Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Необходимое для этого значение скорости близ оси в двумерном течении оказывается почти таким же, как на границе, тогда как в осесимметричном течении, желая йолучить конечное значение радиальной скорости на границе, мы вынуждены приписывать ей бесконечное значение на оси. В случае двумерного течения скорости в окрестности оси могут быть представлены степенными рядами и,(х„ х,) = У + и(х„ 0) + а,х, + аехе е+ ..., (9.5) и,(х„х,) = и,(х„О) + Ьдхе + Ь,х' +..., 0.3. Граничные условия где а„а„..., дг, Ьа,...
суть функции х,. При использовании приближенного граничного условия из каждого ряда берется лишь один первый член. Что касается случая осесимметричного течения, то в нем градиенты скорости близ оси оказываются очень большими и хо или г е-а хг =0 г О Фиг. 95. Поля скоростей в окрестности осей двумерного и осесимметричного тел. о — нРодовьное сечение двумеРного инв осесимметричного тела; о — снорости на градине; е — скоРости вевиаи оси. разложение в степенной ряд неосуществимо.
Это обстоятельство связано с наличием члена (1/г) 10(иг)~дг] в уравнении неразрывности (9.1б). Чтобы получить оценку величины скорости близ оси, заметим, что указанный член должен быть такого же порядка, как и другие члены, например д ди — — (иг) — г г дг дх или — (иг) г — ' о ди. дг дх Гл. Р. Тела вращения. Теория тонкого тела лдз Градиент скорости ди/дх в общем случае имеет конечную величину, так что при г- 0 О, (ог)- О, д вг а (х). Это значит, что величина о вблизи оси имеет порядок 1/г'). Взамен степенного ряда типа рядов (9.5) здесь нужно пользоваться разложением следующего вида: о = а, + а,г + а,г' +..., или (9.6) в= — +а,+ а,г+.... Таким образом, корректная форма приближенного граничного условия на оси в случае удлиненного тела будет следующей: ~ (9.7) Мы можем оценить также характер изменения вблизи оси другой составляющей скорости и.
С этой целью используется условие отсутствия вихрей ди Оо 3 Ог дх из которого можно получить, что Ои а,' — — +а'+... Ог где а,' = да,/дх, и т. д. Следовательно, и = а',1и г + а,'г +.... (9.8) Резюмируя сказанное, можно утверждать, что смысл „переноса граничных условий на ось" состоит в указании такого значения скорости при х, = 0 или г = О„которое привело бы к образованию поля скоростей, дающего (приблизительно) нужное значение скорости на фактической границе, т. е. при х, =У или г = гт.
9.4. Коэффициент давления Для расчета давлений в нашем распоряжении имеется точное выражение коэффициента давления через скорости возмущения [формула (2.406)[: ') Этот результат остается таким же и при том условии, что при г-ьд величина г(ди/Ох) остается конечной.
269 рХ Осссиммстричнос пичспис Если возмущения малы, то правую часть можно разложить в ряд, как это сделано в п. 8.3. С точностью до членов второго порядка получим, что Ср — — — ~2 — + (1 — М' ) — + — + — ~ (9.10) В случае двумерного течения теория первого приближения давала возможность пренебречь всеми членами этого выражения, кроме первого. Однако в данном случае радиальная составляющая скорости и имеет вблизи оси иной порядок, чем и [см. равенства (9.6) и (9.8)!.
Корректное представление коэффициента давления в первом приближении, пригодное для подсчета значения этого коэффициента в окрестности оси (т. е. на поверхности тонкого тела), будет следующим'): С,= — — ',", — ( —;,)'. ~ (9.10а) 9.5. Осесимметричиое течение (9.1 1) Напомним, что р — это потенциал еозмуи!сний, из которого могут быть получены скорости возмущения и, о и 1р (в данном случае 1р = 0). В случае течения несжимаемой жидкости, когда М = О, зто уравнение превращается в уравнение Лапласа, а*„! а„ае„ вЂ” + — — + — = О. аг г аг ах— (9.12) Его фундаментальное решение имеет вид сопе1 у .г+ ° что можно проверить путемнепосредственной подстановки в уравнение (9.12). Помимо всего прочего, это решение становится по величине исчезающе малым при больших значениях г, т.е.
на бес- ') См. работу Лайтхилла [3.1а Ь 1 Ь11! М. !., аирегеоп1с 11очг рае1 Ьоб1ее о1 гечо1п11оп, Асго. гссасагс» Соипсн (Вгиа!и), Йер1. апо. Мсач ЗЮЗ (1945Я. Течение около тела вращения, ось которого параллельна направлению невозмущенного потока (фиг. 93), является осесимметричным; это означает, что в каждой из меридиональных плоскостей условия течения одни и те же. Ни один из параметров течения не зависит от а, так что уравнение (9.3), определяющее потенциал, может быть записано в таком виде: — + — — +(1 — М ) — =О. ает ! ад аег дг' г дг дхе 270 Гм О.
Тела ора(ценил. Теория тонкого тела конечности, как и должно быть для потенциала возмущений. В зависимости от знака константы указанное решение соответствует источнику или стоку, расположенному в начале координат. В случае источника константа должна быть отрицательной, так что источник произвольной интенсивности можно характеризовать следующим выражением: — А 9( = у х' + г' Если источник располагается на оси х в точке х = б, то его потен- циал выражается так: А, — —...
(9.14) Ае у( — е~)'+ ' у< — е~)'+ г' характеризует течение, создаваемое последовательностью источников, располагаемых вдоль оси х. Наконец, взамен отдельных источников конечной интенсивности можно ввести непрерывные распределения источников. Если /(б) — интенсивность источников, приходящаяся на единицу длины, то величина ~(б)Иб характеризует интенсивность (бесконечно малую) источника, расположенного в точке х = $. Потенциалы таких источников, распределенных вдоль оси х, можно, как и прежде, просуммировать на интересующем нас участке, однако вместо суммы [равенство (9.14)] мы получаем теперь интеграл ( е(*, ( — — З о (9.(е( а определяющий значение потенциала в точке х, г, создаваемого за счет распределения источников на отрезке оси х между точками х = 0 и к = !.
Путем дифференцирования р получаются соответствующие интегральные выражения для составляющих скорости. В теории течения несжимаемой жидкости уравнение (9.15) соответствует интегральному уравнению „задачи о дирижабле". В каждой конкретной задаче функция 1(б) определяется так, чтобы были выполнены граничные условия. Решение проводится обычно численным методом и зачастую сводится всего лишь к аппроксимации интеграла с помощью суммы, подобной сумме, входящей в равенство (9.14) и соответствующей конечному числу источников р(х,г) =, (9.13) Вследствие линейности рассматриваемого дифференциального уравнения можно использовать суперпозицию его решений. Так, например, выражение р(х, г) Ае у х' + г' 9.7. Сверхевукввве течение и стоков.
Чтобы граничные условия, заданные в таком же числе точек границы, удовлетворялись, необходимо решить систему уравнений, определяющую интенсивности источников. 9.6. Дозвуковое течение При дозвуковом течении сжимаемой жидкости ие — = 1 — М') О. а*„! а„а℠— — + — — + — =О.
т' дгв твг дг дх' Если ввести новую систему координат с помощью соотношения г' = иг, (9.16) то это уравнение принимает следующую форму: авт ! д„авт — + —, —, + — = О. дг' г' аг' дх' Оно аналогично уравнению для случая несжимаемой жидкости, решение которого дается формулой (9.15). Совершая после этого обратное преобразование к первоначальным координатам, получим, таким образом, фундаментальное решение — А е(х,г) = и общее решение р(х,г) =— Ю Фв „/ У(х — д)в+ твгв о ~ (9.17а) Метод решения этого интегрального уравнения при заданной форме тела совпадает с тем методом, который описан выше.
Другой метод состоит в том, чтобы вначале рассчитать течение несжимаемой жидкости около тела, подобного данному, но более тонкого, видоизменяемого соответственно отношению (9.16). После этого давление на поверхности первоначального тела рассчитывается с помощью правила, которое будет дано в гл. 1О и называется правилом подобия Гетерта. 9.7. Сверхзвуковое течение В случае сверхзвукового течения мы будем пользоваться обозначением Ле= М' — 1 > О. Уравнение для определения потенциала может быть записано в таком виде: Гл.
Р. Тела вращения. Теория тонкого тела 272 Тогда уравнение (9.11) превращается в волновое уравнение (9.18) Пользуясь формальной аналогией с решением для дозвукового случая (формула (9.17)~, попытаемся представить фундаментальное решение в виде (о(х,г) = (9.19) (ох,г =— 1(~) Фе у (х — 1)' — Лаге о ~ (9.20) Следует отметить, что знаменатель подинтегрального выражения не может принимать мнимых значений, так как интегрирование проводится только при значениях $, удовлетворяющих условию 4- х — Аг. При соответствующем распределении источников решения, определяемые этим интегралом, не имеют особенностей в точках, не лежащих на оси.
Смысл верхнего предела интегрирования поясняется на фиг. 96. Источники распределены вдоль оси х на участке от 0 до Е,. Однако для того, чтобы получить значение р в точке (х, г), необходимо учесть влияние только тех источников, которые расположены вверх по течению от точки $ = х — Яг, источники же, расположенные вниз по потоку от этой точки, никак не влияют на условия течения в точке (х, г).
Это решение удовлетворяет волновому уравнению, однако его использование для представления конкретных течений является теперь более проблематичным. На некоторых участках поля течения подкоренное выражение в знаменателе правой части формулы (9.19) оказывается равным нулю или отрицательным, что соответствует бесконечным или мнимым значениям у. В связи с этим метод решения указанного уравнения должен быть полностью пересмотрен, поскольку решения уравнения для сверхзвукового течения коренным образом отличаются от решений для дозвукового случая; зто свойство было показано нами ранее, в гл. 8. Математическая теория волнового уравнения хорошо разработана, так как оно описывает многие физические явления, связанные с распространением волн, например акустические и электромагнитные явления.
Первыми, кто применил эту теорию к решению данной задачи, были Карман и Мур, показавшие, что потенциал может быть снова представлен в виде интеграла, взятого по распределению „источников", 273 9.7. Сверхввукввве течение Можно уяснить физический смысл этого предела, если заметить, что угол агс $д — = вгс 1д, =,и, (9.21) 1 . 1 1 !Мв представляет собой угол Маха. Таким образом,' существование верхнего предела интегрирования имеет тот смысл, что источник не оказывает влияния на впереди конуса Маха этого талл)инат источника.
Мы выяснили ранее, что возмущение в линеа- !щг) ризированном двумерном сверхзвуковом течении не оказывает никакого влияния нн вверх, ни вниз по ;,потоку от его линий Маха, и х-Аг и вся область воздействия Ф и г. 9б. Область влияния для точки ограничивается лишь са-' (х г). мими линиями Маха. В осесимметричном случае, однако, создается воздействие на всю область, расположенную вниз по потоку от конуса Маха.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
