Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Так, например, точка (х, г),подвергается влиянию всех возмущений, возникающих впереди точки $ = х — '3, откуда и получается интегральное выражение для величины х. а 77>а Д Ггса в 77~ка Ф и г. 97. Распространение волн от движущегося источника. Для иллюстрации ограниченности зоны влияния вверх по течению часто приводится пример', в котором рассматриваются источники, равномерно движущиеся внутри покоящейся невозмущенной жидкости. Это соответствует наложению постоянной скорости — И на весь поток в рассматриваемой выше задаче. Возмущение, создаваемое каждым из элементарных источников, распространяется 18 вова Гл. 9.
Тела ершцсния. Теория тонкого овела 274 со скоростью звука а от этого источника как от центра. Такой элементарный источник, расположенный в данный момент в точке О и движущийся влево со скоростью У, показан на фиг. 97,а. В некоторый предыдущий момент времени !в источник находился в точке 1. Созданное им в этой точке возмущение распространилось теперь в сферической области с центром в точке 1 и с радиусом а(,. С другой стороны, сам источник уже вышел за пределы этой области. Огибающая всех сферических областей возмущения, возникших в период движения источника, предшествующий данному моменту, представляет собой конус Маха, вершина которого определяется положением источника, а половина угла прн вершине равна а! . 1 1 )в= агсз!и — = агсз)п — = агс!д ()! М У Мв — 1 Влияние источника никак не ощущается впереди этого конуса Маха.
В противоположность этому при У < а (фиг. 97,б) такой огибающей не существует, так как фронты распространяющихся возмущений не догоняют друг друга. Если считать, что движение началось уже очень давно и течение приняло установившийся характер, то очевидно, что возмущение распространяется на неограниченное расстояние как вверх, так и вниз по потоку. При У/а- 0 жидкость является несжимаемой и типичная картина распространения возмущений от источника оказывается такой, как на фиг. 97,в.
Ясно, что в сверхзвуковом случае воздействие источника является более „концентрированным", чем в других случаях. 9.8; Скорости в поле сверхзвукового течения Для определения скоростей необходимо получить производные функции (о, выражаемой формулой (9.20). Поскольку переменная х или г, по которой производится дифференцирование, входит не только в подинтегральное выражение, но и в верхний предел, дифференцирование должно производиться в соответствии с правилом Лейбница" ). Однако здесь имеются еще и другие затруднения, связанные с тем, что верхний предел обращает подинтегральное выражение в формуле (9.20) в бесконечность. Правила действий с такими интегралами были сформулированы Адамаром' ).
Иногда оказывается возможным избежать необходимости применения метода Адамара в явной форме с помощью той или иной замены о(в) а(в) в) — ) Р(с; 5) ос = ) ос + Р($(г))г) — ' Ф а3 ' 3зз оз о о е) См. по этому поводу замечания Хисяета и Ломакса в книге ТВ.19). О.х.
06аеканиг коиуса 275 переменной интегрирования. Это можно осуществить и в данном случае, если положить с = к — Лг с)) о. (9.22) Тогда получим г)6 = — Лг Я)) о гЬ = — )~(х — б)х — Лхгх)Ь. с = О - гг = Агс))— х МГ' Ю = х — Лг — о = Аг с)) (1) = О. Тогда после введения новой переменной выражение для потенциала можно записать так: Аг саях/Хг) (с(х, г) = — / )(х — Лг с)) о) )Ь. ~ (9.23) о После этого с помощью правила Лейбница могут быть получены выражения для составляющих скорости Аг сыхдг) и = — = — ) Г'(х — Лг с)) сг) )Ь вЂ” )(0) ( ) (9.24а) ат г г 1 Зх Ухг — Л'г' о Аг со(х/Хг) о = — е = Г )'(х — Лг с)) гг) ( — Л с)) о) гЬ+)(0)( 1, (9.24б) зг г,гухх — Мгс/ о где символ )' обозначает производную функции / по ее аргументу.
Мы будем рассматривать только такие тела, для которых )(0) = = 0 (как будет показано ниже, сюда относятся, например, остроконечные тела). После перехода к первоначальной переменной интегрирования формулы (9.24а) и (9.24б) принимают вид и=— Г(с) )(б, У (х — Е)с — мг* о х — х. ! !" )'(Е)(х — е) / у (х — Е)х — Лсгс о (9.25б) 9.9. Обтекание конуса Прямая задача об определении /($) при заданных граничных условиях является в общем случае весьма сложной и связана с решением интегрального уравнения.
Другой метод подхода состоит гз' — 1! Соответствующие изменения пределов интегрирования оказывают- ся такими: 277 О.О. Обтекание комуса шепнем. Поле течения „внутри" конуса не представляет здесь для нас какого-либо интереса. Ф и г. 9З. Коническое поле скоростей. Веннчина и напраппение сноростей вдоль напщого пуча постоянны. а — нуч, лежащий на модусе Маха; О, а й — хараатерпые луча а пеле споростей; с — пуч, вдаль которого оептор скорости напраанеи параллельно самому лучу; е — типичные поппи тока. Величина угла при вершине конуса зависит от константы а в формуле (9.27). Наоборот, желая найти решение для конуса, имеющего заданную величину половины угла при вершине д, необходимо определить такое значение а, при котором выполнялось бы граничное условие (.",.) (9.28) На основании формул (9.27) составляющие скорости на поверхности конуса оказываются такими: и = — а Агс)!— с!ад Л (9.29а) о = а )г с(де б — 2е.
(9.29б) Если принять во внимание граничное условие, то отсюда получается следующий результат: Гпе'д — г.~~ее А ~(~еч1) (9.29в) Для того чтобы найти давление на поверхности конуса (где оно постоянно), выражения (9.29) следует подставить в формулу (9.9), определяющую коэффициент давления. Нет необходимости выписывать здесь получаемое после этого выражение. Подобного рода точное решение линейного дифференциального уравнения Ван Дайк') предложил называть приближенным решением первого порядка.
') Ч а п Р у й е М., Яурегеоп!с Поы ран Ьогнее о1 гечо1иноп, /. Антонии!. Зс1., 18 (1951), 161. 278 Гт Р. Тела вращения. Теория тонкого тела 9.10. Другие формы меридианального сечения Карман и Мур разработали численный метод, позволяющий получить поле обтекания произвольного (остроконечного) тела вращения путем суперпозиции полученных в предыдущем пункте решений типа конического течения.
Ф и г. 99. Суперпозиция решений, соответствующих коническим течениям. Для изображенного на фиг. 99 тела оживальной формы решение может быть получено путем использования распределения вида !($) = поб — аЯ вЂ”,',) — ае(с — бе) -~-..., где константы а„а„а„... положительны, б, = х, — Лг„ = х, — Лгз и т. д. Константы определяются следующим образом: а, соответствует решению для конуса, имеющего при вершине такой же угол, как данное тело, и характеризует течение в окрестности носка.
В точке (х„г,) зто решение дает такое значение, которое не удовлетворяет граничному условию; следовательно, зто решение должно быть видоизменено путем наложения другого конического течения — а,(б — Е,) при надлежащем выборе константы а,. Последнее теченйе берет свое начало в точке Е, = х, — Лг, и, таким образом, Р.П. Решение длл тонкого конуса 279 Рассмотренный метод может применяться только при условии, что меридиональное сечение имеет плавный контур. Если на контуре данного тела имеются угловые точки, то к решению следует добавить некоторые члены, создающие в каждой из таких точек надлежащий „скачок"). 9.11. Решение для тонкого конуса Если конус, о котором шла речь в п. 9.9, имеет очень малый угол 2д при вершине, то выражение в формуле (9.29в), служащей для определения величины а, может быть несколько упрощено. Это связано с тем, что если М не слишком велико, то с1дд ы Л и Аг сп (с1д д/Л) сье 1п (2/дЛ).
Кроме того, та д 1п (2/дЛ) - О, и в конечном итоге получается, что а ж (/д/ссй д ж (/ д'. (9.30) С целью исследования условий течения вблизи поверхности такого тонкого конуса можно упростить также и выражение (9.27) для ое, поскольку входящее в него отношение г/х будет малым. Результат этого упрощения таков: % Ц д х(1п 2х 1). (9.31) Скорости в окрестности поверхности конуса, для определения которых можно продифференцировать данное выражение или сделать соответствующие упрощения в формулах (9.27), выра- ') См.
указанную выше работу Ван даяна, где' указаны дополнительные усовершенствования этого метода. не влияет на течение в окрестности носка в области впереди точки (х„, г,). Подобным образом при движении от точки к точке определяются все искомые константы. Каждый последующий этап этоео процесса не оказывает влияния на лежащие выше по потоку области течения, которые уже были построены ранее. Это удобное свойство характерно для решений волнового уравнения в противоположность проблемам, описываемым уравнением Лапласа, численное решение которых нужно проводить методами релаксации. Указанное свойство проявится вновь при рассмотрении численного метода характеристик (гл. 12).
Можно заметить, что для остроконечных тел распределение источников в окрестности носка всегда будет подобно коническому распределению, т. е. мы будем иметь /'(0) = сопэ1, /(0) = О. 280 Гл. й. Тела врио!ения. Теория тонкого тела жаются следующим образом: и е 2х — = — д !и — ~ и лг (9.3 ! а) — де ы (9.316) Ца самой поверхности конуса, где г/х ж д, эти выражения прини- мают такой вид: ( и ) до 1и 2, (и) (9.32а) (9.326) Значения, получаемые по этой приближенной формуле, можно сравнить с приведенными на фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
