Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Ее кинематический смысл будет исследован в следующем пункте. Из уравнения (7.33) видно, какие условия должны выполняться, чтобы энтропия в потоке невязкой жидкости оставалась одной и той же на различных линиях тока, т.е. чтобы течение было полностью иззнтролическим (в английской литературе такие течения называются „гомоэнтропическими"). Эти условия таковы: 1. Йо = сопев во всех точках поля течения, 2. С = О во всех точках поля течения.
Первое условие удовлетворяется при решении большинства аэрцдинамических задач; если оно выполнено, то завихренность ока- Первое из этих уравнений подтверждает сделанный нами в п. 7.7 вывод о постоянстве энтропии вдоль линий тока. Второе уравнение показывает, как изменяется энтропия вдоль нормалей к линиям тока. Это уравнение известно под названием теоремы Крокно и обычно записывается в форме 7.70. Свирь вавихреннсстп с циркуляцией и ротором 235 зывается непосредственно связанной с градиентом энтропии поперек линий тока. Можно напомнить (п.2.4), что в случае совершенного газа из равенства И, = сопй1 следует также равенство Т, = сопй1, при выполнении которого энтропия имеет непосредственйую связь с давлением торможения [формула (2.15а)).
При этих условиях завихренность служит критерием изменения р, поперек линий тока: е е й~, вр, (7.35) и Вп про Вп Обобщая вышеприведенные соображения, можно сказать, что из равенства нулю завихренносгпи следуегп постоянство знтропии потока, если только величина Ие остается постоянной во всех его точках.
В общем виде теорема Крокко записывается так: Тйгай8 +» зс го1и = йгадИо+ г ~(736) аи причем эта запись годится и для нестацнонарных течений. 7.10. Связь завихреииости с циркуляцией и ротором Рассмотрим функцию Г, определяемую для любого поля скоростей следующим выражением: Г= — ~и.и'1=кийко (7.37) С о Метод построения этого интеграла иллюстрируется на фиг. 87,а. 8 Ф и г. 87, Вычисление циркуляции. а — дарантерамй алемеят данны н скорость на понтере С;  — подраеделенне контура С на ячейнн меньшего раамера; е — алемеатарнме ячейки для амраження циркуляции по нонтуру е еотеетееннмл ноордннатад; е — але- меатарнел ячейка и Форме круга ао вращательном потопе жндноогн.
Элемент длины й1, отсчитываемый вдоль произвольной кривой С, умножается на составляющую скорости, направленную по каса- Гл. 7. Уравнения двигяения невязкого газа 236 тельной к этой кривой. Функция Г получается путем суммирования этих элементарных скалярных произведений, и Л, по замкнутому контуру С и называется циркуляцией по этому контуру. Знак циркуляции связан с выбором определенного направления; можно, например, считать ее положительной при направлении обхода по часовой стрелке. Таким же методом мы можем рассчитать циркуляцию по контуру любой из ячеек, показанных на фиг. 87,б. Типовую величину такой циркуляции назовем ЛГь Сумма этих величин по всем ячейкам, охватываемым контуром С, равна циркуляции по конуру С ' (7.38) Г= ~ЛГь так как на общих границах примыкающих друг к другу ячеек значения слагаемых циркуляций взаимно уничтожаются и остаются только значения, соответствующие контуру С.
Если выбрать ячейки такими, чтобы их границы проходили по линиям тока и нормалям, как это показано на фиг. 87,в, то величина ееГ будет выражаться в таком виде: е)Г=.. — (пе)з)+(и+ о„лп)(А + э ее ~, где слагаемые, соответствующие направлениям вдоль нормалей, равны нулю. Как можно видеть из фиг. 86, дЛз/ал = — Лз/И, так что вышеприведенное выражение можно записать в следующей форме: Разделив это выражение на элемент площади егА = ЛзЛп, получим — Иш — = — — — = — ~.
ИГ . аГ Эи и (7.39) 4А ля~о АА Еи Я с А Равенство (7.40) определяет связь между циркуляцией по контуру каждой ячейки и завихренностью жидкости внутри ячейки. Наконец, завихренность связана с наличием угловой скорости, или „спина", жидкости. Для того чтобы показать это, рассмотрим Теперь, если пренебречь членом более высокого порядка по отношению к Ал, то равенство (7.38) можно переписать в таком виде: Г = )Г = — ~(ЛА, т.е.
Г= ~ и йв = — ~ ~ (; йА. ~ (7.40) Заметим, что наличие у элемента жидкости поступательной скорости нйкак не влияет на величину криволинейного интеграла. Таким образом, существует следующая взаимозависимость между завихренностью жидкости и угловой скоростью частицы: с = йш — = 2т.
ЛГ зз- о ~4 Течение при взвихренности, отличной от нуля, называется вихревым; течение, при котором завихренность повсюду равна нулю, называется безвихревым. Мы рассматривали пока что только двумерное течение, при котором угловая скорость (и завихренность) имеет лишь одйу составляющую, перпендикулярную плоскости течения. В общем случае завихренность имеет три составляющие, связанные с составляющими угловой скорости посредством соотношений вида = 2со,.
(7.41) Теорема Стокса приводит в этом случае к следующему результату: ~» М=~ ~го1м ° йА где А — любая поверхность, ограниченная контуром С, а вектор го1 а имеет следующие составляющие: ди, ди, дх, дхв аи, аи, ~ = — — — > ах, ах, ди, ди, дх, дх, (7.42) Течение является безвихревым только при условии, что все три составляющие завихренности равны нулю, т. е. при условии го1 и = О. Иногда удобно использовать для представления завихренности тензорное обозначение ,. аиг аи; гг = — — — = 2из. дх; элементарную ячейку в форме круга (фиг. 87,г) и подсчитаем циркуляцию по ее контуру.
Если частица жидкости вращается с угловой скоростью со (этот символ соответствует местному значению угловой скорости для элементарной круговой площадки), то циркуляция равна АГ = ( — сонг) (2зсЛг) = — 2тАА. 238 Гл. 7. Уравнения двихввяия невявхого авва Фактически завихренность (и ротор) представляет собой не вектор, а тензор второго ранга. Однако, как видно из вышеприведенного соотношения, это — тензор особого рода, имеющий лишь три независимых составляющих. Очевидно, что те три составляющие, для которых оба индекса одинаковы, равны нулю, а из остальных шести составляющих независимыми являются только три, так как с1в = — ь„и т. д.
Такой тензор называют псевдовектором; Для нас представляет интерес также понятие о тензорном градиенте Ои;(Охь содержащем все первые производные составляющих скорости. Этот градиент формально можно разложить на две части: — в= — ( — '+ О ) + — ( — ' — — )~ = еи — вои. (7.43) ди; ! Ои; Ои. 1 ди; Ои! „Симметричная*' часть этого тензора в;,:, называемая тензором скоростей деформации, служит критерием скорости деформации жидкости.
Этот тензор связан с вязкими напряжениями и его свойства будут разбираться в гл. 13. Антисимметричная часть еоч представляет собой ротор. 7.11. Потенциал скорости Если завихренность равна нулю, т. е. если Ох; дхв Ф следующим то скорость связана с некоторой функцией соотношением: и; =- †. = агад Ф, ОФ ох; р (7.44) справедливость которого легко проверить; действительно, Ои, Ои; ОЧа ОЧО дх! ох; Ох! Ох! Охв Ох! Ф = (7х,. Функция Ф называется потенциалом скорости, и, как следствие этого, безвихревое течение называетея потенциальным течением.
В следующем пункте мы увидим, насколько целесообразно ввести функцию Ф в уравнения движения. Простым примером потенциала скорости служит потенциал однородного течения в направлении оси х„ 239 7.72. Беееихревое течение Скорости определяются из соотношений дФ дФ дФ и = — „=и и = — х=О и =- —,=О. дх, ' е дх, ' ' эх, Течение может быть нестационарным [У = У(1)), поэтому в общем случае Ф = Ф(хо 1). 7.12. Безвихревое течение — + д„(ди,) = О, (7.45) уравнение неразрывности уравнение количества движения 9 — + зи; —.' = — — (7.46) дае дия др дЕ ~ дх~ дхе соотношение изэнтропичности Р 7Е'т (7.47) Ра еч Вместо уравнения энергии мы имеем в данном случае более простое уравнение — соотношение изэнтропичности (7.47).
Оно было записано применительно к совершенному газу; более общая форма,:если таковая потребуется, выражается просто в виде равенства Я = сопз1. Приведенная система уравнений есть основная система для определения пяти неизвестных: р, д, ие (( = 1, 2, 3). Эти уравнения могут подвергаться различным преобразованиям, причем часто оказывается удобным использовать вспомогательные уравнения, вытекающие из упомянутых выше условий.
Вот некоторые из них: ди» д . условие отсутствия вихрей ††-„ — 1- = О, дх; дхе или эквивалентное ему условие существования потенциала скорости и; = — „(7.49) дФ дхе Часто оказывается удобным использовать уравнение энергии и1 + и1 + и1 + 7е д г (7.50) Ббльшая часть материала последующих глав будет посвящена адиабатическим безвихревым течениям. Согласно теореме Крокко, такие течения являются изэнтропическими. Весьма полезно выписать и проанализировать уравнения, служащие для описания этих течений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
