Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Направление х, или х обычно будет совпадать с направлением невозмущенного течения; при решении двумерных задач в качестве координаты, направленной перпендикулярно основному потоку, принято брать у, а имея дело с задачами, в которых фигурируют тела, подобные крылу (кваэидвумерные), полагают обычно, что координата з отсчитывается в направлении перпендикуляра к плоскости крыла, а координата у — вдоль его размаха. Гл. 3, Теории малих возмущений возмущения: из( — + — + — з) = (и+и)з — +и + !из + еди д де~ ди д ди (дх, дх, дх,) дх, дх, дх, + ((7+ ") "~ дх + дх ) + ию(а~ + д» )+ !и((7+") (~~ + д ) ' (8.3а) Зависимость величины а' от скоростей возмущения может быть выражена с помощью уравнения энергии (7.50а) для совершенного газа (С! + и)з + оз + ил аз С!з аз 2 у — 1 2 у — 1 или и' = а' — у (2иу + и' -)- оз -)- !уз).
(8.4) После подстановки этого выражения в уравнение (8.3а), деления всех членов на а' и их перестановки мы получим следующий результат; (1 — М )* — + + — = ди до дди дх, дх, дхв дхз Это полное уравнение, которому должны удовлетворять скорости возмущения. Оно остается'пока что точным.
В его левой части стоят линейные члены, но члены, стоящие в правой части, являются нелинейными, так как содержат произведения скоростей возмущения и их производных. Если скорости возмущения малы в соответствии с неравенствами (8.2), то становится возможным пренебречь многими членами, тем самым упрощая уравнение. Например, во всех коэффициентах при производных в правой части содержатся скорости возмущения. В качестве первого шага мы можем пренебречь членами, содержащими квадраты скоростей возмущения, считая их малыми по сравнению с членами, содержащими первые степени.
8.2. Вывод уравнений воомущенного движения Таким путем мы получаем более простое уравнение: (1 — М) — + + — = ди до дн дх, дх, дх, 1 в 3 Возможно и еще более значительное упрощение, так как мы можем пренебречь всеми членами правой части, учитывая, что они малы по сравнению с членами, стоящими слева и не содержащими скоростей возмущения. В результате такого упрощения получается линейное уравнение ~ (8.7) Однако к оценке членов следует подходить несколько более осторожно. Например, при околозвуковом течении, когда М вЂ” 1, коэффициент у члена ди)дх, в левой части становится очень малым, так что уже нельзя пренебрегать первым членом в правой части уравнения (8.б).
Однако условие М вЂ” 1 не влияет на члены ди/дхв и дв1дх„так что другими членами правой части можно пренебречь. Таким путем мы приходим к уравнению малых возмущений, справедливому для дозвукового, околозвуко- вого и сверхзвукового гпечения, (1 М-) дх + а„, + дх ™ (У+ 1)гг ах ' ~(88) аи д ан и аи 1 Другой случай необходимости сохранения некоторых членов правой части возникает при очень больших числах М, так как если даже скорости возмущения и будут при этом малы, то может оказаться, что произведениями этих скоростей на М' пренебрегать нельзя.
Это случай гилерзвукового течения, к кото- рому мы вернемся в п. 10.7. Уравнение (8.3), послужившее основой для вывода других уравнений, описывает течение жидкости без трения. Сделаем дополнительное предположение о том, что это течение безвихревое, так что существует потенциал скоростей возмущения во, определяе- мый следующими равенствами: ц= — э е1= — з еу= — ° ам аы а$О дх, ах, ах,' 1Если учесть ту степень точности, которую дают уравнения (8.7) и (8.8), то ясно, что это предположение фактически не явля- ется дополнительным, так как изменениями давления тормо- жения при переходе от одной линии тока к другой можно прене- Гя.
8. Теория маяих возмущений (1 — М ) — + — + — =О. два два двт "дй д~ д, ~ (8.9б) При исследовании околозвукового течения нужно применять уравнение (8.9а); за пределами диапазона околозвуковых скоростей, рассматривая дозвуковое или сверхзвуковое течение, можно пользоваться уравнением (8.96). Последнее уравнение — линейное, и иметь с ним дело гораздо проще, так что можно получить его решение в весьма общем виде. В принципе можно решить любую задачу, например задачу об обтекании крыла произвольной формы. Что касается околозвукового диапазона, то для него существует лишь несколько частных решений, не поддающихся обобщению вследствие нелинейности решаемого уравнения.
В данной главе и следующеИ за ней мы будем иметь дело главным образом с линейным уравнением (8.9б). Мы вернемся к уравнению (8.9а) в гл. 10, где увидим, что оно составляет основу для формулировки правил подобия при дозвуковом, околозвуковом и сверхзвуковом течениях. 8.3. Коэффициент давления Для определения коэффициента давления служит формула ф—, в/, о ув уыв Если воспользоваться тем представлением этого коэффициента, которое дает формула (2АОб), то можно выразить его зависимость от скоростей возмущения: Выражение, стоящее в квадратных скобках, можно разложить по формуле бинома, после чего для коэффициента давления полу- бречь, получая в результате ошибку не больше тех, которые возникают за счет других допущениИ.
Например, со степенью точности, даваемой этими уравнениями, изменения энтропии при переходе через ударные волны можно считать пренебрежимо малыми.) . После введения потенциала скорости уравнения (8.8) и (8.7) принимают такой вид: Ке. Граничные уеяаеия 249 чим выражение гзи+( ) Ф + ее+ха~ (8. ! 1) где отброшены слагаемые, содержащие скорости возмущения в третьей и более высоких степенях. Рассматривая двумерные и квазидвумерные течения, можно, не выходя за пределы применимости выведенных в предыдущем пункте приближенных уравнений возмущенного движения, сохранить в формуле (8.1!) один лишь первый член и пользоваться выражением 2и С а — и' ~ (8.12) ~ (8.13) Приближенное выражение, пригодное при больших числах Маха, соответствующих гиперзвуковым скоростям, будет дано в гл. 1О !формула (10.40)).
8.4. Граничные условия У поверхности тела течение должно быть направлено по касательной к этой поверхности. Иначе говоря, вектор скорости должен составлять прямой угол с нормалью к твердой поверхности. Допустим, что поверхность тела описывается уравнением вида /(хих„ха) = О, (8.14) и обозначим вектор скорости через и. Тогда граничное условие может быть представлено в форме соотношения н. дгаб/= О, (8.15) поскольку йгаб у всегда направлен перпендикулярно поверхности ! = О, а обращение в нуль скалярного произведения выражает условие и Л дга41.
В обозначениях, свойственных ортогональным тензорам, соотношение (8.15) записывается в виде ие — =О, д! ' ахе или, если ввести в него скорости возмущения, в виде ((! + и) — + и — + и — = О. а! а! а! ах, ах, ах, (8.16) При рассмотрении же обтекания осесимметричных или вытянутых тел необходимо сохранить также и третий член, так что соответствующее приближенное выражение оказывается таким: 2и иФ+ ие С =— и и ич Гл. 8. Теория малых возмущений 250 Величину и, входящую в первое слагаемое, можно считать прене- брежимо малой по сравнению с У, что позволяет получить условие У вЂ” + и — +н' — =О, д/ д/ д/ (8.17) д, ' дх, д, которое должно выполняться на поверхности тела.
Чтобы сделать более понятным следующий шаг, рассмотрим случай двумерного течения, когда гр = 0 и д//дх, = О. тогда условие (8.17) принимает форму и д//дх, йхе 1 Сг д//эх, йх, причем йхз/йх, — наклон поверхности тела, а отношение и/У приближенно соответствует наклону линии тока. Следовательно, соотношение (8.18) констатирует, что мы должны определить поле скоростей так, чтобы, вводя в выражение и(х„хз) координаты не- которой точки тела, получить значение и, равное наклону поверх- ности тела в этой точке, умноженному на У. Учтем, что для выполнения наших предположений о мало- сти возмущений тело должно быть тонким.
Поэтому ордината х„ соответствующая поверхности тела, мало отличается от нуля (это утверждение впоследствии будет сформулировано более точ- но), и мы можем попытаться еще более упростить условие (8.18), разложив функцию и(х„х,) по степеням х,. Это означает, что она будет представлена в виде г до 1 и(х„х,) = и(хы 0) + 1 — х / х, +....
Оставаясь в рамках теории малых возмущений, можно пренебречь всеми членами ряда (8.19), кроме первого, и сформулировать гра- ничное условие так: и(х„О) = Уф~ 1Ь (8.20) В случае двумерного течения всегда можно осуществить пере- ход от условия (8.18) к условию (8.20). Что касается трехмерных течений, то соответствующий переход возможен лишь для так на- зываемых „квазидвумерных'* систем, т.е. для конфигураций, располагающихся преимущественно в одной плоскости наподобие трехмерных крыльев и аналогичных им конфигураций' ). В случае хзазидвумерной системы д//дх, м 0 и граничное условие принимает такой вид: (8.19) и(хы О, х ) = У ( — „' ) е (8.20а) ') Поскольку в русской научной литературе для таких систем нет специального обгцепринятого названия, мы используем для их обозначения несколько необычный термин „квазидвумерные", который является аналогом термина р1апаг, употребляемого авторами.
— Прим. ред. 8.5. Двумерное авчение вдоль волнисаой саенки 251 Принято говорить так: „Граничное условие сносится на плоскость крыла". С другой стороны, для осесимметричных тонких тел переход от условия (8.18) к условию (8.20а) неосуществим, потому что в окрестности оси скорость возмущения в направлении, перпендикулярном к основному потоку, не может быть разложена в степенной ряд. Этот случай будет рассмотрен в гл.
9'). Необходимо, наконец, указать также и граничное условие на бесконечности„полагая, например, что скорости возмущения равны там нулю или по меньшей мере остаются конечными. Конкретное условие зависит от характера решаемой задачи. Ф и г. 89. Волнистая стенка. В случае дозвукового или сверхзвукового течения можно пользоваться линейным уравнением (8.9б). Если течение плоское, то зто уравнение записывается в виде зх) ох,' (8.22) ') Как показала практика, начинающему трудно уяснить отдельные этапы формулировки граничных условий и смысл соотношений (8.20) и (8.20а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
