Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Ргос., 46 (1960), 4691. ГЗ.г. Течение Куотта Збб Поток тепла через единицу площади за единицу времени обозначается символом цг) и связан с полем температур соотношением, аналогичным закону трения Ньютона: ц = — )à — ° дТ Фу (13.7) В этом соотношении принято ставить знак минус; он указывает на то обстоятельство, что ц является положительным, когда производная йТ1ау отрицательна, т. е. что тепло передается от частиц с более высокой температурой к частицам с более низкой температурой. Уравнение (13.7) определяет коэффициент теплопроводности 1Г, который, подобно 1г, зависит от температуры: 7Г = 1Г(7).
Для всех обычных газов число Прандтля Рг является почти постоянным (его величина почти не зависит от температуры и плотности) РГ = — з — яа соп51. к (13.8) Эта постоянная для обычных газов имеет порядок единицы (кроме того, в весьма широком диапазоне температур по отношению к комнатной температуре оказывается почти постоянной величина с, так что и к).
В условиях данной задачи состояние элемента жидкости при его продольном перемещении остается неизменным, а поэтому закон сохранения энергии сводится просто к требованию того, чтобы увеличение притока тепла к элементу жидкости в сумме с приращением производимой над ним работы давало бы нуль. Весь имеющийся здесь приток тепла связан с величиной ц (фиг. 135), а единственными силами, производящими работу, являются силы трения. Следовательно, уравнение энергии записы- ') В данной главе мы будем следовать, общепринятым обозначениям н использовать символ ц для обозначения потока тепла через единицу площади ва единицу времени.
В гл. 1, 2 н т символ ц использовался (также в соответствия с общепринятым правнлом1) для обозначения „внешнего" нлн суммарного притока тепла, отнесенного к единице массы. В йоследнем случае ц представляет собой скалярную величину, тогда как в данной главе она является одной нз составляющих вектора потока тепла ч нлн ць который будет введен в и. 13.13. Такая неоднозначность в использовании символа ц, по-внднмому, укоренилась в научной литературе; обычно не приходится иметь дело с примерами, в которых фигурировали бы вместе обе указанные величины. заа Гл. 7Э. Влипние олоноети и теплопроеодноети вается в виде ~д — (!! + оо е!у,1 е!х + [(т + л Ф) (и + ~" е!у) — 1 е! =О, (13 й) или — ( — и+ тц) = О, — д+ тп = соней ~ (13.1О) д ег Константа, входящая в это уравнение, может быть определена из условий на нижней стенке, где и = О.
Если поток тепла у этой стенки обозначить через д,, то получим, что — д + тп = — дп. Величины о и т могут быть заменены выражениями (1Зл() и (13.7); с учетом равенства (13.8) после этого данное уравнение принимает вид дг Еи д Е! 1 !Š— + рн —,ы — ( — С Т+ — ие) = — д еу Лу ду(,Гг о г где на втором этапе преобразования было сделано предположение, что с = солей Отсюда после интегрирования получаем е (Т вЂ” Т )+ — Рги'=- — Ргд ) — е 1 г еу о и о ) !) о (13.1!) е„Т„, = е Т + Рг ( — + ~" с1) (13 12а) Укажем, что нет необходимости ограничивать справедливость решения допущением о постоянстве удельной теплоемкости с . Так как р постоянно, то энтальпия б связана с Т соотношением ал = е,йТ [сравнить с формулой (1.2б)).
Отсюда следует, что причем Т представляет собой температуру неподвижной стенки. Интеграл, стоящий в правой части, определяется из формулы (1З.б). Подстановка выражения, взятого из этой формулы, дает нам так называемый интеграл энергии: с„(Т вЂ” Т„) + — Рг и' = — Рг ~" и. )о (13.12) еш Температуру газа у верхней стенки, где скорость равна (1, мы будем обозначать через Т .Такие грайичные условия для скорости и температуры приводят к весьма близкому соответствию с задачей о пограничном слое. Индекс при обозначении Т выбирается таким для удобства сравнения в дальнейшем.
Подставив в уравнение (13.12) эти условия,для течения у верхней стенки, мы получим 13.3. Температура воссаансвлсния 367 уравнение (13.11) обобщается следующим образом: д — а + — Рги'= — Рго ) —. 1 с Ву "'.) п1Т) ' о (13.11а) Иначе говоря, для однородного совершенного газа т т т„ б ь ) ср сП ) ся аТ ) ср бТ и + Ргоп 2 Хд~ о о т ср бТ Рг ( 2 + У) т Дальнейшее обобщение на случай диссоциирующего газа дается в п.
13.18. ~ (13.12б) Т вЂ” "=! + Рг У МЯ. 2 ОО' (13.13а) Температура восстановления отличается от температуры тормо» женил Т„которая, согласно формуле (2.30), выражается таким образом: Т 1+у ~Мз Величина ҄— Т Т,— Т, называется коэффициентом восстановления. Для нашего примера, а,именно течения Кузтта совершенного газа с постоянным с, козффициент восстановления оказывается равным Тс То р.
Т,— Т 13.3. Температура восстановления Если нижняя стенка является теплоизолированной, так что д =О, то интересно установить, какова будет ее температура. Эта характерная температура называется температурой восстановления и обозначается символом Т„. Как следует из равенства (13.12а), она имеет значение Т„= Т + — У~. (13.13) 2с Если ввести в зту формулу число Маха М = У/а,то ее можно записать в виде Гл. ГЗ. Влияние вязкости и теплопроводности 388 Для воздуха в широком диапазоне температур Рг = 0,73. Иногда приближенно полагают, что Рг = 1. В этом случае Т„= Т, и интеграл энергии (при нулевой теплопередаче) приводится к хорошо известной форме уравнения энергии для одномерного течения. Из формул (13.12а) и (13.13) получается также соотношение, связывающее поток тепла и касательное напряжение: с„(тн — Г.) и= рой Как видно из этого соотношения, для того чтобы тепло передавалось жидкости, температура стенки Т должна быть больше, чем Т„(см.
фиг. 135). Условие Т ) Т не является достаточным для этого. 13.4. Распределение скоростей в течении Куэтта Уравнение (13.12) дает нам теперь связь между Т и и, наличие которой позволяет решить уравнение количества движения. Нам будет удобнее переписать выражение для Т так, чтобы туда входила температура Т с (Т вЂ” Т ) = Рг ~" ((7 — и) + — Рг(Ц~ — и ), ~к илн — =1+ Рг '~~ ( — 1)ма (1 — — ")+Рг~ — У Уг(1 и ) (13.
15) Уравнение количества движения имеет такой вид: «и 7л(7) « = тп= соп51. в Одна из интегральных форм его решения уже была дана нами [формула (13.6)). Теперь мы можем считать, что ее =1л(п), и получить решение в другой форме: 1" р(п) «и = .у. Р (13.16) о В принципе этим уравнением и дается решение задачи о распределении скоростей при любом заданном виде зависимости р(Т), т. е. и(и).
Эта зависимость и от Т, а значит, согласно уравнению (13.15), и от и может быть получена из эмпирических данных или из кинетической теории (или из обоих источников вместе). Форма зависимости различна для различных газов, однако для всех газов с увеличением Т увеличивается н ел. Часто зависимость 13.4. Распределение скоростей в течении Кувтта 369 Р(Т) может быть с достаточной точностью представлена степенной функцией и / или — "=( —,' ) Например, для воздуха получается хорошее приближение, если взять в=0,76.
При использовании зависимости (13.17) формулу (13.16) можно написать в явном виде: о 1(+"-.'--( — ) -'( — — ")+ о тт где была введена переменная Е = = и)У. При произвольном значении показателя ео интегралы должны определяться с помощью численных методов. В качестве простого, но важного примера рассмотрим случай со =1, т. е.
и Т, часто используемый для аппроксимации в теории пограничного слоя. Предположим также, что теплопередача на стенке отсутствует (!)„ = О). В этом случае интеграл, входящий в формулу (13.18), берется без труда и результат имеет вид еи Ф» ».О Ф н г. 136. Типичные профили скорости в течении Куэтта (,о Т). — = — + Рг 2 Ме Ц™ — з (»») ) (13.20) Формула (13.20) в неявной форме определяет профиль скорости. Как и следовало ожидать, при М' — 0 этот профиль скорости становится линейным (фиг. 136).
Касательное напряжение т„ 24 2043 — 54 + Рг 1 — М,',(1 — —,)] с!и = — у. (13.18) Для того чтобы с помощью формулы (13.18) подсчитать ъ, следует распространить интеграл на всю высоту канала, т. е. до значений у = й, и = У. Это дает следующий результат: 1 = ( [1 + Рг ~" (у — 1)Мс (1 — $)+ Рг~ Ме (1 — се)1 йс, о (13.19) 370 Гл. 7З. Влияние вивквеаи и теилвирвввднввти определяется равенством а коэффициент трения вв, (е 1г) и выражается в виде .
1+ рт 3 м' С, = 2 —" [1 + — (т — 1) М„] = 2 . (13.21) где Ке — число Рейнольдса, отнесенное к высоте канала. Перечисленными результатами отнюдь не исчерпывается рассмотрение всех интересных особенностей течения Куэтта для случая сжимаемой жидкости. Некоторые другие вопросы, связанные с этим течением, будут рассматриваться нами в пп. 13.18 и 14.10, а также в упражнениях. 13.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
