Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 57
Текст из файла (страница 57)
П1, !Чеи 'г'огх, 1953; русский перевод: Г у де р л е й Г., статья в сб. Проблемы механики, ИЛ, М., 1955, стр. 455. '11.б". Преобрагоаание годгграфи ЗЗЗ Указанная проблема плавного околозвукового течения в приложении к обтеканию профилей в настоящее время не представляет большого интереса. Возникновение скачков уплотнения и соответствующего им сопротивления следует принять как должное. Профили проектируются с таким расчетом, чтобы оттянуть и уменьшить рост сопротивления путем уменьшения толщины или за счет использования стреловидности. Другие важные проблемы возникают в связи с такими видами вторичного воздействия ударных волн, как околозвуковой бафтинг, потеря эффективности управления и т.
д. Зти проблемы тесно связаны с влиянием пограничного слоя, 11.6". Преобразование годографа Очевидно, что трудности теоретического исследования околозвуковых течений обусловливаются существенной нелинейностью уравнений движения. Однако уравнения двумерного течения могут быть преобразованы в линейные. Зто осуществляется с помощью преобразования годографа, при котором зависимые переменные становятся независимыми, и наоборот.
До настоящего времени большинство теоретических результатов, связанных с околозвуковыми течениями, было получено методом годографа. Уравнения околозвукового движения можно записать в форме уравнения (8.8): (1 — М' ) — + — = аи ао (г + О ме аи ах ау = и ах ' = и — (11.11) Символы х, и х„фигурирующие в уравнении (8.8), заменены здесь для удобства на х и у. В рамках теории малых возмущений можно считать, что околозвуковое течение является безвихревым, откуда получается второе уравнение — условие безвихренности: — — — = О.
(11.! 2) В гл. 8 и 9 мы добивались обычно тождественного удовлетворения второго уравнения за счет введения потенциала скорости вн Здесь нам будет удобнее сохранить два уравнения первого порядка. Уравнения (11.11) и (11.12) являются дифференциальными уравнениями, служащими для определения зависимых переменных и и о как функций независимых переменных х и у.
Принято говорить, что уравнения (11.11) и (11.12) — это дифференциальные уравнения в „физической плоскости", т. е. в плоскости координат х и у (фиг. !14). Зги уравнения могут быть преобразо- Гл. 17. Околоееукоеое свечение 334 откуда получим, что') е(и = и„с(х + и, е(у, л- = О,бХ+ окбУ. оя Ф и г. 114. Преобразование годогрвфа при околозвуковом обтекании клина. а — Еиаичсскаи киоскосты б — кксскссть годографа. Разрешая эту систему относительно е(х и Фу, получаем следую- щие выражения: Их= л. (в, би — ивов), 1 ду = — ( — о„е(и + и„Но), 1 и причем Будем считать теперь х и у функциями и и в, т.
е. х = х(и, в), у=у(и, ), и, следовательно, бх = х,Ни+ х„й~, иу = у„е(и + у, йв. (11.14) ') здесь используются сокращенные обозначения: и„=- зв/дх и т. д. ваны в такие, в которых переменные х, у стали бы зависимыми, т. е. функциями независимых переменных и, и. Получаемые уравнения относятся к „плоскости годографа" (п. 4.20), т. е. к плоскости, в которой координатами служат и и в. Мы записываем и = и(х, у), в = в(х, у), 11.б".
Преобразование гадографа 333 Сравнивая равенства (11.14) с равенствами (11.13), определим следующую схему преобразования: 1 1 х = — и И,~,/ у х = — — и в 1 в» (11.15) — — — о 1 у» = ~ ио зх ду — — — = О. зо аи ~ (11.1бб) Уравнения (11.1ба) и (11.1бб) представляют собой уравнения околозвукового течения в плоскости годографа. Эти уравнения линейны, так как зависимые переменные х и у входят в них линейным образом. Тнп уравнения (11.1ба) превращается из эллиптического в гиперболический при специальном значении скорости возмущения и, а именно при выполнении условия (1 — М2) — У+ 1 Мг и — О или и 1 — м' и' — = ( +, — — — (например).
Если величина и/(7 меньше значения, определяемого формулой (1!.17), то у, в уравнении (11.1ба) имеет гпопг же знак, что хео и уравнение является оэллиптическим". Если же величина и/17 больше, чем ио/17, то у„и х, имеют противоположные знаки и уравнение оказывается „гиперболическим". Но так как и и о являются теперь независимыми переменными, то формула (11.17) определяет некоторую прямую в плоскости годографа (фнг. 114,б).
В области, лежащей слева от линии и = и*, уравнение является эллиптическим; справа от этой линии уравнение является гиперболическим. Система (11.16) приводится к дифференциальному уравнению, которое относится к типу, изучавшемуся Трнкоми, и часто называется поэтому „уравнением Трикоми". Таким образом; занимаясь решением задачи об околозвуковом течении в плоскости годо- (11.
17) С помощью формул (11.15) дифференциальные уравнения (11.11) и (11.12) могут быть преобразованы и записаны как уравнения в плоскости годографа. Это делается путем простой замены и„, о, и т. д. соответствующими производными х и у, выражаемыми по этим формулам. Очевидно, что функциональнйй детерминант А появляется в каждом члене и, следовательно, его можно сократить (при условии, что он не равен нулю).
Таким образом, полу- чим Гл. 71. Околоовуковое течение графа, приходится решать уравнение Трикоми. Затруднение, возникающее при конкретных приложениях, всегда связано с граничными условиями, которые по своей природе задаются в физической плоскости, т.
е. относятся к обтеканию контура, заданного в координатах х и у. Читателю легко убедиться в справедливости этого утверждения, если он попытается изобразить в плоскости годографа линии тока, образующиеся при обтекании произвольного профиля, а также обратится к примерам, данным в и. 4.20. Задача об обтекании клина с прямолинейными гранями дает один из случаев, когда граничные условия могут быть сформулированы в плоскости годографа. Сравнение физической плоскости с плоскостью годографа при М < 1 дается на фиг. 114.
На линии оР поток должен быть направлен вдоль грани клина и, следовательно, в рамках теории малых возмущений мы получим, что — = 8. У В точке Р поток достигает звуковой скорости. Следовательно, линия оР преобразуется в плоскости годографа в горизонтальную линию и = УО, а точка Р оказывается на месте пересечения линий о = ь10 и и = и*, где уравнение меняет свой тип вследствие достижения потоком местной звуковой скорости.
Точка о (точка торможения потока) при использовании теории малых возмущений отображается в точку и = — . Таким образом, в плоскости годографа все линии тока попадают внутрь полосы, заключенной между линиями и = 0 и и = УО. Некоторые из них, проходящие вблизи угловой точки Р, будут простираться правее линии и = и*; это означает, что в потоке будет местная сверхзвуковая зона. При выполнении условия А = 0 преобразование годографа становится особым. Можно показать, что такое положение возможно только при сверхзвуковых скоростях.
Геометрическое место точек, где А = О, называется „предельной линией". В течение некоторого времени изучению свойств этой линии посвящалось очень большое количество работ, исходивших из предположения, что ее существование может объяснить процесс возникновения скачков уплотнения в околозвуковом потоке. Однако теперь, по-видимому, ясно, что предельная линия не имеет того физического смысла, какой приписывался ей в прошлом. Подробное исследование указанных здесь задач завело бы нас слишком далеко за рамки данной книги. Назначением сделанного выше краткого очерка можно считать указание общих целей применения преобразования годографа.
Читатель, желающий изучить это преобразование более тщательно, отсылается к соответствующей литературе. Глава 12 МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК 12.1. Введение В предыдущих главах было показано, что существует возможность получения общих решений, определяющих обтекание тонких тел без учета сил трения; для этого используются приближенные лннеаризированные уравнения. Если такие решения не обеспечивают достаточной точности, то необходимо найти пути их улучшения, включая в приближенные уравнения члены более высокого порядка малости или получая точные решения, Однако при поисках точных решений очень редко удается получить последние в аналитической форме, так как исходные уравнения являются нелинейными. Ввиду этого обстоятельства приходится обратиться к использованию численных методов. Точные нелинейные уравнения, описывающие.
двумерное безвихревое течение невязкой жидкости, имеют такой вид: аи, аи, — ' — —.' = О. эх, зх, Эти уравнения легко обобщить на случай вихревого течения за счет включения соответствующих членов в правую часть второго уравнения (см. п. 7.9). В обоих случаях формы численных решений при дозвуковом и сверхзвуковом течении имеют коренные различия.
Если (и, '+ иф/а' ( 1, то уравнения относятся к типу, называемому эллиптическим, и лучше всего решаются с гюмощью метода релаксации; если же (и, '+ ие)/а') 1, то уравнения относятся к гиперболическому типу и их численное решение проводится с помощью метода харакп1еристик. В данной главе будут рассматриваться только уравнения последнего типа.
Околозвуковое течение соответствует смешанному случаю, при котором имеются как дозвуковые, так и сверхзвуковые области. В этих условиях даже и примененйе численных методов наталкивается на большие трудности, так как границу между двумя упомянутыми областями нельзя указать заранее. 22 за4зв 338 Гл.
72. 34ешвд характеристик С самого начала можно отметить, что по сравнению с методами, основанными на линеаризации уравнений, или даже с приближениями высшего порядка, численные методы являются значительно более трудоемкими и требуют большей затраты времени. К ним следует прибегать только там, где необходима высокая точность, совместимая с ограничениями, обусловленными другими видами идеализации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
