Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Задача Рэлея. Диффузия взвихренности В этом пункте мы подойдем еще ближе к понятию пограничного слоя. Предположим, что среди покоящейся жидкости в плоскости х-з находится бесконечная плоская пластина. В момент 1 = О пластина получает некоторый импульс и начинает равномерно двигаться в своей плоскости в направлении, параллельном, например, оси х. Обозначим скорость пластины через У и для простоты предположим, что У и а и что теплопередача через пластину равна нулю. Зто и есть так называемая задача Рэлея (если бы над движущейся пластиной на расстоянии е( от нее была помещена вторая пластина, то мы получили бы задачу о начальной стадии течения Куэтта).
Теперь скорость и на расстоянии у от поверхности пластины будет зависеть от времени 1. Уравнение количества движения в проекции на ось х имеет такой вид: е — = — ' зи зк. дв эу' (13.22) это означает, что скорость увеличения количества движения частицы жидкости (вектор количества движения имеет одинаковое направление со скоростью и) равна силе, действующей на эту частицу.
Данное уравнение отличается от соответствующего уравнения для течения Куэтта тем, что здесь в левой части фигурирует производная по времени от количества движения [сравнить с уравнением (13.3)]. Используя для выражения х формулу 73.э. Задача Рэлся. Диффузия эиэихреняости 371 Ньютона (13.4), получаем следующее уравнение: — = в ди д'и дс ду' й (13.23) Как и при течении Кузтта, давление оказывается здесь постоянным во всех точках. Кроме того, Т = сопз1 (так как (э'.ма и д„= 0), а следовательно, ээ, в и э также постоянны. Уравнение (!3.23) имеет форму уравнения теплопроводности.
Действительно, в теории теплопередачи данной задаче соответствует простая задача о покоящейся пластине, температура которой внезапно повышается. Подробности расчета приводятся в упражнениях. Здесь же для нас представляют наибольший интерес некоторые характерные свойства решения. Прежде всего обнаруживается, что уравнение (13.23) обладает очень важным свойством подобия. А именно, если и (у, 1) является решением данного уравнения, то путем специально выбранного изменения масштаба независймых переменных из него можно получить другое решение, пригодное даже при других значениях э.
Связь между двумя течениями представляется в виде п(у, 1) = п(у, 1) = п(Ау, В1). Вводя зту подстановку в уравнение (13.23), получим В "е яАз —. дй дэй д7 дуз Это — уравнение Рзлея для жидкости, имеющей кинематическую вязкость эАэ э' =— В Теперь один из масштабных множителей, например А, можно исключить, получая ц(у, 1) = и ~1~ — "Ву; В1) при произвольном постоянном В. ,~У В частности, если сохранить э'= э, то и (у, 1) будет равно й(1'Ву,В1); зто значит, что скорость и остается постоянной вдоль парабол в плоскости у-1.
Указанное свойство удобно записать в следующей форме'): и(у, е) = ш —,1 =— и(Ч). ~Я) (13.24) 9 Такая форма зависимости является более предпочтительной, чем и(у/УХ), так как включение э делает независимую переменную безразмерной. Она была бы подходящей также и для случая и чь и 24' — "о 372 Гл. ГЗ. Влияние вязкости и теилолроводноети Граничные условия для данной задачи таковы: и = сопе1 при у = 0 и и = 0 при у =; эти условия не нарушают подобия, вследствие чего можно ожидать, что наше решение будет представляться в форме (13.24). Вводя в уравнение (13.23) подстановку (13.24), получим обыкновенное дифференциальное уравнение и" + — 41и'= О. 2 (13.25) Отсюда следует, что — (1п и') = —— Фч и' = СОПЗ1 Š— ян4 (13.26) Поскольку 1 йи Зи мы получаем, что — = сопз1 — е-уче"'.
эи ! (13.27) ау ут Наиболее важное для нас следствие уравнения (13.27) состоит в том, что аи Š— ун4оŠ— е(у = сопз1 = —.йу = сопз1 независимо от значения 1. ,) у-,е Величина Эи/Эу = ь представляет собой завихренность (п. 7.10). Мы получаем, следовательно, что —,", ~ ~ йу = О. о ~ (13.28) При 1= 0 за счет движения пластины в потоке создается некоторая завихренность. Эта завихренность распространяется внутри жидкости, однако ее общая величина остается неизменной.
Очевидно, что этот результат аналогичен результатам, получаемым для задач о теплопередаче и о диффузионном переносе массы. Величине с' соответствуют рассматриваемые в этих задачах общее количество передаваемого тепла Я и общая масса переносимого вещества ль Теперь мы можем дать определение той скорости с, которая характеризует распространение завихренности внутри жидкости. Сначала мы введем понятие о некоторой высоте д(1), определяемой 1Э.э. Задача Рэлел. диффузия взвихренности 373 равенством Ц0,1) . д = /" ~ бу, о где с(0, 1) — завихренность для примыкающих к пластине частиц жидкости в любой момент времени 1.
Ее можно получить из урав- нения (13.27), полагая в последнем у = О. Таким образом, полу- чается, что д=)/т( ~, !фу=2)/»1 ~ е-маг, о о или а» (13.29) Эта величина может рассматриваться как „толщина распростра- нения завихренности". Быстрота ее увеличения будет опреде- лять собой вышеупомянутую скорость с: ев 1 1Г ат 2 '1' !р (13.30) Теперь мы можем сделать следующие выводы: Завихренность, как и тепло, распространяепкя с бесконечной скоростью сигнала').
Следовательно, строго говоря, влияние источника эавихренности немедленно ощущается во всем пространстве„ однако можно ввести в рассмотрение толщину эффективной области влияния д и эффективную скорость распространения с. Имеется возможность, и притом очень интересная, обобщить задачу Рзлея на случай течения сжимаемой жидкости, когда М уже не будет считаться малым и теплопередача не исключается из рассмотрения. Решением задач подобного рода занимались Хоуартз), Ван дайк') и другие. ') Эта Саздузт НЕПОСрЕдСтВЕННО ИЗ урЗВНЕННя (13.27): Прн ЛЮбОМ Г ть О величина С будет отлична от О при всех знз%енннх у.
Очевидно, однако, что при больших значениях у зтз величина окажется очень малой. Например, нз расстоянии в 10В отношение ч/( становится таким: (/(, = е з» . Таким образом, то обстоятельство, что для задач о диффузии тзк йззывземзя „скорость сигнала" оказывается бесконечно большой, не имеет существенного значения. Практически оно представляет не больше интереса, чем тз малая, но конечная вероятность достижения возраста в 1000 лет, которая отводится человеку согласно правилам страхования жизни.
') Н о ю в г! Ь Ь., Зоше зэрес1з о1 йзу!е(йЬ'з ргоЫеш 1ог а сошргеэз1Ые Пнщ, апас!. /. Мега. апа Арр!. МШЬ., 4 (1951), 137. э) Чзп О у не М. О., Ппрпщче пюноп о1 зп!и!1п11е Пз1 р!з(е!и зч!эсонз сошргеш(Ые 11пш, У. алема. Маис нле Месй., 3 (1932), 343. Гл. 1З. Влияние вязкости и теллвлроввдности 374 13.6 Понятие пограничного слоя Вдоль положительной части оси х располагается тонкая плоская пластина длиной 1, причем передняя кромка пластины находится в начале координат. Предполагается, что далеко вверх по течению от пластины поток однороден и имеет постоянную скорость У.
Пластина, помещенная в поток невязкой жидкости, не оказывает влияния на движение последней, так как является поверхностью тока. Будучи помещена в поток реальной жидкости, пластина окажет на него силовое воздействие, что приведет к изменению поля течения. При больших числах Рейнольдса сформулированная здесь задача предсп1авляеш собой классическую задачу пограничного слоя.
Ф н г. 137. Пограничный слой на плоской пластине. Чтобы получить интуитивное представление о характере данной задачи, предположим, что пластина покрыта красящим веществом,: растворимым в обтекающей эту пластину жидкости. Что произойдет при этих условиях? Очевидно,-что";краска будет диффундировать в движущуюся жидкость и одновременно относиться вниз по потоку.
Следовательно, окрашенная область жидкости будет представлять собой слой, начинающийся от передней кромки пластины, постепенно утолщающийся вниз по потоку и отходящий от пластины в виде окрашенной спутной струи. Ясно, кроме того, что при увеличении скорости эта область будет становиться все уже.
На основании изучения задачи Рэлея мы уже знаем, что диффузия завихренности происходит аналогично диффузии тепла или материальных частиц. Следовательно, создаваемая пластиной завихренность распространяется подобно частицам вышеупомянутой краски, охватывает некоторую расширяющуюся вниз по течению область и, наконец, продолжается в виде спутной струи (фиг. 137). Для того чтобы оценить, какой порядок имеет толщина этой области, мы можем использовать понятия о скорости распространения с и области влияния д, введенные при решении задачи Рэлея. Там было установлено, что взвихренность рас- 13.б.
Понятие пограничного слоя 375 Чтобы получить ясное представление о том, какой смысл имеет соотношение (13.31), представим себе, что все происходящее видит некий наблюдатель, движущийся относительно пластины вместе с потоком'). Тогда скорость распространения с будет выражаться как 11' ги с 1 х (13.32) а толщина области влияния — как ~ (13.33) Интересно, а зачастую и полезно заметить, что на основании данных здесь определений число Рейнольдса может быть выражено через отношение двух скоростей — и 1/йе =.— * с и, следовательно, его можно сравнить с числом Маха М = —. Таким образом, зффективная область распространения завихрснности в известном смысле подобна конусу Маха или клину Маха, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
