Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Этот пример фактически устанавливает эквивалентность использованного в предыдущих пунктах метода переноса показанному в данном пункте методу применения понятия о поле. Во всех случаях, когда в уравнении наряду с экстенсивной величиной, например с количеством движения единичного объема,еиь фигурирует также интенсивная величина, например скорость иь оказывается возможным „вычесть" уравнение неразрывности по аналогии с тем, что было сделано в выражении (7.20).
В следующем пункте мы применим это правило к уравнению энергии. Гя. 7. Уравнения движения невязквгв газа 230 С целью приведения этого уравнения к более обычной форме заметим, что в силу уравнения неразрывности так что Энтропия может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от того, сообщается ли жидкости тепло или отнимается от нее. Если приток тепла отсутствует, т.е. о = О, то изменения состояния частицы жидкости будут изэнтропичеекимие ВЯ вЂ” = О. ей ~ (7.24а) Как мы увидим в гл.
13, воздействие трения и теплопроводности приводит к превращению уравнения (7.23), соответствующего термическому равновесию, в уравнение, описывающее неравновесный процесс и имеющее в своей правой части диссипативные члены; эти члены всегда являются положительными и входят в правую часть уравнения (7.24) как члены, обусловливающие прирост энтропии. Следует отметить, что все эти уравнения написаны для частицы жидкости. Например, результат, выражающий постоянство энтропии [уравнение (7.24а)), относится только к частице; нз него не следует, что энтропия должна быть одной и той же во всех точках '1 См.
примечание на стр. 233. ен' + р ел ~е) (7.23) Таким образом, мы разбили уравнение энергии (7.21) на два уравнения: (7.22) и(7.23). Как видно из уравнения (7.22), кинетическая энергия может переходить в работу сил давления и массовых сил и обратно, что обычно и имеет место в „консервативных" системах; уравнение же (7.23) просто выражает собой первое начало термодинамики для системы, находящейся в равновесии. То обстоятельство, что последнее уравнение записывается, как уравнение для скоростей изменения параметров, отнюдь не противоречит понятию о равновесии. Это уравнение утверждает лишь, что система (представляющая собой частицу жидкости) проходит при своем движении только через состояния равновесия; этого и следовало ожидать при отсутствии диссипативных процессов.
Уравнение (7.23) можно использовать также для подсчета скорости изменения энтропии') частицы жидкости; обращаясь к уравнению (1.44а), получаем (7.24) 7.е. Полная анпигльпия потока. Упомянутый результат легко распространить на установившиеся течения: действительно, в этом случае траектории частиц совпадают с линиями тока, поэтому энтропия должна оставаться постоянной вдоль каждой лйнии тока. Она можетбытьразличной на различных линиях тока, и в п.
7.9 мы займемся исследованием вопроса о характере этого вида изменения энтропии. 7.8. Полная энтальпия Как было показано в гл. 2, при установившемся адиабатическом течении величина И, =И+ '),и', полная энтальпия, имеет одно и то же значение во всех точках линии тока, где сохраняется равновесие. Чтобы показать в явной форме, как эта величина связана с другими параметрами при данных здесь более общих выкладках, вернемся к уравнению энергии (7.21) и перепишем член, содержащий давление, в такой форме: а ар в гр1. — — „, (Рие) = — -9 — ~-,); аяг ' = а1 И [е)1 проверка справедливости этого преобразования может быть сделана с помощью уравнения неразрывности. Уравнение (7.21) после подстановки в него полученного выше выражения и деления всех членов на Е принимает следующий вид: б+1'пг+ е аг =771 (е)+ и + и (г и)' Если ввести в это уравнение энтальпию И = е + р)Е, то результат окажется таким: ВГ 1 1 1ар — ~И+ — и') = 9+1 + —,— П1'1 г ) '' е 81' Как видно из этого уравнения, величина Й + ')еиа (в случае совершенного газа равная величине соТ + '1, иа) может изменяться за счет притока тепла, за счет работы объемных сил или за счет нестационарных нзменейий давления.
При отсутствии притока тепла извне (см. п. 7.5) первый член равен нулю. В силу характера аэродинамических задач объемные силы в большинстве случаев также оказываются равными нулю. Последний член, однако, играет важную роль во многих задачах о нестационарйом движении. Например, большие перепады температур, наблюдаемые в трубе Хилша и при образовании вихрей за тупойосыми телами в потоке сжимаемой жидкости, связаны с наличием этого нестационарного члена'). ') См. работу Рпапа [Гт уап 1.. Р., Мц1. 1пе1. Аегобупагпрп, № 18, гапев, 1984]. Гл. 7. Уравнения двианеная невявквга гага 232 При установившемся адиабатическом течении в отсутствии объемных сил обращаются в нуль все три члена в правой части уравнения (7.25), и получается, что 1 й + — и' = сопз1 = Йв 2 (7.26) длл частицы жидкости. Траектории частиц при установившемся течении совпадают с линиями тока,так что уравнение (7.26) справедливо также и для.
каждой лийии тока. Этот результат был получен нами в гл. 2. Константа может быть различной для различных линий тока; так будет, например, в том случае, когда линии тока берут начало в различных сосудах. 7.9. Естественные координаты. Теорема Крокко В двух предыдущих пунктах было показано, что энтропия и полная энтальпия остаются постоянными вдоль линий тока установившегося течения, если только это течение происходит адиабатически, без трения и теплопередачи. Теперь нам нужно исследовать, Ф и г. 86.
Естественные координаты. как изменяются энтропия и полное теплосодержание при переходе от одной линии тока к другой. При этом весьма уместно ввести так называемую гстгствгнную систему координаеп, в которой одна координата отсчитывается вдоль линии тока, а две другие — вдоль нормалей к этой линии. Как показано на фиг. 86, эти координаты представляют собой сетку, составленную из линий тока и нормалей к ним. Для наших целей достаточно будет рассмотреть проиллюст- 7.р.
Естественные координата. Теорема Крокко 233 рированный этой фигурой случай двумерного »1еченил; в общем случае к показанной здесь сетке добавилась бы еще группа сеток, располо- женных перпендикулярно данной. В этой системе координат з отсчитывается вдоль линии тока, в направлении, указываемом вектором скорости, а и отсчитывается вдоль нормали к 3. Для обозначения скорости указываются ее ве- личина и и направление б. Таким образом, (п,д) есть функция от (з,п). Принятые нами координаты являются криволинейными, поэтому нельзя непосредственно использовать уравнения, вйведенные нами для декартовой системы координат. Однако выписать урав- нения движения все же нетрудно, так как большая часть резуль- татов изложенной в гл.
2 теории одномерного течения в трубе может быть применена к трубке тока, образуемой двумя линиями тока, положение которых определяется значениями и и и+ Ап. Отличие от случая одномерного движения состоит в том, что теперь следует подсчитать баланс количества движения не тольковнаправ- лении течения, но и по нормали к нему. Уравнения для усгпано- вившегося течения получаются следующими: уравнение неразрывности. ри Ап = сопз1, ~ (7.27) уравнение количества движения в направлении 3 Еп — = — — ~ (7.28) ди эр ав = ав уравнение количества движения в направлении и р» = — —" =риз —, ~ (7.29) ~Т= а»= эв интеграл энергии 11 + — и' = й,. ~ (7.80) 1 Площадь трубки тока, входящая в уравнение (7.27), при единич- ной ширине этой трубки равна Ап (сравнить с уравнением (2.2)1.
Уравнение (7.28) определяет баланс между ускорением и гради- ентом давления в проекции на линию тока, тогда как уравне- ние(7.29) определяет тот же баланс в проекции на нормаль. В пос- леднем случае ускорение зависит от кривизны линии тока, рав- ной 1/)т или дб/дз. Величина лов уравнении энергии постоянна вдоль каждой линии тока, но может изменяться при переходе от одной линии тока к другой. Энтропия' ) связана с другими термодинамическими параметра- ми соотношением 7'е18 = ей — — йр. е ') В этой главе для обозначения удельной энтропии будет использоваться прописная буква 3 (сравннть с и.
1.3), что обусловлено необходимостью отличать этот символ от обозначения координаты в, отсчитываемой вдоль линии тока. 234 Гя. 7. Уравнения движения невязяого газа Если, используя уравнение энергии, заменить йИ величиной йло— — ийй, то можно установить связь энтропии со скоростью. В результате получим Тй$ = — (ийи+ — 'йр) + ав, (7.3~) Из этого дифференциального соотношения между параметрами течения выводятся, как следствие, выражения, определяющие изменение энтропии вдоль линий тока и вдоль нормалей к ним: 08 / дл 1 др1 Т вЂ” = — ~и — + — — ) аз 1 аз О ав 1 ' ад С аи 1 ар 1 д», Т вЂ” = — (и — + — )+— дл 1 дл В дл) Фл (аде/дз Равно нУлю, так как величина ло постоЯнна вдоль линий тока).
После этого члены, зависящие от градиента давлений, выражаются в соответствии с уравнениями количества движения (7.28) и (7.29), что приводит к таким результатам: ад Т вЂ” =О ав ~ (7.32) ~ (7.33) Величина а ал ав ая с'= — — = и — —— й дл дв дл (7.34) определяет завихренность течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
