Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 39
Текст из файла (страница 39)
После этого тем же путем, как и прежде, получается уравнение количества движения в дифференциальной форме: з, (Еи»)+ зя (Еи,и») = — эе .+И 1 (7.1З) Четыре члена, входящих в это уравнение, представляют собой соответственно нестационарную и конвективную скорости изменения количества движения в единичном объеме, общую силу давления, действующую на поверхность единичного объема, и наконец приходящуюся на единичный объем массовую силу.
Обе формы уравнения количества движения — интегральная и дифференциальная — имеют очень большое значение. Рассмотрение большей части задач, решаемых в данной книге, начинается с дифференциальных уравнений, однако имеется много случаев, когда применение уравнений в интегральной форме оказывается более целесообразным.
Один такой пример нам уже встречался— зто течение с переходом через скачок уплотнения. Применяя уравнение в интегральной форме, важно помнить, что „контрольная поверхность" А должна быть замкнутой. В качестве конкретного примера попытаемся получить выражения подъемной силы и сопротивления некоторого тела в зависимости от потока количества движения, проходящего через контрольную поверхность. Будем предполагать, что течение установившееся, а массовые силы отсутствуют; тогда уравнение количества движения принимает такой вид: — ~рп» йА = 1 (еи;) ияпя аА»). (7.14) А я На фиг.
84,а можно видеть трн составные части, из которых состоит поверхность А: А = А»+ Ае+ Ав. ») Индекс l» берется здесь в качестве фиктивного индекса. См. примечание 2 на стр. 219. 7.4. Уравнение количества движения 225 Здесь А, — площадь произвольной контрольной поверхности, А, — площадь поверхности тела и А, — площадь поверхности щели или выреза, превращающего А в простую замкнутую поверхность. Часть каждого из интегралов, определяемая площадью А„ равна нулю, так как и давления, и потоки количества движения с обеих сторон выреза' уничтожают друг друга.
Площадь А, также не влияет на интеграл, определяющий поток количества и, Фиг. 84. Применение теоремы о количестве движения. а — нонтроньная поверхность А = А, + А, + Аи в — случай двумерного течения Ю яь»УА и» Вт» — м Вя». движения, так как составляющая скорости, направленная по нор- мали к поверхности А„равна нулю. Следовательно, уравне- ние (7.14) преобразуется к такой форме: ) ( — рщ) с(А = ) (рит)иап„у(А + ) (рп;) у1А. А» А» А» Интеграл, стоящий в левой части, определяет собой ту силу, с ко- торой тело воздействует на поверхность жидкости А,.
Следова- тельно, если изменить знак, то мы получим выражение для силы, действующей на тело со стороны жидкости, т. е. ге = — 1 (оие) идпа с(А — ) (рпс) с(А. А» А» Если сопротивление Р и подъемная сила 7. определяются как составляющие силы го направленные соответственно вдоль осей х, и х, то получается, что Р = — ) (ри,) иап, ФА — 1 рпу с(А, А» А, ~ (7.1б) Ь = — ) (оит) иана дА — ) рп, с(А. А» А» В качестве примера можно взять двумерное течение, для которого подинтегральные выражения преобразуются в соответствии 15 исав 226 Гя. у. уравнения движения невязквгв газа с фиг.
84,б, а интегрирование ведется в направлении против часовой стрелки; при этом получим !! = — ~ ри,(и, Ихз — и, е(х,) — ~ р Их„ А1 А1 1. = — ( ри,(и, Нхз — и, Ихз) — ~ р Ихм А1 А1 Форма контрольной поверхности А, является произвольной; ее можно конкретизировать в виде йрямоугольной „коробки", или кругового цилиндра, или в любом другом виде, удобном для исследования. 7Л. Уравнение энергии Как легко догадаться, скалярное уравнение, выражающее закон сохранения энергии, будет в основном таким же, как уравнение, полученное в гл. 2. Мы получим его здесь лишь в несколько более общей форме с учетом нестационарных членов.
Кроме того, на этот вывод мы будем ссылаться в гл. !3 при включении в уравнение энергии членов, зависящих от трения и теплопроводности. Закон сохранения энергии в применении к жидкости, содержащейся в объеме $1 (фиг. 83), утверждает, что Сообщаемое тепло + Работа, совершаемая нзд жидкостью = = Увеличение энергии. В случае движущейся жидкости удобнее рассматривать скорость изменения энергии. Тогда Скорость притока тепла+ Работа, совершаемая над жидкостью в единицу времени = Скорость увеличения энергии жидкости. Скорость притока тепла к единице массы будем обозначать символом ц.
Будем учитывать только то тепло, которое сообщается жидкости извне, а отнюдь не то, которое скрыто в самой жидкости. Так, например, тепло, выделяемое при фазовом превращении жидкости, мы не будем включать в д, однако включим тепло, поглощаемое за счет излучения извне. Величина д определяется интегралом по обэелеу и в нее включается то тепло, которое передается от одной части жидкости к другой за счет теплопроводности. Этот вид тепла должен учитываться интегралом по поверхности; мы учтем его при рассмотрении движения вязкой жидкости в гл. !3. Рассмотрим работу, совершаемую над жидкостью з единицу времени; часть этой работы совершают объемные силы, а другую часть — давление р. Как было показано в предыдущем пункте, соответствующие этим силам выражения таковы: р1;Н~ на объем е!У и — рп е(А на поверхность площади е!А.
Для определения работы, совершаемой этими силами за единицу времени, нужно каждую из них скалярно умножить на иь что дает соответственно р1еи1е!У 7.о. Эвлерооа проиооооиая 227 1дд ИГ+ ~ВЬ не йе' — )' риси, ИА = 1 —, (Ве+ — Ви') е( к' + + Г (ее+ г епе) цп; йА, А ~ (7.17) а соответствующим дифференциальным представлением этого урав- нения будет Вд + о~;ие — =,„— (ри;) = —,(Ве+ — оие))+ —.~(йе+ — оие))и;1 . )Ь(7.17а) 7.6. Эйлерова производная Вывод уравнений движения часто проводится несколько иным, хотя и эквивалентным данному способом. Мы сделаем краткий обзор этого способа, чтобы' сравнить его с интеграль- ~е ным методом, который То использовался в предыдущих пунктах. Любую характеристику гг или любое свойство жидкости можно представить т, в виде полл.
Существует, например, температурное поле, Т(х„х,х,), которое оЗсасти можйо охарактеризовать показанными на фиг. 85 линиями постоянной температуры. Если это поле" нес7пайионарно, то ' Фиг. 85. Движение частицы жидкости в поле. Т= Т(х, х„х, 1) = Т(хь 1). Смысл этого выражения состоит в том, что частица жидкости, находящаяся в момент времени 1 в точке хь будет иметь тем- 15* — ы- и — рпеи; о А.
В вязкой жидкости будут существовать также добавочные поверхностные члены, определяющие работу сил трения. Энергия жидкости, состоящая из внутренней энергии и кинетической энергии, равйа для единицы объема величине ое -1- '1е оно, где и' = и, '+ и, '+ и,' = щиь В выражении для скорости йзменения энергии внутри объема У следует выделить нестационарную и конвективную части. Это выражение можно выписать, заменЯЯ Р в выРажениЯх(7.9) на де+'/еоие. Если собрать теперь все члены вместе, то уравнение энергии в интегральной форме принимает следующий вид: 228 Гл. 7. Уравнения Овивнения невявквгв газа пературу Т.
Аналогичным образом можно охарактеризовать поля плотности, давления, скорости и т. д. Скорость изменения каждой из этих характеристик обусловливается воздействием двоякого рода: конвективным и нестационарным. Конвективная скорость изменения температуры равна произведению градиента'температурного поля на скорость движущейся в этом поле частицы, ат ат эт ат и„— = и — + и — + и —. ахя = е ах, в ах, в ах, ' Нестационарное воздействие зависит от скорости изменения Т в данной точке, т.е.
от ЭТ1ас Таким образом, общая скорость изме- нения температуры движущейся частицы выражается в виде суммы — + ия — —— ат ат гзт а~ ахя вс ' ° (7. Рд) Специальное обозначение этой скорости изменения, О/И, назы- вается зйлеровой производной. Эйлерову производную можно использовать для подсчета ско- рости изменения любой характеристики жидкости, если эта ха- рактеристика может быть представлена в виде поля, независимо от того, будет ли она скалярной, векторной или тензорной величиной общего вида. Она может быть, кроме того, „интенсивной" величи- ной, подобно давлению, или скорости, или же „экстенсивной", подобно энергии.
В последнем случае поле должно определять характеристику, отнесенную к единице массы, так как, следуя за частицей, мы должны фиксировать и массу этой частицы. Чтобы проиллюстрировать метод использования понятия о поле, напишем уравнение Ньютона для движущейся частицы жидкости. Ускорение частицы, или скорость изменения ее скорости, равно ЕЗие Эи; Эие + я хя Гя — Эг ах, ' Последний член в этом выражении необычен и может служить источ- ником недоразумений, так как скорость играет в нем две роли— роль посредника при конвективном переносе и роль той характе- ристики, поле которой рассматривается.
По закону Ньютона произведение массы на ускорение равно действующей силе. Если рассматривается единичный объем, то заключенная в нем масса равна е, а приходящаяся на этот объем сила определяется выражением — — + е1ь которое было уже ар получено в п. 7.4. Тогда применение закона Ньютона дает следую- щий результат: еЗиЕ ЭиЕ Эи; ар Е- = — Š— +Еиь — '= — —,„. + Е1 гв (7)й) Гя = Эг эха= ах, 7.7. Разбиение уравнения энергии на бве чаани 229 Это уравнение часто называют уравнением Эйлера.
Оно эквивалентно уравнению количества движения в дифференциальной форме, т.е. уравнению (7.13) де (еие)+ а (еи ия) = д,,ч + е11 дхя что легко показать, выписывая более подробно левую часть послед- него уравнения, т. е. составляя выражение е д +и де+ел а. +лед;(еиэ)—= дие дЕ аи, а ахя — = Е аг +Еиэ ах +и'!ж + ах (Еи)1 (7.го) 7.7. Разбиение уравнения энергии на две части Если уравнение неразрывности умножить на величину е +'/еив и результат вычесть из уравнения энергии (7.17а), то последйее принимает следующую форму: Е 1+Е 112 иэ) =ЕЕ+ЕЬи а, (ри*). (7.21) Гэе В 1 а Дальнейшее преобразование этого уравнения можно осуществить с помощью уравнения Эйлера (7.19), если предварительно умно- жить последнее на иь превращая его таким образом в скалярное уравнение Еие —,' = Š—, 1' — и 1= — и; —,„. + И и (7.22) После почленного вычитания этого уравнения из уравнения (7.21) получим ве аи; Š— 1=ЕŠ— Р ~ Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю в силу уравнения неразрывности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
