вкспервмевт с проволокой 0,002', — теоРиЯ (Навьо — Стоке, У еГе, Рг = ° Ы Я те мгн — — — теория (Моте-Смйтх В любом случае толщина в оказывается пропорциональной (л и (г. Кроме того, для всех обычных газов (13.59) я' Эта величина представляет собой число Рейнольдса, отнесенное к скачку скорости при переходе через ударную волну, к толщине ударной волны и к значениям О и (а, подсчитанным при звуковой скорости, т.
е. при Т = Т*. Такое число Рейнольдса имеет порядок единицы. Например, для случая слабой ударной волны нз формулы (13.59) получается, что в 0*а*(М, — 1) ~ (13.60) г~ ев ~4д ~~42 ф О ~-42 -Л -2 -7 О 7 2 Ю бвэрагнврная квардинапю, у Гл. 13. Влияние вязкости и аеплопроеодносщи 394 Так как ае — весьма большая величина, то толщина ударной волны е оказывается в общем случае очень мала. Измерения профиля и толщины ударных волн в потоке газа малой плотности производились Шерманом.
На фиг. 141 приводятся данные измерений температуры тонкой проволоки в различных точках области ударной волны (температура н расстояние выражены в безразмерных единицах). Измеренный профиль обнаруживает хорошее соответствие с теоретическим профилем, полученным на основе уравнений Навье †Сток, т.е. на основе теории континуума. Для сравнения здесь же показан профиль, полученный на основе метода Мотт-Смита, где принимается определенная модель функции распределения скоростей молекул. 13.13". Уравнения Навье †Сток Уравнения Эйлера, описывающие движение идеальной жидкости, были выведены в гл. 7. Теперь мы получим систему уравнений, описывающих движение вязкой теплопроводной сжимаемой жидкости.
Эти уравнения называются обычно уравнениями Навье †Сток. В вязкой жидкости поверхностные силы, действующие на определенную массу этой жидкости, необязательно направлены по нормали к элементу поверхности. Следовательно, силы, входящие в уравнение количества движения, отличаются от соответствующих им членов в уравнениях Эйлера. Кроме того, в жидкости может теперь иметь место поток тепла, а в результате действия вязких напряжений может происходить необратимый переход кинетической энергии в тепловую.
Уравнение энергии должно быть переписано так, чтобы в нем учитывалась возможность перехода кинетической энергии во внутреннюю энергию и тепло, и наоборот. Уравнение неразрывности остается неизменным, так как в него не входят ни силы, ни энергия. Как и в гл. 7, рассмотрим объем У, окружейный поверхностью, имеющей площадь А. Выражение для поверхностной силы, действующей на элемент йА, может быть записано в виде РйА, где через Р обозначается вектор напряжения. В случае невязкой жидкости вектор Р параллелен вектору нормали к йА, т. е.
и, причем коэффициент пропорциональности равен — р. В случае вязкой жидкости вектор Р не обязательно параллелен или пропорционален и, яо является линейной') функцией компонент век- ') Это связано с требованием о том, чтобы сила, обусловленная поверхностными напряжениями и приходящаяся на единичный объем, была конечной. га.И*. Уравнения Навье-Сеавнеа 395 тора и.
Следовательно, Р,= То пя. (13.61) Величины Тм представляют собой компоненты тензора напря- жений. Для нас будет удобнее расчленить Тм на слагаемые, одни из которых зависят от вязкости, а другие не зависят от нее, записав Тм = — ром + гм, (13.62) где в случае невязкой жидкости гм обращается в нуль, а Тгв пре- вращается в одно из напряжений, входящих в уравнение Эйлера. Пользуясь формулой (13.62), мы можем без труда дать обобще- ние уравнений количества двйжения (7.12). Условие равновесия сил, действующих на объем У, позволяет получить уравнение ~ —,' «У+ ~(Еие) и;и «А=~В~,«У+ ) Р;«А.
(!363) А т А Это уравнение отличается от того, которое соответствовало ему при' выводе уравнений Эйлера 1см. уравнения (7.13) — (7.19)1, лишь своим последним членом. Этот член записывается так: ~Р;«А= — ~рп,«А+ ) гмпя«А. (13.64) А А А Если интегралы по поверхности в выражении (13.64) преобразо- вать в интегралы по объему с помощью теоремы Гаусса, то мы най- дем, что ~ Р;«А = — 1 дх «У+.) Зх «У. (13.65) А т т Следовательно, уравнения количества движения для вязкой жидкости принимают вид — '+ ' ~ = — — "+ 8™+Де (1З.бба) или, если использовать уравнение неразрывности, как это было сделано в уравнении (7.20), Для того чтобы получить уравнение энергии, мы должны при- .
менить к объему У закон сохранения энергии. Запас энергии жид- кости в объеме У состоит из внутренней энергии е и кинетической энергии ха и' (та и другая отнесены к единице массы). Следова- тельно, можно написать следующее выражение для скорости из- менения энергии в объеме У: ) ~ '1в1е+ ~ и')1«У+ «д(е+ з и') и;п;«А. (13.67) Гл.
13. Влияние вязкости,и теплопроводности 396 Это изменение энергии в объеме к' обусловливается притоком тепла через границу объема и работой, производимой напряжениями над тем же объемом. Работа, производимая за единицу времени напряжениями, равна ) Р пйА = ) Р)и;аА, А А или ) Р.пс(А = — ) ри;и;с(А+) т,еигпяйА. (1З.бб) Если имеются внешние объемные силы 19 то нужно добавить в правую часть дополнительный член ) ЬпеН~.
Для описания теплопередачи через поверхность вводится вектор теплового потока и, которым обозначается количество тепла, протекающее через единичную площадь за единицу времени'). Следовательно, тепло, переданное объему У, можно выразить в виде — ) 11 ° и йА = — ) аяпе с(А. (13.89) ') При этом выводе нами ие учитывается суммарный приток тепла извне, о котором говорилось в гл. 7 и который также обозначался символом в (скаляриым), хотя имеет другую размерность (см, сноску в и, 13.2).
Если использовать теорему Гаусса для преобразования интегралов по поверхности в интегралы по объему, то уравнение энергии записывается так: — Е !'е + — и ) + —. Еи;1е + — и ) = — — ' + — '' — — + И! иь д г 1 1 д Г 1 ' дрие дтяли) ачя а1 ~ 2 ) а; '( г ) ах; ах, ах, (13.70 Часто бывает удобнее переписать уравнение (13.70), введя в него величину /= — и'+ й = — и'+ е+ р. 1 1 2 2 Это нетрудно сделать, если к обеим частям уравнения (13.70) добавить др/31, а первый член правой части этого уравнения.объединить со вторым членом левой части. Таким образом получим — р(е + — и'+ — ) + — ри )е + — и'-1- — ) = д г ! р а г 1 р. дс ( 2 е) ах; 1( 2 ар а+а „, ) ои дс дхе 73.73*. Уравнения Новое — Стокса 397 или дс + дд дс + д (авве — бь) + Явиь (13.71) дв/ дои,/ др д дхе Ж дхя Уравнения (1З.бб) и (13.71) вместе с уравнением неразрывности и уравнением состояния образуют полную систему уравнений, описывающих движение вязкой сжимаемой жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
