Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 45
Текст из файла (страница 45)
8.7. Теория сверхзвукового обтекания тонкого профиля 2б9 Возмущения распространяются только вдоль линий Маха, наклоненных вниз по потоку, а поэтому для верхней поверх- ности нам понадобится только функция 1, а для нижней — только функция д. Таким образом, со(х„хе) = 1(х, — Лх,), х, ) О, р(ХпХе) = д(Х, + ЛХе), Х,( О. На верхней поверхности должно выполняться следующее Ф и г. 91. Сверхзвуковое обтекание тонкого профиля. граничное условие: (7( — ) =п,(х,о)=( — ) = — Л1(х,), из которого получается, что Аналогичным путем для нижней поверхности получим д'(х,) = — ( — „') . Далее, величина коэффициента давления на поверхности определяется из соотношения — — 1'(х,)(верхняяповерхность), 2, — — д'(х,)(нижняя поверхность).
2 С„= — г( — "') = — 2 (,'~ ) 17' — ао Гл. е. Теория малых вовмраехиий ззо Следовательно, г ~лх,1 Ума — 1 ~их,7и' (8.37) Этот результат совпадает с тем, что мы получили в п. 4.17, где давление на поверхности тонкого профиля вычислялось по приближенному методу „скачок — расширение'*. По существу применение линеаризированной теории к расчету возмущений скорости и давления на поверхности эквивалентно использованию рассмотренных в гл. 4 приближенных методов „слабого скачка*'. Остальные подробности расчета подъемной силы и сопротивления тонких профилей будут теми же, какие уже приводились в п. 4.17 и в предыдущем пункте.
Следует отметить, что как в этих примерах, так и в примере со сверхзвуковым обтеканием волнистой стенки коэффициент давления на поверхности связан с местным углом наклона этой поверхности д(х) соотношением (8.38) С у~ мв Это основное соотношение для расчета линеаризированного двумерного сверхзвукового течения. При дозвуковом течении входящая в это соотношение константа не равна 2, а зависит от геометрических особенностей данной поверхности и от расположения рассматриваемой точки по отношению к другим точкам границы.
8.8. Кввзидвумерные течения Трехмерные тела, подобные крылу, называются квазидвумерными системами. Налагаемые на них условия состоят в том, чтобы один размер (в направлении оси х, перпендикулярной „плоскости крыла") был мал по сравнению с другими размерами (х, — в направлении размаха, х, — в направлении потока), чтобы все углы наклона поверхности к направлению свободного потока также были малыми и чтобы система располагалась „вблизи" плоскости х, = О. Прн рассмотрении квазидвумерной системы следует применять уравнение трехмерного движения 1(8.7) или (8.8)), но граничные условия и выражение для коэффициента давления аналогичны тому, что имеет место в случае двумерного течения.
Так, если поверхйость тела определяется уравнением х, =7(хых,), вЛ. Квавидвумерные влечения 261 (8.39) то для сверхзвукового течения мы имеем <М вЂ” 11 — „— — — — = О а~ ат вд ах1 61 61 ( 1 зт 1 айх„х,1 зх,(,-а = ах, Эти соотношения составляют основу теории крыла в сверхзвуковом установившемся потоке. Более общая формулировка поставленной задачи дается в п. 9.19. Для того чтобы включить в эту книгу подробное изложение упомянутой теории и ее приложений, потребовалось бы слишком много места. Очень краткий анализ одного примера был дан в п.
4.18. Глава 9 ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. ТЕОРИЯ ТОНКОГО ТЕЛА 9.1. Введение Задачи о течениях с малыми возмущениями подразделяются на следующие классы (фиг. 92). а. Двумерное течение. Этот вид течения, при котором условия оказываются идентичными во всех плоскостях, параллельных плоскости х-з, был изучен в предыдущей главе. т а. Деумернае течение О. Квазидвумерная система т в, Удлиненное тела г. Случай интерференции Фиг. 92.
Различные виды задач о линеаризированны- сверхзвуковых течениях. При решении многих конкретных задач о сверхзвуковом течении оказывается, что полученные результаты непосредственно применимы к отдельным частям крыльев, около которых поток можно считать двумерным; это свойство, показано в п. 4.18. О.З. Цилиндрические координасин 263 б. с(вазидвулсерная систелса. Поверхность может иметь любую форму в плане, но углы ее наклона (к плоскости х-у) везде достаточно малы для того, чтобы были малыми скорости возмущения. Кроме того, все части поверхности располагаются достаточно близко к „плоскости крыла" (г = 0), так что граничные условия могут сноситься с действительной поверхности на эту плоскость. Двумерное течение является частным случаем квазидвумерного течения. в.
Удлиненное тело. Тело вытянуто в направлении оси х. Углы наклона поверхности (к направлению свободного потока) везде малы. Частным случаем такого тела является тонкое тело, которое вытянуто настолько сильно, что граничные условия (записанные в специальной форме) могут быть заданы непосредственно на оси.
г. Случай интерференции. Сочетание простых систем (квази- двумерных, удлиненных или тех и других вместе) приводит к образованию более сложных конфигураций. Применять для их исследования простое наложение результатов, имеющихся для каждой системы в отдельности, недопустимо, так как вследствие интерференции соответствующих полей течения приходится несколько видоизменять результаты, добиваясь за счет этого выполнения граничных условий. В данной главе мы рассмотрим задачу об обтекании удлиненных тел, главным образом тел вращения.
Как и в случае двумерного потока, основное уравнение является здесь линейным, однако геометрические особенности приводят к возникновению некоторых новых проблем и к результатам, не объяснимым с точки зрения двумерной теории. 9.2. Цилиндрические координаты Рассматривая удлиненные тела и, в частности, тела вращения, удобно пользоваться цилиндрической системой координат х, г, О, ось которой совпадает с осью данного тела (фиг. 93).
Угловая координата 0 определяет положение меридиональной плоскости х-г по отношению к какой-либо другой (например, к плоскости х-г), которую удобно принять за начало отсчета. Координатам х, е и 0 соответствуют составляющие скорости и„о и ж. Их можно выразить через производные функции Ф (потенциала скоростей) следующим образом: аэ - аэ ~ ав и = сс'+и= — „> и= — ис= — —. + а» ае ао ' Уравнение для потенциала в цилиндрических координатах могло бы быть получено из соответствующего уравнения в декартовых координатах (уравнение (8.9а)1 путем непосредственного 264 Гл. Р. Тела вращения.
Теория тонкого тела преобразования координат. Будет поучительно, однако, провести этот вывод более простым способом, начиная с формулировки уравнения неразрывности в цилине дрических координатах. На фиг. 94 изображены элементы объема, соответствующие декартовым и цилиндрическим координатам. Уравнение неразрывности для установившегося течения констатирует, что разность между массой жидкости, втекающей в этот объем, и массой, вытекающей из него, равна нулю.
На фиг. 94 указай поток массы только через одну из граней каждого элемента. Суммируя зто и аналогичные ему выражения по всем граням с учетом знаков, пояучим Фиг. 9з. цил~ндрические для элемента объема в декартовых координаты. координатах — „(Ои, ЛХе АХо) АХ, + д„(дгге г)Хе .ВХ,) г)Х, + д д + д (диа Ах, Ахе) Ахе = О, д оке рагблгблгод~. (гигВхглхо)Вял риВхгВВе ал-(ргуВхгВВ)Вг в а л г Облом=бх,бхевх Обеем ВХВу.гВВ Фиг. 94.
Элементы объема в декартовых и цилиндри- ческих координатах. а для элемента объема в цилиндрических координатах дх (йпдг1гг тд) Ах+ д (ОогАВАх) Аг+ ~ (йигАхЛг) АО = О. 9.2. Цилиндрические координаты 265 Если записать каждое из этих соотношений применительно к единичному объему, то получатся следующие варианты уравнения неразрывности: (еих) + ах (еи~) + ах (еио)= О а а а а (еп1)+ а (еиг)+ —, ~ (еи) = О.
(9эб) а 1 а а Эти уравнения нужно скомбинировать с уравнением Бернулли, имеющим аналогичную форму в обеих координатных системах: е(и,йи, + и,йи, + и,йп,) = — йр = — а'йЕ, (9.2а) е(и, г/и, + и йи + в Ию) = — йр = — а'йЕ. (9.2б) Наиболее существенный этап вывода связан с использованием уравнения Бернулли для преобразования производных от е, входящих во все члены уравнения неразрывности. Типичный член преобразуется так: ах (епх) = е а» +и ах а аи, ае аи, е г аи, аи, аи,~ = е — — и — ~и — +и — '+и — / ° ах, 'а~(»ах, оах, »ах,!' После сложения с остальными двумя членами, применения введенной в гл.
8 гипотезы о малости возмущений и отбрасывания членов, имеющих порядок малости выше первого, получается уравнение для потенциала в декартовых координатах (1 — м,.) — „+ — + — = о. ат а„а*д ах"; ах, 'ах', Единственное отличие этой процедуры в случае цилиндрических координат обусловлено видом второго члена уравнения неразрывности — --(е ) = — (еи)+— а а ДЮ г 'аг =аг г По сравнению с уравнением в декартовых координатах здесь имеется добавочный член Ео/г. Несмотря на то, что и является скоростью возмущения, пренебрегать указанным членом в уравнении первого порядка нельзя, так как величина г может также быть очень малой.
Этот член порождает добавочный член % = = (1/г) (ар/аг) в линеаризированном уравнении для потенциала . скоростей возмущения: Гл. 9. Тела вращения. Теория тонкого тела 9.3. Граничные условия В случае двумерного течения граничное условие равенства угла наклона поверхности и угла наклона линии тока имеет следующий вид: (,) Вх, ) ( ие ') и,(0) и,(0) Их /тело ~ Ы + и!~~о (У+ и(0) (l Отношение, стоящее. здесь вторым, соответствует точному условию, тогда как третье отношение выражает уже приближенное условие, применяемое на оси. Последнее отношение соответствует дальнейшему упрощению, при котором точность результатов остается обычно в тех же пределах, что и на предыдущем этапе.
Если рассматривается тело. вращения, ось которого совпадает с осью цилиндрической системы координат, то составляющая скорости н автоматически оказывается направленной по касательной к поверхности. Необходимо принять во внимание лишь граничное условие для меридиональной плоскости, в которой контур тела определяется уравнением г = ег(х). Это граничное условие в точной формулировке имеет такой вид: Й =(,.",.).. (9.4) Однако применять такое же упрощение, как в двумерном случае, здесь уже нельзя.
Причину этого легко уяснить с помощью следующего примера. На фиг. 95,а изображается контур продольного сечения двумерного тела или тела вращения. На фиг. 95,б дается схема распределения поперечных скоростей в поперечных сечениях тела для обоих случаев. На фиг. 95,в показано распределение скорости в окрестности линии х, = О или точки г = О того поля течения, которым предлагается аппроксимировать истинное поле„ соответствующее фнг. 95,б (аппроксимирующее поле можно получить путем распределения источников вдоль х, = О или г = О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
