Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Как ' будет установлено, число этих параметров можно уменьшить до трех. Тогда при заданном положении точки х,/с изменение коэффициента давления может характеризоваться единственной кривой, пригодной для любых газов при любых числах Маха и для целого семейства контуров. Различие между анализом размерностей и теорией подобия состоит в следующем. Анализ размерностей 'позволяет нам лишь перечислить те безразмерные параметры, с которыми связано решение, тогда как теория подобия' идет значительно дальше,' показывая, как можно сгруппировать эти безразмерные величинй с целью уменьшения числа независимых переменных.
Для анализа размерностей нужно произвести лишь своего рода „инвентаризацию", т. е. узнать или предположить, - какие переменные фигурируют в решении задачи. Для исследования воиросов подобия необходимо знать нечто большее, как, например, дифференциальные уравнения и граничные условия или, может быть, некоторые интегральные соотношения. Иногда законы подобия выявляются в результате проведения серии, экспериментов. При решении интересующих нас задач оказываются известными дифференциальные уравнения и граничные условия, на основании которых мы и получим законы подобия.
Следует подчеркнуть, что для линеаризированных уравнений нет необходимости отдельно производить исследование подобия. Законы подобия можно было бы вывести из рассмотрения конкретных примеров, вроде обтекания волнистой стенки, поскольку путем суперпозиции частных решений такого рода можно построить общее решение системы уравнений движения. Основная ценность этих законов состоит в возможности их распространения на около- звуковые и гиперзвуковые течения, для которых решения редко могут быть выражены в явной форме, а суперпозиция частных решений невозможна. 10.2.
Двумерное линеаризироваиное течение. Правило Прандтля — Глауэрта и правило Гбтерта Линеаризированное уравнение, определяющее потенциал возмущений р(х, у) при плоском установившемся течении, может быть записано в виде (!0.3) 1 304 Х'л. !о. Законы подобия для течений с большими скоростями Единственной переменной, которая фигурирует в соотношении (10.9), является х/с (= с/с); следовательно, при выполнении этого соотношения будет удовлетворяться также и граничное условие (5)„,= ()..~ $) если только функция )' одна и та же в обоих случаях; отсюда следует также, что т, связано с т, соотношением (! 0.10) Поставленное здесь условие о том, чтобы функция 1 была одной и той же для обоих течений, означает просто, что могут сравниваться лишь тела, принадлежащие к одному „семейству", причем общие свойства этого семейства определяются видом функции 1.
Выражение для коэффициента давления можно также переписать заново: Однако коэффициент давления во втором течении должен быть равен Это несколько громоздкое правило можно записать в следующей общей форме'): А (АУ! — Ма ) ~ (1О. 12) ') Для читателя может оказаться полезным сначала положить А = Ад/Ае в формулах !1О.!О) и (10.11). Таким образом, связь между коэффициентами давления в обоих течениях оказывается следующей: Стл — — АС,я. (10.11) Соотношения (10.10) и (10.11) выражают собой следующие законы подобия: два тела, контуры сечения которых принадлежат к одному семейству и которые характеризуются относительными толщинами и, и т„ имеют распределения давления, заданные коэффициентами С, и С„.
Если числа Маха этих течений равны соответственно М, и М„ то С„ = АСяз при условии, что 1) ! — м( т,=А)с 10.2. Двумерное еинеариоированное еиеиение Множитель А оставался пока что произвольным. Возможность такого произвола обусловлена тем, что линейное уравнение (10.3) однородно по отношению к у и все его члены могут быть умножены на любое постоянное число без изменения вида самого уравнения.
Как мы увидим в следующем пункте, нелинейность одного нз членов в уравнении околозвукового течения исключает возможность произвольного выбора постоянной А. По существу условие, налагаемое там на значение А, будет определять законы подобия для околозвуковых течений. Соотношение (10.12) охватывает как правило Прандтля —.Глауэрта, так и правило Гетерта, которые можно получить следующим путем.
1. Полагая А = 1, получим, что С„=// ). (10.13а) Х1 — М' /' 2. Полагая А =, получим, что С„= - /(т). (10.13б) 1 1 У! — М: ' 1'! — М 3. Полагая А = т, получим, что С, = т/(!/1 — М'). (10,13в) 4. Полагая А =;,, получим, что С„=, м, /(т) 1 — М.' ). 1 1 (10.13г) Предположения 1, 2 и 3 соответствуют обычным формулировкам правила Прандтля — Глауэрта.
Предположение 1 приводит к утверждению о том, что с изменением М коэффициент С„остается постоянным, если с увеличением М относительная толщийа т уменьшается в пропорции, обеспечивающей постоянство величины х/1'1 — М' . Предположение 2 приводит к утверждению о том, что коэффициент С, для заданного контура, принадлежащего к определенному семейству, с увеличением М увеличивается пропорционально величине (1 — М' ) н, а предположение 3 — к утверждению о том, что при фиксированной величине М коэффициент Ср изменяется пропорционально т.
Предположение 4 приводит к формулировке правила Гетерта, пригодного как к случаю двумерного течения, так и осесимметричного (что будет показано в п. 10.4). Это правило констатирует, что с увеличением числа Маха коэффициент С увеличивается, как (1 — М' ) ', если относительная толщина увеличивается при этом, как (1 — М') и. Примеры применения законов подобия будут даны в и. 10.6.
Правила, указываемые формулами (10.12) и (10.13), записаны для линеаризированного дозвукового течения. Очевидно, что вместо 1Т вЂ” М' в формулу (10.12) можно было бы ввести 1/М' — 1, так как во всех предыдущих соотношениях вместо 1/(1 — М,')/(! — М',) можно было бы написать )/(М~о — 1)/(М3 — 1). 20 2043 Зоб Гл. 70. Законы подобия для течений с большими скоростями Следовательно, для того чтобы распространить эти правила на случай сверхзвукового течения, нужно лишь величину )'! — -М' всюду заменить на Ц1 — М' (, или же переписать формулы в таком виде, чтобы в них не фигурировали квадратные корни.
Например, соотношение (10.12) можно переписать в форме т' А 7 1Ае(! — Ме )) справедливой как при дозвуковом, так и при сверхзвуковом дви- жениях. -08 -ОЮ Р-аю -ог О,г аг -08 -08 — ОЮ -ао -ог аг аг Ф и г. 105. Сравнение результатов применения правила подобия Прандтля — Глауэрта с экспериментом.
эксперкмеатальные данные првнедены для проФили МАСА 0017 к наяты ка работы Амнка (Ам 1с к х. ь., нАсА тх 717еь — акспернмевтальвые кривые, — — — — кривые, рассчктанвые по аначенвям для Мчо О,СО. На фиг. 105 показаны результаты применения правила Прандтля — Глауэрта к расчету распределения давления по хорде профиля. Значения С„при М = 0,60, 0,70 и 0,80 рассчитаны по экспериментальным данным, йолученным для М = 0,40.
Например, (С )о,ео = (С„)ос (1 (0>40)е1/!1 (0~80)а! = 1 38 (С»)о во Соответствие расчетов с экспериментальными данными становится все менее удовлетворительным по мере приближения к околозву- 10нп двумерное околоовуковое течение 307 10.3. Двумерное околозвуковое течение. Правило Кармана По мере того как число Маха невозмущенного потока приближается к единице, линеаризированное уравнение становится неточным и его надо заменить следующим 1см. уравнение (8.9а)1: ~, +, " — У' ' " е ° (10.14) ак- + 1 — М, Эуе 1 — М; и, ак аке' Как и прежде, уравнение записано применительно к случаю, когда число Маха невозмущенного потока равно М„а скорость (7,.
Если с помощью соотношения (10.7) опять ввести потенциал Ф, то окажется, что функция Ф (с, е)) удовлетворяет уравнению э'о1 (у +1)м1 А эе э'Ф а( 1 — М, 'ЭЧ ) — М; и, ас аде' Теперь заметим, что если функция Ф должна удовлетворять тому же уравнению, что и р, т.
е. уравнению (10.14) для околозвукового течения, то величину А следует подобрать так, чтобы получить нужное значение коэффициента, стоящего при члене в правой части уравнения (10.15). Необходимое для этого условие оказывается следующим: (у~+ )М1 А (уе+ )М1 1 —.м1 1 — м, Следовательно, А= у,+1 м1 1 — м1 1,+1 м1 1 — м( (10.16) При рассмотрении околозвукового течения равенство (10.16) дополняет соотношения (10.10) и (10.11). Так, например, если выражение для С, записывается в виде формулы (10.12), то А надо заменить на „„и вместо формулы (10.12) мы получаем '1 — М С„(У+ ЦМ,(е(У+ ЦМ ~ (10.17) Зто соотношение можно переписать в различных вариантах. Если, например, обе его части умножить на 20' — ез ковым скоростям.
Значения С„при М =0,80 уже превышают критическое значение, соответствующее достижению звуковой скорости, и на участке между 10 и ЗОВ хорды возникает сверхзвуковая область. 808 Гл. ГО. Законы подобия для течений с большими скоростями то соотношение (!0.17) принимает такой вид: ~™с~ =(1 .( .(. (-(Ы, ь (!038( ( Это — правило околозвукового подобия Кармана, записанное в той форме, как его представил Спрейтер; настоящая форма несколько отличается от первоначальной, данной самим Карманом.
Соотношение (10.18) справедливо при дозвуковых, околозвуковых и сверхзвуковых скоростях. Как частные случаи из него получаются правило Прандтля — Глауэрта и правило Гетерта, справедливые в тех диапазонах скоростей, где могут применяться линеаризированные уравнения. В связи с тем что постоянная А не может выбираться произвольно, оказывается, что уже невозможно сравнивать обтекание одного и того же тела при различных числах Маха или обтекание различных тел при заданном числе Маха, как зто делалось, например, при применении формул Прандтля — Глаузрта (10.13б) и (10.13в).
Можно сравнивать лишь обтекание тел различной относительной толщины т, и т, при различных числах Маха М, и М„ которые должны быть выбраны так, чтобы выполнялось условие Х = Хю т. е. чтобы ( ' — м1 г — м! 1с((т(+ О м;1н. — 1,,(, + г) м,.ь ( . 0) 10.4. Линеаризированное осесимметричное течение Линеаризированное уравнение, служащее для определения потенциала ш(х, г) осесимметричного потока, имевшего в невозмущенном состоянии скорость Ус и число Маха М„записывается в виде Снова, как и в п.
10.2, функцию и(х, г) можно связать с потенциалом другого течения Ф(с,й) посредством следующего преобра- зования ш(х, г) = А — „'- Ф(х, г')(,,') (10.21) При такой замене оказывается, что функция Ф удовлетворяет тому же уравнению, что ни([т.е. уравнению(10.20)], при числе Маха М,. Все это пока что совпадает с тем, что имело место для случая двумерного течения. Однако существенное отличие рассматриваемого случая связано с постановкой граничного условия.
Если уравнение контура осесимметричного тела имеет форму г = т„сЯх/с), то граничное условие в точной постановке оказывается таким: 4 10.о. Линеариоированное осесимметричное течение 309 В случае двумерного течения приближенное выполнение гранич- ного условия достигается за счет постановки последнего при г = О, но, как было показано в п. 9.3, этого нельзя делать при рассмот- рении осесимметричного течения.
Следовательно, необходимо воспользоваться точным граничным условием ( —.,) „.„...= "~6). Левую часть этого равенства можно преобразовать при помощи формулы (10.21) и выразить ее через функцию Ф а7) ч.упяс1 и, 1 1 — М,' ~ Зя ~л=Пе — м11д мп.;1пяс> С другой стороны, граничное условие, которому должна удовлет- ворять функция Ф, выглядит так: (10.23) Для возможности сравнения формул (10.22) и (10.23) следует счи- тать, что 1(х/с) = Р(с/с), т. е. придерживаться условия, выдвигав- шегося выше, полагая дополнительно, что 1 1 — м', 1 — м' Если использовать эти условия и формулу (10.22), то получается, что те1(с) = А~1 — М~т~~1 — М 11,с)' Таким образом, постоянная А определяется из соотношения (10.24) — 1 После этого мы должны установить, какая связь существует между коэффициентами давления двух течений. Вследствие особых условий в окрестности оси использование линеаризированного выражения для коэффициента давления 1формула (10.6)) снова может привести к большим неточностям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
