Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Если здесь возникнут трудности такого рода, то читателю рекомендуется изучить вначале примеры, приводимые в следующих пунктах, а затем вернуться к данному пункту. 8Л. Двумерное течение вдоль волнистой стенки Следующий простой пример, данный Аккеретом, помогает применить и уяснить идеи, изложенные в предшествующих пунктах. Кроме того, этот пример представляет значительную ценность в смысле возможности его использования для дальнейших рассуждений общего характера. Рассмотрим течение вдоль границы, имеющей форму синусоиды, или вдоль так называемой „волнистой стенки" (фиг. 89). Уравнение (8.14), определяющее форму границы, принимает здесь вид х,— еа)пах,= О. (8.2!) Символом в обозначается „амплитуда" волн стенки, а длина каждой волны выражается как 1 = 2осЪ.
хв Гл. М Теорил малик возмуа1ениа а на решение налагаются следующие граничные условия: — — имеют конечные значения на бесконечности, эт ак, ак, о(хо О) — = (~ ~ = (У( — "„') = (Уеа сов ах,. (8.23) Сначала построим решение для случая дозвукового движения, когда 1 — М' =— пР ) О. В этом случае уравнение (8.22) относится к эллиптическому типу — + — — = О.
Э»„! ж„ эх! т' зх,' (8.22 а) Попытаемся разделить переменные, полагая, что е(х„х,) = Р(х,) 6(х,). Тогда из уравнения (8.22а) получим т'Р"О+ Рб" = О, или — Р" + а" = О. 1 „1 Р Первый член этого уравнения представляет собой функцию одного лишь х„а второй — одного лишь х,. Так как уравнение должно быть справедливо при любых значейиях х, и х„то сумма обоих членов может быть равна нулю лишь при выполнении следующих равенств: р — Р»= сопз1 = — Iе» 3 (8.24 а) т + 1 тза (8.24б) Выбор знака при и' обусловливается соображениями удобства дальнейших выкладок, а для того чтобы этот знак был определенным, пользуются квадратом действительной постоянной lс. Происхождение указанного выбора связано с тем соображением, что на границе мы хотим получить гармоническое изменение потенциала в зависимости от х„на этом основании знак выбирается так, чтобы уравнение (8.24а) имело гармонические решения, т.е.
чтобы получить Р = А, з!и дх, + А, соз Йх,. (8.25а) Тогда решение уравнения (8.24б) получается в таком виде: С= Ве ть», !- Ве»о», (8.25б) 254 Гл. 8. Теория малых воелсуи(ений В такой форме она связывает между собой не шесть переменных, а три; эти переменные — видоизмененный коэффициент давления и видоизмененные координаты. Множители, обеспечивающие возможность такого преобразования, зависят от числа Маха, амплитуды волны и ее длины таким образом, что одно и то же соотношение оказывается пригодным для любых сочетаний трех последних переменных. Теперь мы можем обратиться к важному вопросу о пределах применимости исходных допущений.
и о 1. В самом начале предполагалось, что — — «и1. Как очевидно из решения, это означает, что Л:м (8.29) 2. При использовании линеаризированного уравнения (8.7) вместо уравнения (8.8) предполагалось, что (1 — М„')» М„(у+ 1) — „",. Это равносильно неравенству Мг (у + 1) е сс '1'1 — М или (8.30) М', (у+ 1) еа (1 Мг )гСг Читателю предоставляется возможность показать, что условие возникновения в какой-либо точке потока звуковой скорости состоит в выполнении равенства Мг (у+ 1)еи (7 Мг„)и Следовательно, неравенство (8.30) утверждает, что линеаризированное уравнение (8.9) остается пригодным до тех пор, пока М достаточно мало для того, чтобы ни в одной точке поля течения скорость не достигала местного значения скорости звука.
Следует отметить, что этот критерий перехода через скорость звука содержит характерную константу газа у, тогда как при скоростях, допускающих линеаризацию уравнений, эта константа нигде не фигурирует в явном виде. Другая характерная особенность околозвукового диапазона связана с появлением параметра (1 — М' ) в степени е/г. 3. Наконец, теперь мы можем выяснить смысл упрощенного граничного условия (формула (8.20)). Формула (8.2бв) дает нам 8.6. Волнаеогон говенно е ееерхееукоеолв аотоее 255 следующее и= — = еае '"авув и совах.
1' Если ввести сюда значения х„соответствующие координатам границы, то мы получим — еа !'1™~а в1ааав соз ах ( †) Ф ' Ы гоающа Раскладывая показательную функцию в степенной ряд, получаем далее ( — 1 = еа созахД! — еа!'1 — М' з!и ах,+...). Ы ~ го анана Второй член в скобках всегда меньше еа '!'1 — М' или в крайнем случае равен ему; для того чтобы была пригодна теория малых возмущений, этот член должен быть пренебрежимо малым в сравнении с первым.
Заметим, что данное приближенное допущение по мере увеличения числа Маха становится даже более точным. Амплитуда возмущений, допускаемых при условии сохранения достаточной точности результатов линеаризированной теории, выражается неравенством еа~1 — Мв «1 или, если записать это условие для наибольшего угла наклона стенки, д )'! — Мв„а 1. Эти неравенства вместе с неравенством (8.29) определяют допустимые пределы величин еа (или 6) и !'1 — М' . 8.6.
Волнистая стенка в сверхзвуковом потоке При сверхзвуковом течении М,' — 1 — = 2в ) О и уравнение (8.22) становится уравнением гиперболического типа, дар 1 двт — — — — = О. д ', а дав В принципе это уравнение могло бы быть решено тем же методом разделения переменных, который применялся в случае дозвуко- вого течения [уравнение (8.22а)). Однако к решению уравнения (8.22б) можно подойти и гораздо более простым путем.
Оно пред- ставляет собой уже рассмотренное нами в п. 3.4 волновое урав- нение; там мы подтвердили проверкой, что общее решение такого уравнения выражается в виде суммы двух произвольных функ- ций, !(х,— дха) и д(ха+ 2хв), о (х„х,) = /(хв — дхв) + Ю(хв + Лхв). (8.31) Гл. 8. Теория малых возмущений ! — „) = — не[!'(х — 2х )Ь, о = — Л1'(х ) = Беое сов еехн причем символ Г' обозначает здесь производную функцию /, взятую по ее аргументу.
Следовательно, и ~(х,) = — — в)п еехи а отсюда получается, что Уе 97(Хп Хе) = ~(хе — лхе) = — — в!и ее(Х1 — ехе), т. е. что ео(хи хе) = —,, ' в!и а[х, — х,1 М' — (3 (8.32а) )ме 1 и = — ~ е" сова!ех — х )г٠— !)> (8.32б) ум„— ! о = Уехсова~х — хе)'М~ — (3 (8.32в) С„= =" соваГх~ — хеКМ вЂ” )3. уме„— ! (8.32г) Анализ решения для случая сверхзвукового течения. !.
В отличие от дозвукового случая решение не содержит экспоненциального множителя, характеризующего затухание, а отсюда следует, что возмущение, например, давления не уменьшается с увеличением х,. Вместо этого величина возмущения остается постоянной на всем протяжении прямых линий: х — х у Ме — ! = сопв!. (8.33) Эти линии наклонены к направлению невозмущенного потока под углом Маха. Они представляют собой линии Маха, или характеристики.
Существование этих характеристик не зависит от частного вида граничных условий и связано с самой формой Граничные условия остаются теми же, что и в случае дозвукового течения. По причинам, которые вскоре станут ясными, нам нужна лишь функция !, а о можно положить равным нулю (этот выбор связан с направлением течения или с различными свойствами областей, расположенных вверх по течению и вниз по течению от данной точки). Тогда граничное условие на стенке записывается так: Р.б.
Волнистая стенка о сеерхзеукооом потоке 257 м )у ф н г. ОО. Силы, действующне нз волнистую стенку в дозвуковом н сверхзвуковом потоке. 2. Коэффициент Ср имеет на стенке следующее значение: совах . ем' — 1 Сравнивая это выражение с выражением (8.27) можно вид точки, где давление имеет максимум и минимум, оказываются теперь сдвинутыми по фазе на ее/2 по отношению к точкам максимума и минимума координаты стенки х,.
Отсюда следует, что давление распределяется теперь антисимметрично по отношению к гребням волн стенки и впадинам между ними и что существует сила сопротивления (фиг. 90). Величина коэффициента этого сопротивления, отнесенного к длине волны, может быть выражена в виде Р Со(ихе,Мх,) в 3 х,.
о (8.34) 17 2042 решения [формулой (8 31)]. Из формулы (8.31) ясно, что 1 = сопз1 вдоль линий х, — Лх, = сопз1 и в = сопз1 вдоль линий х, + Лх, = =- сопз1. Характеристики первого семейства направлены вниз по потоку; они „берут свое начало*' от стенки. Характеристики второго семейства направлены вверх по потоку; они „берут свое начало" в бесконечности и не несут с собой никаких возмущений. Именно по этой причине принимают, что д=О, если жидкость, расположенная выше стенки, ничем не ограничена. ае 258 Гл.
8. Теория малых возмущений Эта формула получается путем замены синуса угла наклона стенки на тангенс того же угла е(х,1йх„что справедливо в грани- цах применимости теории малых возмущений. Выражение для входящего сюда коэффициента С„можно записать так: йхе ум' — ! йх (8.35) и, следовательно, (8.36) где черта над величиной (йх,!йх,)о обозначает среднее значение, определяемое равенством о Рассмотренные в данном и предыдущем пунктах примеры обтекания волнистой стенки позволяют выявить основные особенности линеаризированных дозвуковых и сверхзвуковых течений и различия между ними. Эти особенности характерны для любой формы поверхности, так как из полученных здесь решений можно получить другие с помощью принципа суперпозиции, пользуясь, например, разложением в ряды Фурье.
Однако обычно для решения конкретных задач применяются иные, прямые методы; пример такого подхода дается в следующем пункте. 8Л. Теория сверхзвукового обтекания тонкого профиля Общее решение волнового уравнения о (х„хе) = /(х, — лхв) + д(х, + лхе) можно применить также и к задаче о сверхзвуковом обтекании двумерного профиля, изображенного на фиг. 91. Выражения для коэффициентов С и Св, записанные в виде формул (8.35) и (8.36), не зависят от частного вида граничных условий и могут быть применены к любой конкретной форме установившегося двумерного сверхзвукового течения, совместимой с допущениями теории малых возмущений. 3. Анализ пределов применимости приближенных допущений проводится совершенно так же, как и в случае дозвукового течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
