Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Например, градиент скалярной величины Чр=— др дх; (7.3) представляет собой вектор. Аналогично этому градиент вектора дх; (7А) представляет собой тензор второго ранга. С другой стороны, дивергенция вектора представляет собой скаляр (7.5) Здесь очевидна целесообразность введения условия о суммированиие). Полезным „оператором" оказывается символ Кронекерп бн, определяемый условиями бц = 1, если 1=1, (7. ) 7.6) бп = О, если 1~/. Например, бпд, = Ьь '1 Тензор — это нечто большее, чем матрица, составленная из определенных чисел. Он имеет более глубокйй смысл; например, тензор второго ранга, используемый в качестве оператора по отношению к некоторому вектору, преобразует его в другой вектор, тмлд = до Тензор обладает также определенными инвариантами, не зависящими от выбора системы координат.
з) Поскольку повторяющийся индекс является „фиктивным", то выбор буквы для него не является существенным; разумеется, этот индекс не должен дублировать других, используемых в том же уравненйи, но имеющих какой- либо иной смысл. При выводе уравнений движения нам понадобится теорема Гаусса, которая в векторных обозначениях записывается так: 1 Ь и йА = 1 Ч Ь й'г'. (7.7) А У Гл.
7. Уравнения движения невязкого газа 220 Эта теорема утверждает, что для любого объема к', находящегося в поле вектора Ь, нормальная составляющая этого вектора Ь п, проинтегрированйая по ограничивающей' объем поверхности А, равна дивергенции т Ь, проинтегрированной по объему. Прибегая к обозначениям с помощью индексов, зту теорему можно записать в таком виде: ~ д~п; «А = ~ — ь «'к'. (7.7а) Можно получить обобщение теоремы Гаусса для любого тензорного поля, имеющее следующий вид: ) Кп;«А=1зх "' А У (7.7б) где в — любой тензор, в том числе скаляр или вектор.
7.3. Уравнение неразрывности Общее уравнение неразрывности для трехмерного движения может быть выведено тем же способом, какой был использован для одномерного течения (п. 2.2), т. е. путем определения количества вещества, проходящего за единицу вред мени через фиксированную „контрольную поверхность" (фиг. 83). Эта поверхность может иметь — произвольную форму и произвольную площадь А, но должна быть замкну- той; она ограничивает некоторый объем пространства к", через который течет жидкость. Поверх- ность может частично состоять из физических гра- Ф и г. 83. поток жидкости через ниц, например из стенок. „контрольную поверхность".
Элемент площади пои — площадь поверхности; к — ооь . верхности обозначается п«А, где и — единичный вектор, направленный по нормали к поверхности; положительным направлением считается направление наружу из объема У. Та составляющая скорости, которая определяет собой перенос вещества через поверхность, равна и п, так что поток массы, проходящий через элемент поверхности за единицу времени, равен 7.3. Уравнение нвраврнвнввти 221 (7.9а) Еи пдА или Еи;л~ЕА.
Суммируя эти элементарные потоки по всей поверхности, получим общее количество вещества, выходящего за единицу времени из фиксированного объема: ~ Еи;и; йА. А Скорость, с которой увеличивается количество массы, заключен- ной внутри рассматриваемого объема, равна просто — ) еи'=~ — еу, а зе г г причем последовательность, в какой производятся дифференциро- вание и интегрирование, может быть изменена, так как рассматри- вается фиксированный объем. На основании закона сохранения массы скорость увеличения массы должна обусловливаться ис- ключительно лршлоном вещества через поверхность (в предполо- жении, что внутри объема отсутствуют источники), т.е.
~ — оУ= — ) еи,л~ИА. г А Это уравнение — одна из форм закона сохранения массы. При одномерном течении (п. 2.2) данное соотношение принимает такую форму: 3 ~ д У = — (евпвА, — е,цА,). Р зе г Объемный интеграл, стоящий в левой части уравнения (7.8) и называемый нестоционарным членом, обязан своим происхож- дением тому обстоятельству, что если течение нестационарное, то плотность внутри объема У со временем изменяется. Поверхно- стный интеграл в правой части уравнения называется аонеек- тивным членом и выражает то обстоятельство, что вместе с пото- ком в объем У вносится или из него уносится некоторая масса.
Та жидкость, которая втекает в объем У и вытекает из него, переносит не только массу, но и различные другие величины, характеризующие эту жидкость, как, например, количество движения, энергию, энтропию и т. д. Если такую величину, овл- нгсгнную й единице объема, обозначить через е, то скорость измене- ния соответствующей величины в объеме У всегда будет выра- жаться в виде нестационарного объемного члена 1ж «У г и конвективного поверхностного члена ~бцп~ йА. (7.9б) 222 Гл. 7. Уравнении движения невлвного гага Характеристика и может представлять собой любую (поддающуюся переносу) скалярную, векторную или тензорную величину общего вида.
Возвращаясь теперь к уравнению неразрывности, мы можем использовать теорему Гаусса (формула (7.7а)1 для того, чтобы преобразовать поверхностный интеграл в объемный. Вектор дь фигурирующий в формуле Гаусса, заменяется здесь на оиь и результат получается таким: ') еп и е(А = ') —. (еее)) и"к' Вводя зто выражение в левую часть уравнения (7.8), получим уравнение неразрывности в следующей форме: Так как зто уравнение должно быть справедливо для любого объема У, то интеграл может обращаться в нуль лишь при том условии, что во всех точках объема обращается в нуль подинтегральное выражение'). Таким путем получается уравнение неразрывности в дифференциальной форме ае + ах; (йи))= 0' ~ (7.10) В случае одномерного течения зто уравнение сводится к уравнению (3.7).
Поверхностный интеграл, выраженный в общей форме (7.9б), может быть подобным же образом преобразован в объемный при использовании формулы Гаусса (7.7б); примеры такого преобразования можно будет видеть в последующих приложениях. 7.4. Уравнение количества движения Применим теперь к жидкости, протекающей через объем 1' (фиг.
83), закон об изменении количества движения. Если через ете обозначить суммарную силу, действующую на заключенную в объеме )7 жидкость, то Ре = Скорость изменения количества движения жидкости в объеме 17. ь 9 В качестве примера укажем, что интеграл)Р(х) ах может оказаться в равным нулю при некоторых специально выбранных значениях а и Ь, при которых „отрицательные" площади уничтожают положительные, но этот же интеграл может равняться нулю при любых произвольных значениях а и Ь только при условии выполнения тождества Р(х) О. 7,4. Уравнение каличееииа движения 223 Но что будет в случае установившегося течения, т.е. такого, при котором условия в каждой точке поля не изменяются с течением времени? Каким образом подсчитать тогда скорость изменения количества движения жидкости в объеме 1', т.е. той жидкости, которая проходит через этот объем? Ясно, что эта скорость должна быть в точности равна суммарному количеству движения, уносимому из объема за единицу времени, так как в самом объеме 17 при стационарных условиях количество движения накапливаться не может.
Следовательно, для установившегося течения получим, что Р; = ) (ипе) и;и; ИА. А Р; = 1 з, (йие) е1$'+~риеи;и;е)А. (7.11) Теперь выразим силу Ре как функцию параметров, характеризующих течение жидкости. Существует два рода сил — поверхностные силы и объемные силы. Возникновение поверхностных сил связано с наличием той или иной среды, примыкающей к поверхности А; роль такой среды может играть твердая стенка или просто окружающая жидкость. При рассматриваемом нами течении недязкой жидкости эти силы могут обусловливаться только действием нормального давления на поверхность; касательные силы трения здесь отсутствуют.
Пусть нормальная сила, приходящаяся на единицу площади, равна р. Эта сила направлена внутрь объема, так что если ле представляет собой единичную нормаль, направленную наружу из того же объема, то сила, действующая на элемент площади е1А, равна ( — рлейА). Суммарная сила давления, которая действует на жидкость, находящуюся внутри поверхности А, выражается интегралом 1 ( — рве) е1А.
А Примерами объемных или „массовых" сил являются силы инерции, силы тяготения и электромагнитные силы. Любая сила этого рода пропорциональна массе; она может характеризоваться вектором 1ь если ее отнести к единице массы, или вектором фь если ее отнести к единице объема. В результате суммарная сила, Подсчет уносимого количества движения мы осуществили здесь путем замены д в выражении (7.96) на количество движения единичного объема йиь Рассматривая нестапионарное течение, мы должны учесть и нестационарный член; таким образом получится полное уравнение количества движения: Гя. 7. Урааигивя аааясеяая нгаязкага газа 224 действующая на весь объем, выражается в виде .»еЬ ЕУ. т Заменяя»т» в уравнении (7.11) суммой поверхностных и массовых сил, получим интегральную форму уравнения количества движения: ) — (еи») аУ+ ~еьйип; »1А = — / рп» аА+ ) е7» а»У. ~ (7.12) т А А т Здесь, как и в предыдущих случаях, поверхностные интегралы могут быть преобразованы в объемные с помощью теоремы Гаусса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
