Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Теплопередача от стенки выражается при этом формулой Яш Ср(Тш — То) )ь (13.42) т~у ув 4. Касагпельное напряжение (е общем случае) и теплопередача (при пос оянном Т ) изменяюпкя пропорционально х н. Этот результ является следствием того свойства подобия, которым обла т течение в пограничном слое.
Мы можем ожидать, о п или скорости и = и(у), соответствующие различным расстояниям х от передней кромки, будут изображаться одной единственной кривой, если строить их зависимость от параметра 13.9. Эффект вытеснения 381 у/д, причем функция Ь = д(х) будет представлена в виде (13.33). Иначе говоря, можно ожидать, что и = 1( а) = 1(в1) (13.43) где 1~и Ч У Мы можем проверить факт существования этого свойства подобия, если введем подстановку (13.43) в уравнения движения и покажем, что они сводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению с независимой переменной в) (это может без труда быть выполнено в случае течения несжимаемой жидкости, однако при учете сжимаемости такое преобразование связано с большими трудностями, обусловленными зависимостью в от Т). Если допустить, что такое свойство подобия существует, то будем иметь и, следовательно, т„= /'(О) ' (13.44а) Гх Кх' Из формулы (13.42) следует, что при Рг = 1 и при постоянной температуре стенки 1 в и ~г —.
Таким образом, коэффициент поверхностного трения (13А4б) еы (е !г) и* о,а64 С = — ' Уйе Влияние, оказываемое на эту константу числом Маха при расчете течений с учетом сжимаемости, кратко исследуется в п. 13.10. 13.9. Эффект вытеснения. Интегралы количества движения и энергии Очень интересные результаты могут быть получены с помощью интегрирования уравнений движения по координате у. В результате этой операции получаются соотношения между некоторыми оказывается обратно пропорциональным квадратному корню из числа Рейнольдса Йе„. Для вычисления коэффициента пропорциональности необходимо получить решение уравнений пограничного слоя.
Хорошо известен результат для течения несжимаемой жидкости, а именно 382 Гл. тз. Влияние ьлькьсшп и шепльпрьььдпьсшп осредненными значениями характеристик пограничного слоя. Наиболее известным из этих интегральных соотношений является интеграл количества движения (интеграл Кармана); впрочем, почти столь же важное значение имеют интеграл уравнения нераз- рывности, выявляющий эффект вытеснения, и интеграл уравнения энергии. Нам известно, что существует такое расстояние д от стенки, за пределами которого составляющую скорости и можно практи- чески считать равной скорости невозмущенного потока (з, а темпе- ратуру Т можно считать равной температуре невозмущенного потока Т .
Сейчас мы проинтегрируем все члены уравнений не- разрывности, количества движения и энергии в пределах от О до д, после чего выясним смысл полученных результатов. 1. Уравнение неразрывности. деп део — + — =О, дх ь ь — «У = (и")ь = — ) ~ "У. о о (13.45) Добавляя в правую часть уравнения (13.45) интеграл ь 1 дх(~ о равный нулю в силу постоянства о (з, мы получим ь (Р )ь = ') дх (Е с) — Еи) Ф, д о или') ') Вынос символа дифференцирования за знак интеграла возможен потому, что в соответствии с правилом Лейбница Ь(х) ь — ) 1(х, у) «у = ) — «у+ 1(х,в) —.
«е ед) «д «х 3 ' = .) дх «х о о В нашем случае)обращается в нуль при у= д,так как тамон=в (), и, таким образом, второй член правой части равен нулю. Поскольку и остается равным (з' и при у ) д, а также поскольку р = о при у ) д, мы можем распространить интегрирование на гэла Эффект выинснения 383 бесконечный интервал и написать Ъ = Ы (' — —,'".) ~ (13.4б) о Интеграл, стоящий в правой части, имеет размерность длины. Он называется толщиной вытеснения пограничного слоя и обозначается обычно символом ав(х). Следовательно, ввв о =с1 — „ (13.4ба) вх Формула (13.4ба) показывает, что влияние, оказываемое пограничным слоем на внешний поток, эквивалентно влиянию распределения источников с интенсивностью У(йбв1йх).
За счет „вытеснения" внешнего потока пограничный слой придает плоской пластине некоторую кажущуюся толщину. 2. Уравнение количества движения. Если применить ту же процедуру к уравнению количества движения, то получится следующее: аеи' аеии — + — = — ю дх ат ау У де а о или дх ау+ (1(Еи) = — т„, дои' о так как тв = О. Однако из уравнения (13.45) получается, что в (Ео)в = — ) —, ау, Г дви ах о и, следовательно, в 1 ( д,"' — 'д',") о Здесь снова символ дифференцирования может быть вынесен за знак интеграла, а верхний предел может быть сделан бесконечным.
Таким образом, кармановский интеграл количества движения в случае теченйя сжимаемой жидкости около плоской пластины получает такой вид: — "~ — '" ( — — ") = ',. ки. ) о 884 Гт сЗ. Влияние вязкости и теплопроводности (13.47 а) — + = — 1хи — 0). дои/ део/ д дх др Из этого уравнения следует, что "У+ Ыо)о./- + 0 . о Член, содержащий касательное напряжение, здесь выпадает, так как т, = О и и(О) =О. Следовательно, о Определяемая фигурирующим здесь интегралом длина 0 можст быть названа толщиной потери энергии.
Уравнение (13.48) констатирует, что изменение 0 в зависимости от х обусловливается исключительно теплопередачей через поверхность пластины. В частности, при нулевой теплопередаче толщина 0 остается постоянной. Зто значит, что величина / может быть или постоянной, равной 1, во всем слое, как мы нашли в случае Рг = 1, или же 7 может отличаться от /, но иметь такой характер изменения, при котором данный интеграл обращался бы в нуль.
Если температура восстановления для пластины в последнем случае окажется меньше, чем температура торможения Т„то в слое должны существовать такие области, в которых полная температура будет больше чем Т„. 13.10. Замена переменных До сих пор составляющая скорости и рассматривалась нами как зависимая переменная, а координаты х и у — как независимые. В случае течения сжймаекой жидкости такой выбор нельзя признать особенно удачным по той причине, что он дает тенденцию к затенению некоторых физических важных эффектов; в связи с этим приходится вводить другие, полее подходящие Длина 0, определяемая фигурирующим здесь интегралом, назы- вается толщиной потери импульса в пограничном слое.
Следо- вательно, ео вд е и' вх Уравнение (13.47) выражает касательное напряжение у стенки, т.е. поверхностное трение, через „потерю количества движения*' в пограничном слое. 3. Уравнение энергии. 13.10. Замена неременннх 385 переменные. Существует много различных возможностей, но мы дадим здесь лишь один пример, который покажет, какую пользу может принести замена переменных. Этот пример будет связан с введением в интегральное уравнение количества движения переменных, предложенных Крокко.
В качестве зависимой переменной Крокко выбирает касательное напряжение т, а в качестве независимых переменных и, или и/с/, и х. Интегральное уравнение количества движения (13.47) записывается в виде ах .1 о и ~ и) ~у = д сп ' о Далее, да т = 1е — Ф ду и, поскольку интеграл вычисляется при постоянном х, можно написать, что е!у = 1е Кроме того, в силу подобия распределение касательных напряжений должно зависеть от у/б, т.е. т = е„(х) д(а).
Учитывая, что у/б = / (и/У), мы можем переписать это выражение в новых йеременных: илн ~/а ~И Е Р, Се — — у сн — — ) 2м~/ йх (13.50) ад зоео— т = ть(х) д ( ™,) = т (х) б(Е). Следовательно, интеграл количества движения можно также переписать для переменных 8 и б: 1 — б(1 — с) ~Ф = ™, ° (13.49) ах е О р е(Е) Е и ' о Далее, при постоянной температуре стенки отношение о1е/а ее не зависит от х, следовательно, входящий в эту формулу интеграл также не будет зависеть от х. Обозначим этот интеграл через х.
Тогда уравнение (13.49) может быть записано в виде 1 Ф /11 1 > Гл. 13. Влияние впгнвсти и глеплопроводнвггли 386 Такая форма выражения для коэффициента С) не представляет собой ничего нового; она была уже получена нами, как следствие свойства подобия !формула (13.44а)). Для нас важно здесь то, что, как видно из уравнения (13.49), влияние числа Маха на константу и осуществляется исключительно в силу изменения Ф (ю 42 28 0 8 4 б 8 70 Число )Ипха, 55 аг и г. 138. Сравнение осредпепных коз4)фицнептоз поверхностного трения, получаемых при использовании закона Сзтерлендз — = ( — ) г т ))) !+в '(т ) !+в(т /т) и степенного ззнона — = ( †) [из работы Вап Дрзйстз (Ч а и ')т ) 0 г(е 51 Е. !(., 1птевиазноп 01!згп(пзг Ьоипазгу !ауегв (п соп)ргевв1ше 1!и)ав ив!па 1Ье Сгосео п)евнин, МАСА ТМ 2897, 1932И.
— денные Кренив (Рг = 0,75, В = 0,505); — — — денные Кренне (Рг = 1,00, Е = 0,505); — — денные Керыене н цянь Сюэ.еэня (Рг = 1,00, е = 0,70). произведения а(л в зависимости от температуры. Но в пограничном слое отношение 9/д равно отношению Т /Т, поскольку давление остается постоянным.
Оказывается, следовательно, что существует такой специальный вид зависимости вязкостй от температуры, при ко(лорам поверхностное трение не зависит от числа Маха; конкретно это имеет место при )5/)5 = Т/Т Хорошая аппроксимация закона зависимости вязкости от температуры дается формулой ((т), ГЗя1. Прозгили, отличающиеся от плоской пластины 387 где го — постоянная. Из формул (13.49) и (13.50) следует, что при таком законе изменения вязкости коэффициент трения С! будет увеличиваться или уменьшаться с увеличением числа Маха в зависимости от того, окажется ли постоянная со больше единицы или меньше ее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
