Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Однако изучение свойств характеристик имеет важное значение не только для ознакомления с точным методом решения, но и для дальнейшего уяснения структуры сверхзвукового течения. 12.2. Гиперболические уравнения Здесь мы не имеем возможности углубляться в математическую теорию гиперболических уравнений. Однако эта теория подробно излагается в нескольких превосходных книгах').
Мы просто позаимствуем из них те основные положения, которые понадобятся нам в данной главе. Эти положения перечисляются ниже. 1. Уравнение является „гиперболическим", если коэффициенты при его старших производных удовлетворяют определенному соотношению. Для уравнений (12.1) это требование приводит к необходимости выполнения условия (и,' + из)/аз) 1. 2. Отличительной особенностью гиперболических уравнений является существование в плоскости х,-х, некоторых характеристических направлений или линий, обйчйо называемых просто характеристиками.
На характеристике нормальные производные зависимых переменных и„и, могут иметь разрыв. Для уравнений (12.!) характеристиками служат линии Маха. Нужно отметить, что вследствие нелинейности уравнений сетка линий Маха не является определенной заранее. Учитывая, что на линиях Маха нормальные производные скорости могут иметь разрывы, вдоль этих линий можно „склеивать" различные течения. При этом имеется единственное ограничение, связанное с тем, что сама скорость должна изменяться непрерывно'). Этот случай непохож на эллиптический, или случай дозвукового течения, когда непрерывное изменение обязательно для всех производных, так что возмущение в некоторой части поля оказывает влияние на все остальные его части. ') Например, Курант н Гнл ь берт, Методы математнческойфнзнкн, т.2, Гостехнздат, М., 1945; К ура нт н Ф р ядр н хе, Сверхзвуковое теченне н ударные волны, ИЛ, М., 1950.
') Характеристики, нлн лйннн Маха, не следует ошибочно отождествлять с волнами конечной амплитуды, прн переходе через которые скорость также может иметь разрыв. 12.3. Соотношения совместности 339 3. На характеристиках, или линиях Маха, зависимые переменные удовлетворяют определенным соотношениям, известным как соотношения сввмесглнвсели. Эти соотношения являются ключом для построения метода расчета. 12.3. Соотношения совместности Метод характеристик может применяться непосредственно к уравнениям (12.1), записанным в декартовых координатах.
Однако и для вывода и для применения этого метода удобнее вос- пользоваться естественной системой координат, в которой ско- рость определяется заданием ее величины и направления (т,д), а независимыми переменными являются координаты в, п, отсчи- тываемые вдоль линии тока и по нормали к ней. Соответствую- щие уравнения (п. 7.12) таковы: — — — — =О, сев'и ат ав (12.2а) в до дл ая ав — — — — =- О. н а«ао (12.2б) Характеристическое направление, или направление Маха, определяется здесь в явной форме путем задания выражения с(з,и = Мо — 1. (12.3) Форма этих уравнений такова, что естественно ввести в них функцию Прандтля — Майера о, которая служит безразмерным критерием величины скорости и определяется формулой (п.
4.10) о= ) — л'т, г стан в (12.4) или вт еЬ= с1д ее —. Ю Как мы увидим ниже, при использовании метода характеристик функция о оказывается наиболее „естественной" из всех многочисленных функций, связанных с в (или с числом Маха М). После замены в на о уравнения (12.2) принимают вид а. дв — та р —,„=О, (12.5) тй„— '" — — "= О. ал ао Теперь мы должны найти соотношения совместности между о и О, которые в соответствии с теорией гиперболических уравнений должны существовать на характеристиках, или линиях 22' — ~ Гл. И.
1т1еаод хпрахшерислеил зйо Маха. Теория дает определенные правила для нахождения вида этих соотношений, однако мы получим их здесь непосредственно. Можно предполагать, что наша задача облегчится, если мы перепишем приведенные выше уравнения в координатах б, еЬ создающих изображенную на фиг. 115,а сетку линий Маха. Связь между двумя системами координат легко устанавливается за счет того обстоятельства, что линии Маха наклонены к линиям тока под углами '~,и. о бх 9, х = хес ~ге лх б Ф и г. 115. Естественная и характеристическая системы координат. а — сетка характеристик; б — расположение характеристик по отношению и лилиям тока и нормалей к поелелиим. Чтобы записать производные в новой системе координат, отметим, что изменение какой-либо функции 1 при переходе из точки Р в точку Р' (фиг.
115,б) можно представить как Ч= —, 1ч. д1 дч С другой стороны, Аг можно подсчитать также и продвигаясь по направлениям естественной системы координат: Л1 = — АЯ+ — Дп= ( — + — — ) А8. д1 д1 гд1 ду лл1 дх ' дл 1дх дл Ах! Сравнивая эти два выражения, получим д1 лл д1 д1 .бл — — — + до Ь дх дл Ах Учитывая геометрические соотношения, получаемые на основании фиг. 115,б, можно записать это равенство в такой форме: зес 1а — = — + 1д 1х —. д1 д1 д1 дл дх дл' (12.6) Выражение, определяющее производную по б, т. е. переход из точки Р в точку Р", отличается от этого равенства только тем, 341 12.4. Меоюд расчета что Лл/Ав = — 18/с и, следовательно, вес р — = — — 1д д —.
а/ д/ д/ де = дв дл ' Равенства (12.6) и (12.7) дают правила для установления связи между производными какой-либо функции / в обеих системах координат. Мы могли бы разрешить их в явной форме относительно д//дв и д//дп и применить результаты непосредственно к уравнениям (12.5). Однако более короткая процедура состоит в том, чтобы вначале произвести сложение и вычитание уравнений (12.5), получая при этом соответственно д (т 0)+ 18/са (т 0) =0 д д дв дп — „(,+0) (д„— д„(.+ 0) = О. д д Используя правила замены производных, увидим, что зти урав- нения могут быть записаны в форме условий — (т — О) = О, д дч — (ч + 0) = О, д дс или ч — 0 = 17, величина, постоянная вдоль характеристики ~, 1ч (12.8) ч+ 0 = с/, величина, постоянная вдоль характеристики 0.
Это и есть соотношения совместности между т и О. Они выражают собой простой результат, состоящий в инвариантности функций 9 = т + 0 и /7 = т — 0 на характеристиках 0 и соответственно. Величины с1 и /с называются инвариантами Римана. Следует заметить, что соотношения совместности не всегда могут быть получены в такой удобной форме. В общем случае они получаются в дифференциальной форме и не всегда могут быть проинтегрированы так, как указано здесь, независимо от частного вида поля скоростей, для которого ищется решение.
Пример такого более общего случая будет дан в п. 12.6. 12.4. Метод расчета Как показано в предыдущем пункте, задачу о характеристиках „естественно" формулировать с помощью функции Прандтля — Майера м Следовательно, проводя численные расчеты, удобнее вводить в ннх вместо в величину м После решения 342 Гл. 72. Метод характерпс3пик задачи значения к могут быть преобразованы в значения М, 13, зр/ае, р/ре ИЛИ ЛЮбОГО друГОГО ХараКтЕрНОГО ПараМЕтра СВЕРХ- звукового течения, связанного с указанными здесь. Некоторые из этих величин табулируются в табл. 7, помещенной в конце книги.
Предлагаемый метод расчета иллюстрируется фиг. 116. Исходные данные, или граничные условия, считаются определенными на линии задания (фиг. 11б, а). Требуется определить параметры течения в произвольной точке Р. Заметим, что вектор скорости характеризуется при этом величинами т и О, а не и и О или М и О. к3,0 ) Лини задан Ф и г. 116. Сетки характеристик, используемые при расчете. Через точку Р проходят две характеристики, одна из которых относится к типу О, а другая — к типу 21 и которые пересекают линию задания в точках А и В соответственно.
Поскольку точки А и В лежат на линии задания, значения т и О в этих точках (и, следовательно, значения 9 и В) являются известными. Но тогда легко записать, какие значения имеют 1~ и 1г в точке Р, если только сделать соответствующий выбор для каждой из двух характеристик. Так, из соотношений (12.8) получается, что ()3 = а1 кз = зтз или что т + 03 = 23+ 03, 3'3 03 = 3'2 02. Легко установить, что решение этих двух простых алгебраических уравнений записывается в виде 1, 1 тз =' 2 ('3 + "2) + 2 (03 — О,), 03 — ††, (3, — тз) + — 2 (03 + 03). 1 1 1З.4.
Мегпод расчета 343 Это решение можно выразить также непосредственно через инварианты = 3 (е+й) ) (1г.й) Таким образом, решение, определяющее параметры течения в произвольной точке Р, оказывается очень простым и изящным. Однако задача еще не решена полностью, так как положение характеристик нельзя указать заранее. На этом этапе процесс решения становится численным: для определения положения характеристик нужно проводить расчет от точки к точке. Если исследуемая область покрывается сеткой характеристик так, как показано на фиг. 11б,б, то отдельные ,„ячейки" могут быть сделаны настолько малыми, чтобы их стороны можно было аппроксимировать прямолинейными отрезками. Например, положение точки 5 определяется по известным углам Маха и углам наклона вектора скорости в точках 1 и в с помощью вычерчивания характеристических линий.
Параметры течения в точке 5 определяются по данным, имеющимся в точках 1 и в'. Аналогичным образом определяется положение точки 7 и параметры течения в ней, а затем по известным данным в точках 7 и 5 определяется положение точки 8. Таким образом, процесс расчета позволяет определять параметры поля течения в области, внешней по отношению к линии задания. Точность всего построения зависит от размеров ячеек. На фиг. 11б,в построенный таким образом характерный элемент сетки (ячейка) сравнивается в несколько преувеличенном виде с точной формой ячейки, границы которой определяются истинными искривленными характеристиками. Строго говоря, вычис'- ленные параметры о, и 5, относятся к точке 5, лежащей на истинных характеристиках, но построение относит эти значения к точке 5', чем и определяется степень неточности решения.
Читателю могут встретиться различные методы, позволяю'- щие улучшить построение. Один из таких методов связан с применением процесса итерации. Однако наилучший метод состоит просто в уменьшении размера ячеек, так как число операций в указанной последовательности вычислений желательно свести к минимуму. Характерный процесс продвижения в область, внешнюю по отношению к кривой задания, дает некоторое представление о природе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
