Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 51
Текст из файла (страница 51)
616. 9.19". Формула Радея В заключение данной главы рассмотрим вкратце движение тела в покоящейся жидкости. Отдельные замечания, сделанные в гл. 3 и 4, содержали указания на то, что каждая часть тела воздействует на окружающую жидкость подобно поршню, порождая при этом волновое движение и приводя к установлению давления, соответствующего „давлению на поршень". Местное значение той „скорости поршня" или скорости частиц, которую тело сообщает жидкости, равно У 19 0 ю Уд, где 9 — угол наклона поверхности тела к направлению движения.
В рамках линеаризированной теории скорость поршня оказывается направленной перпендикулярно направлению движения. Это обстоятельство дает возможность глубже разобраться в методе представления тела с помощью распределения источников; источники также действуют на жидкость подобно поршням, создавая около себя скорости, направленные перпендикулярно направлению движения. Такая „скорость поршня™ называется обычно скоростью скоса потока. Давление на поршень, соответствующее данной скорости поршня, нельзя рассчитать здесь с помощью приводимой в гл.
3 простой одномерной формулы; это объясняется тем, что в трехмерном пространстве имеет место взаимодействие отдельных частей тела. Линеаризированная теория утверждает, что возмущения распространяются с постоянной скоростью а, равной скорости звука, а движение жидкости описывается акустическим уравнением') Гл. ь. Тела вращения, Теория тонкого тела 298 Движение может быть как дозвуковым, так и сверхзвуковым, а в случае ускоренного движения может быть рассмотрен и переходный околозвуковой режим, если только тело проходит диапазон околозвуковых скоростей достаточно быстро для того, чтобы не могли возникнуть сильные возмущения').
Квазидвумерыое тело, подобное тонкому крылу, характеризуется распределением движущихся в плоскости 2 = 0 источников соответственно зависимости )(х, у, !). Решение акустического уравнения дается формулой Рэлея') р(х,у,2,1) = — ) ) )(~' "' „~ г)сг)в), )а (9.49) плоскость в о где )Г = 1 (Х вЂ” б)в + (у — Ч)в + 2'. ДаННая фОряуЛа ПОКаЗЫВаЕт, ЧтО ПОтЕНцИаЛ В ТОЧКЕ Р(Х,уеа) в момент времени ! вычисляется путем интегрирования элементарных долей, вносимых каждым из источников. Типичный источник, имеющий интенсивность ) г!сйв) и расположенный в точке Я(с,в)), отстоит от точки Р на расстоянии )г.
Как видно из формулы„в качестве интенсивности источника в точке (~ мы должны использовать ее значение в более ранний момент времени ! †)г!а ; это связано с тем, что воздействие от источника доходит до точки Р за конечный промежуток времени, равный )г/и . Кроме того, с увеличением расстояния указанное воздействйе ослабляется пропорционально величине 1/)г. Аналогичным образом осесилгметричное тело может характеризоваться линейным распределением источников )(х,!) вдоль оси х.
Формула Рэлея для осесимметричного акустического поля имеет вид (х г !)= — ~(' ~ г!в а 1 )а (9.50) ливий е о где «=6*:геь * Для того чтобы найти распределение источников, характеризующее данное тело, нужно вычислить скорость скоса потока (Ьр/дз) в или (д р/дг), соответственно из формулы (9.49) или (9.50) и положить ее равной УО = Удл)дХ или Уд)г/дХ. ') См. работу Коула [С о)е .!.
Р., Ассе!егаг!оп о! в!епаег Ьоп!ев о! гево!иИоп Гйгоиай воп!с те!ос!1у, /. Арр!. Раув., 26 (1955), 322). ') Р э л е й, Теория звука, т. П, Гостехпздат, М., 1955, стр. 111. рлу". Формула Рэлея 299 Функции У(Х,У) и эс(Х) выражают собой соответственно уравнения поверхности тела, причем фиксируемые на поверхности тела координаты Х, г' используются здесь для того, чтобы отличать их от координат х, у в произвольной точке пространства. В случае квазидвумерного тела, движущегося в отрицательном направлении оси х со скоростью Щ), окончательное соотношение между интенсивностью источника и скоростью скоса потока принимает следующую форму: ((~,у,() = —,.
((1),~ дх ~ (9.51) )(х, 1) =- —- Таким образом, интенсивность источника оказывается равной местной скорости увеличения площади поперечного сечения, т. е. „напору" движущегося' тела на окружающую жидкость. Если рассматривается твердое тело, то Я = Я(Х) и это соотношение может быть записано так: ((х, 1) =- —, и(1) — „° 1 ао )в (9.52) Как уже отмечалось выше, все эти результаты являются весьма общими.
Они остаются пригодными и для частного случая У = сопз1. Можно показать, что в этом случае преобразование х' = х+ И сводит данные результаты к результатам для установившегося течения, представленным в обычной системе координат (обозначаемой теперь символами х', у, г), по отношению к которой тело неподвижно, а поток движется в положительном направлении оси х. Например, акустическое уравнение (9.48) принимает такой вид: дэр дэо дэд и дэр —..— + — + —,— — — = 0 дх ' ду' дээ а' дх ' ') Сн. статью Ф. И. Франкля, „О влиянии ускорения на сопротивление прн движении продолговатых тел вращения в газах", Лрикл.малым.
и мех., 1О (1946), 521. Таким образом, интенсивность источника для квазидвумерной системы зависит только от местного значения скорости скоса потока и пропорциональна 'этой скорости. Аналогичное соотношение в осесимметричном случае не имеет столь простой формы; оно принимает форму интегрального уравнения. Можно показать, однако, что для очень тонкого тела интенсивность источника определяется опять-таки местными осо-' бенностями геометрической формы тела и выражается с помощью простого соотношения'): зоо Гл. а.
Тела вращения. Теория тонкого тела (сравнить с уравнением (8.96)]. Записанное в интегральной форме решение (9.49) приводится к виду: р(х',у,з) = — — 1 1 уо(е, еу, О) ууе ууеу 2л,у „у 1 (х' — е)о + (1 — Мг~) [(у — еу)о + ге) (М < 1), (9.53а) 1 ('(' уо(е, еь 0) иа ууеу я,/./ 1 (Х вЂ” о)г — (М' — ц 1(у — Ч)о + г'1 (М ) 1), (9.536) где иу = у(у(зууу(х)еа,о — скорость скоса потока, перпендикулярная плоскости крыла.
Обозначение „гип." относится к области интегрирования в случае сверхзвукового движения. В нее попадают только те источники, которые располагаются вверх по потоку от линий Маха, идущих вперед из точки х', у, з (см. п. 9.7). Эти линии образуют конус Маха, пересечением которого с плоскостью х'-у определяется гиперболическая область интегрирования.
Формулы (9.53) являются основными при применении метода источников к решению задач об установившемся обтекании квазидвумерных тел, например крыльев. Если такое же преобразование применить к формуле (9.50), то получатся соответственно формулы (9.17а) и (9.20), определяющие установившееся осесимметричное течение, Глава 10 ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ ДЛЯ ТЕЧЕНИЙ С БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ 10.1. Введение Рассматривая частные примеры линеаризированных двумерных и осесимметричных течений, мы подметили, что определяющие их параметры можно объединить в определенные функциональные группы так, чтобы единственная кривая характеризовала решение задачи для целого семейства контуров и широкого диапазона чисел Маха.
Например, соотношение, из которого определяется коэффициент давления при обтекании волнистых стенок (п. 8.5), имеет вид =1(мхи мхе Ц 1 — М'. (), (10.1а) тогда как аналогичное соотношение, справедливое при сверхзвуковом обтекании тонких конусов (п. 9.11), записывается в форме с В 1 ( д ) М ~ 1 ) (10.1б) Это — примеры соотношений подобия. В указанных частных случаях входящие сюда функции известны в явной форме 1формулы (8.2бг) и (9.32в)], так как имеется возможность получить решение уравнений движения.
В тех же случаях, когда получить решение затруднительно, например в нелинейном случае околозвукового течения, анализ размерностей оказывается особенно полезным. Но даже и при наличии решений, выраженных в явной форме, как для линеаризированных течений, перегруппировка получаемых выражений по признакам подобия дает ценную возможность глубже разобраться в свойствах решения и играет важную роль в инженерных приложениях. В данной главе исследование вопросов подобия будет проводиться так, как зто намечено в вышеприведенных примерах, причем основной упор будет делаться на применение метода к случаю околозвукового течения.
В первую очередь нас будет интересовать коэффициент давления С на поверхности тела и действующие на зту поверхность силы. Установившееся двумерное или осесимметричное течение совершенного газа около тела, имеющего хорду (или длину) с и макси- 302 )пл. 1О. Законы подобия для теяений с большими скоростями мальную толщину 1, характеризуется следующими параметрами: С„= С„(х,/в, М, у, 1/с). (10.2) Зто — всего лишь результат анализа размерностей. Теперь задача состоит в определении такой функциональной формы представления С„, при которой пять безразмерных переменных, фигурирующих в формуле (10.2), были бы сгруппированы в меньшее число „параметров подобия".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
