Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 42
Текст из файла (страница 42)
При использовании декартовых координат упомянутые уравнения имеют следующий вид: Гя. 7. Уравнения движения невявкагв гага 240 или, в случае совершенного газа, ' + = 1 - = — — '+ — а*'. (7.50 ) 2 у — 1 у — 1 2 г — 1 Если вводятся те или иные из перечисленных вспомогательных уравнений, то они просто заменяют одно или несколько урав- нений из числа основных, написанных выше; сами вспомогатель- ные уравнения не являются независимыми. Чтобы дать пример возможного преобразования уравнений, рассмотрим уапанавившееся течение.
В уравнении количества движения член, содержащий давление, можно переписать в форме') (7.52) ') См. ип. 2.9 н З.З. а само уравнение количества движения можно преобразовать в скалярное уравнение путем умножения всех его членов на и;. Таким образом, получаем дие ие др а дв и,и! ' — — ' — — и, дх! е дхе е дх; Комбинируя это уравнение с уравнением неразрывности при установившемся течении, приходим к результату и,и; — '=а' — ~. ~ (7.51) ' ' дх, д я Будучи выписано в развернутом виде, это уравнение имеет такой вид: 1 й дх, г,дх, дх„ Величина а' выражается через составляющие скорости с помощью уравнения энергии (7.50). Если составляющие скорости в уравнении (7.51) заменить соответствующими производными потенциала, то это уравнение принимает следующую форму: 1 8Ф дФ деФ деФ ае 8хе Ох.
8хе 8х дх! дх Таким образом, первоначальную систему уравнений можно свести к одному дифференциальному уравнению для скалярной функции Ф. Если его решение найдено, то скорости вычисляются с помощью формул (7.49). 7Л2. Безеихреезе течение 241 Для несжимаемой жидкости, т. е. при а' — ао, уравнение (7.52) переходит в общеизвестное уравнение Лапласа: О = >7'Ф= О.
дх; Ох; Вывод всех уравнений дается здесь применительно к декартовым координатам. Уравнения движения в других системах координат могут быть составлены путем применения законов сохранения непосредственно к рассматриваемой системе или же можно получить их из приведенных здесь уравнений с помощью формального преобразования координат. Уравнения в естественной системе координат можно получить, пользуясь результатами п. 7.9. Имеем уравнение неразрывности аибп = сопз1, аи ар уравнение количества движения ли — = — —. де дз условие отсутствия вихрей — — и†= О. 'аи ОВ Ол дз (7.54) (7.53) Вместо уравнения количества движения в проекции на направление и мы написали условие отсутствия вихрей.
Из этих трех уравнений и соотношения иззнтропичности определяются переменные р, Е, и, О. Уравнение неразрывности может быть записано здесь в более удобной форме: аЕ 1 аи 1 аел — — + — — +— =О е дз и Оз лл Оз > или ОЕ 1 аи а — — + — — + — = О. е дз и дз Ол (7.55) ~ (7.5б) что соответствует уравнению (7.51) в декартовых координатах. 16 2043 Последний член можно получить на основании геометрических соображений с помощью фиг. 8б.
Возможны и некоторые другие преобразования данных урав- нений. Если исключить давление, как зто было сделано ранее, то уравнение количества движения принимает следующий вид: ди а* Ое и — = — — —. аз е аз ' Комбинируя зто уравнение с уравнением количества движе- ния (7.55), получаем в результате и* 1 1 аи аВ ~' — — 1) — — — — = О, <л )и а ал= 242 Гл. 7. Уравнения дьияьенил невяькьеь еаза (7.57) Уравнение (7.57) является линейным, так как зависимая переменная 7 входит в него только линейным образом; уравнение (7.58) является нелинейным, так как в него входит произведение / на производную от 7.
Иметь дело с линейным уравнением значительно проще по следующей причине: если мы найдем два решения, 7, и 7„удовлетворяющие уравнению (7.57), то третье решение можно построить путем простой суперпозиции: 74 =~, + 7, или = а1, + Ь|„поскольку 74 таклсе удовлетворяет данному дифференииальному уравнению. Метод суперпозиции не годится для нелинейного УРавнениЯ; 74 не УдовлетвоРЯет такомУ УРавнению из-за наличия „перекрестйых членов" типа Я87,/эх) и 7,(эЯдх). Метод построения решений путем сулерловииии составляет основу общей теории линейных дифференциальных уравнений; на нем базируются, например, методы рядов Фурье, интеграл Фурье, преобразование Лапласа и т. д.
Общей теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных пока что не существует. К несчастью, уравнения движения жидкости относятся именно к этому последнему классу, так как в них содержатся характерные нелинейные члены типа и,(эиддх„). Ввиду отсутствия общего метода решения остается использовать одну из следующих возможностей: 1) Можно получать решение численными методами. 2) Иногда можно найти такие преобразования переменных, которые сделают уравнения линейными, не нарушая их точности (пример такого преобразования дает упомянутый в п. 4.20 метод годографа). 3) Иногда можно найти линейные уравнения, которые с известной степенью точности аппраксимируют точные нелинейные уравнения.
7.13. Замечания о решении уравнений движения Чтобы решить уравнения движения, необходимо знать граничные условия, соответствующие конкретной задаче. Эти граничные условия будут рассматриваться в следующих главах. Здесь следует упомянуть только общее условие: скорость у твердой границы должна быть направлена по касательной к этой границе. Так как рассматривается поток без трения, то эта скорость не обязательно равна нулю. Затруднения при решении уравнений возникают в связи с тем, что эти уравнения нелинейны; для иллюстрации можно взять следующие простые примеры: ау ау х — + — =0 ах зу ~ — + — = О.
а( а1 эх зу (7.58) 7.13. Замечания в решении уравнений движения 243 На методе (3) базируется значительная часть аэродинамической теории. Это связано с тем, что'при помощи линеаризированных уравнений можно рассматривать обтекание самых различных конфигураций, если только их форма соответствует основным предпосылкам линеаризации.
Осуществляемые при линеаризации приближения могут полностью соответствовать той степени точности, которая требуется в экспериментальной или инженерной практике, или же той, которая обусловливается какими-либо другими ограничениями. Однако 'необходимо помнить как о наличии этих приближений, так и о диапазоне их применимости. Метод (1), использующий численные способы решения, обычно не дает результатов в такой форме, чтобы на их основании можно было указать общие тенденции и сформулировать общие правила; однако применение такого метода оказывается иногда необходимым при желании достичь степени точности более высокой, чем та, которая достигается с помощью линеаризированных (или уточненных линеаризированных) решений. Кроме того, этот метод позволяет получить те эталоны, с которыми можно сравнивать приближенные решения.
Примеры численных методов, основанных на использовании теории характеристик, приводятся в гл. 12. Некоторые задачи, как, например, задачи об околозвуковых течениях, являются существенно нелинейными, и линеаризация уравнейий при их решении лишает их какого бы то ни было смысла. Рассматривая такие задачи, очень трудно получить какие-либо общие результаты и правила.
Некоторые из методов, пригодных для решения подобных задач, разбираются в гл. 11 в связи с исследованием околозвуковых течений. Весьма плодотворный подход к решению нелинейных задач связан с использованием разбираемого в гл. 1О метода подобия. Глава 8 ТЕОРИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 8.1. Введение Во многих аэродинамических задачах большой интерес представляет определение возмущений, налагаемых на известное движение жидкости.
Наиболее обычный и ясный случай — это тот, при котором невозмущенный поток является однородным и установившимся (фиг. 88). Обозначим скорость этого однородного потока через У и выберем систему координат, в которой Ф и г. 88. Возмущение, создаваемое тонким телом в однородном потоке. а — однореднна ноток; б — вовнтщенвыа нотон. эта скорость направлена параллельно оси х,. Плотность, давление и температура при этом исходном движении также имеют постоянные значения и будут обозначены соответственно через и , р и Т .
Соответствующая скорость звука равна а , а число Маха равно 11/а = М . Поле скоростей исходного течения определяется равенствами и, = У, и„= О, и, = О. Предположим теперь, что в этот однородный поток помещается некоторое твердое тело, например крыловой профиль. Тело создает возмущения исходного течения и изменяет поле его скоростей; последнее в присутствии тела может быть определено .А.2. Вывод уравнений воомущенноео движения 245 следующими выражениями: ,=и+ и, и,=гг, "о = (8.1) Величины и, и и и называются составляющими „индуктивной" скорости, или скорости „возмущения".
Цель, поставленная .в данной главе, состоит в исследовании того случая, когда эти скорости возмущения малы в сравнении со средней скоростью 11. Мы сделаем предположение о том, что и о гв — э — ~ — «н 1 и и и (8.2) 8.2. Вывод уравнений возмущенного движения Уравнения установившегося движения жидкости без учета трения были приведены в п. 7.12 к следующей форме: аие аия иги,— ' = а' —. : аяг аяя (8.3) Если полностью выписать все члены этого уравнения и подставить выражения (8.1) для составляющих поля скоростей, то мы получим уравнение, которому должны удовлетворять скорости и упростим уравнения движения, пренебрегая малыми членами, возникающими за счет скоростей возмущения.
В результате мы сможем получить уравнения, хотя и не всегда линейные, но все же значительно более простые, чем полные уравнения. Эти упрощенные уравнения служат основой для построения наиболее обширных пока что разделов теории профиля, теории крыла, теории обтекания тонких тел, исследований по интерференции в аэродинамических трубах, теории околозвукового течения и т. д. Для обозначения осей координат мы будем пользоваться символами х„х„х, или х, у, з в зависимости от того, что мы сочтем более удобным при исследовании конкретной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
