Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 49
Текст из файла (страница 49)
$» (9.35а) о о 286 Гл. Р. Тела вращения. Теория глвннвгв гасла Этот интеграл берется по площади треугольника, ограниченного линиями О = О, х = $ и х = Е. Подинтегральному выражению можно придать форму, симметричную относительно линии х = О путем замены 1п(х — 3) на 1п)х — ф, после чего формула записывается так: ь ь 8(Ь) Ср, = — — ~ ) 8"($) 8 (х) 1и ! х — $! ОЮ йх. (9.35б) о о Первым, кто вывел зту формулу, был Карман. 9.13'.
Тело вращения в сверхзвуковом потоке при угле атаки, отличном от нуля Если тело вращения обтекается под углом атаки, то для исследования этого течения ось тела удобнее всего совместить с осью х (фиг. 102), а невозмущенный поток направить под углом к последней. Очевидно, что течение не будет обладать осевой Ф и г. 102. Расположение осей при исследовании осевого и поперечного течений. (г, — скорость поперечного течения и неноамущенном потоке, е = = дт)дг к ю = (((г)(дт)дв) — соотеетстаенко рапнальная к тангенлн- альная составляющие скоростн аоамущення. симметрией, так что для определения потенциала следует использовать полное уравнение (9.3). Однако вследствие линейности данного уравнения можно записать решение в виде суммы двух потенциалов, (9.36) а(х, г, О) = (о,(х, г) + (о,(х, г, О), где р, соответствует осевому течению, не зависящему от О, а р, — поперечному течению.
Тем самым осуществляется наложение двух течений, в одном из которых скорость вдали от тела параллельна оси и равна У„= Усова, Р.уЗс. Тело вращения яри ненулевом угле атаки 287 тогда как в другом течении она перпендикулярна оси и равна (7,= из|в . Задача об осевом обтекании совпадает с той, которая была подробно рассмотрена в предшествующих пунктах; если гранич- ные условия допускают соответствующее „расщепление", то единственное видоизменение состоит здесь в том, что характер- ной скоростью является не У, а У,. С другой стороны, задача о поперечном обтекании должна описываться уравнением (9.3), т.
е. уравнением — + — — + — — — Лв — =О дав с двсс с д'.Рс дус (9.37) дгс г дг гс дд' дх' где в случае сверхзвукового течения Ла = М' — 1 >О. Число Маха М отнесено здесь к полной скорости (7. То обстоятельство, что составляющая У, может оказаться „дозвуковой", не имеет здесь никакого значения, так как „поперечное течение" явля- ется лишь частью полного решения (9.3б). Аналогично этому то обстоятельство, что скорости возмущения в „поперечном течении" сравнительно велики, отнюдь не обесценивает получае- мого результата, если только возмущения, соответствующие суммарному решению, остаются малыми. Желая получить решение уравнения (9.37), можно сравнить последнее с уравнением, описывающим осевое течение, дес г дг дх' Если функция р, является решением этого уравнения, то она является также решением уравнения, получаемого отсюда путем дифференцирования всех членов по г, Эго остается в силе и при том условии, что ЭЧс„/Эг заменяется на соз Эдр„/Эг, однако третий член последнего уравнения можно тогда переписать в таком виде: сов Э дта 1 дс ! Эфа' — = — — (сов Э ).
ес дг гс два ( дг После этой подстановки уравнение (9.37а) становится идентичным уравнению (9.37). Таким образом, основное решение задачи о поперечном течении можно получить из основного решения задачи об осесимметричном течении, если положить, что у,(х,г, Э) =- созд+ —= Этот прием представляет собой по существу правило превращения источника в диполь с осью, направленной вдоль осн а.
288 Гл. 9. Тела вращения. Теория тонково тела 9.14". Граничные условия для поперечного течения В результате наложения осевого и поперечного течений удовлетворяется основное дифференциальное уравнение и граничное условие вдали от тела. Остается еще удовлетворить граничному условию на поверхности самого тела. Применяя описанный ниже прием, это условие также можно „расщепить" на две части, соответствующие осевому и поперечному течениям. Скорости возмущения в осевом и поперечном течениях определяются путем дифференцирования потенциалов этих течений.
Радиальная скорость в любом поперечном сечении (фиг. (02) выражается как и, в+ —,„ дт а осевая скорость — как '+ дя дд Если эти выражения подставить в точное (без сокращений) гранич- ное условие (равенство (9.4)), то получится следующее: т. е. Это равенство можно разбить на два: (9.38 а) (9.386) Следует отметить, что равенство (9.38а) представляет собой точное граничное условие для осевого течения со скоростью и„ (см. равенство (9.4)). Аналогично этому равенство (9.38б) содержит только скорости поперечного течения и служит точным граничным условием для задачи об определении этого течения.
В некоторых случаях это условие может быть записано в приближенной форме, если заметить, что произведение, стоящее в правой части равенства (9.38б), имеет меньший порядок, чем члены в левой части, и пренебречь этим произведением, получая в результате [д ~ + иесозв О. (9.39) ода". Решения задачи о иоиеречиом шечеииц (ее(х, г, д) = сов од"; ° (9.40) Фигурирующая здесь производная была подсчитана ранее 1см. формулу (9.25б)]. Она выражается так: х — Ь др 1 (' 1'(д) (х — д) дг г „/ У(х — ~)' — Мг' о Другая форма этого выражения может быть получена с помощью интегрирования по частям ч — Хг дча Е / 7(е) ас 1 Г 1(4)(Х вЂ” д) 1х Хг дг ./ [(х — д)' — 1'ге)'е г ( У(х — д)' — 2ег* 1о о Последняя скобка при подстановке нижнего предела дает член, содержащий величину 1(0), которая, в свою очередь, для остроконечных тел равна нулю.
Однако при подстановке верхнего предела здесь получается член, стремящийся к бесконечности. Метод Адамара дает правила действий с интегралами, содержащими такую особенность'. Вышеприведенный результат можно формально представить в таком виде: дич ~ о 1 (' 1(д) е(д дг = 'Р,) 1(х — д)* — 1* )ч" о здесь символ.р. 1., стоящий перед знаком интеграла, означает, что берется лишь конечная часпгь данного интеграла и для операций над ним надлежит пользоваться методом Адамара' ).
В литературе встречаются обе формы выражения — как формула (9.41), так и формула (9.42). Входящие в подинтегральные выражения неопределенные функции 1'(4) и 1(4) пока что являются произвольными и подлежат определению из граничного условия для поперечного течения. Во избежание путаницы с решением задачи об осевом течении рекомендуется для потенциала поперечного течения применять другие обозначения. В результате две окончательные формы решения могут быть запи- ') См.
работу Хисяста и Ломакса, цитированную на стр. 274. 1З аоеа 9.15". Решения задачи о поперечном течения В п. 9.13 было показано, что решения задачи о поперечном течении могут быть полученй из решений задачи об осевом течении путем использования соотношения 290 Гл. О. Тела.враеценая. Теория танкыо тела саны в таком виде: х-ы г г 'е' (х — Ер — Л'гх о р,(х,г,0) = Лег сов 0 р 1. ) („~~р) ...„,+(9.42а) ! о Эти результаты и их приложения были впервые указаны Цянь Сюэ-сэнем и Феррари.
9.16. Поперечное обтеввние тонких тел вращения В случае очень тонкого тела решения, выражаемые в форме интегралов, могут быть упрощены путем их оценки при малых значениях й./х, как это было сделано в п. 9.12. Более непосредственный путь упрощения состоит в использовании решения для обтекания осеснмметричного тонкого тела, даваемого формулой (9.33), и применении соотношения (9.40) с целью получения результата для поперечного течения. Так можно получить выражение т, = соз 0 "' = ( ) соз 0 зг 1 ~ (9.43) ~ (9.44) Интенсивность диполл пропорциональна плои)ади сечения, про- где символ а(х) используется вместо 1(х) с целью установления четких различий между двумя случаями.
Можно убедиться, что полученное выражение представляет собой потенциал возмущения для плоского потока, перпендикулярного оси бесконечно длинного цилиндра; это выражение хорошо известно в теории течения несжимаемой жидкости. Смысл полученного таким образом результата состоит в том, что условия обтекания любого сечения оказываются такими, как если бы это сечение принадлежало бесконечному цилиндру с осью, перпендикулярной направлению не- возмущенного потока. Тем самым подтверждается характерное свойство очень тонкого тела, для которого условия течения в окрестности каждого сечения не подвергаются влиянию „далеко расположенных" частей этого тела. Интенсивность диполя а(х) зависит от радиуса сечения.
Эта зависимость определяется граничными условиями, которые в случае тонких тел могут выражаться приближенным равенством (9.39). Результат оказывается таким: а(х) = У, й'(х) = — ' 8(х). 9.(7. Ппдьегеыая еипа пмнкегп пила гращенпя 291 веденного через данную точку осш Таким образом, решение задачи о поперечном течении может быть записано в следующем виде: се, = У,— сов 6 = У яп и — сов 6.
(9.43а) ее'(х) ' . Ге'(х) Г е 9.17. Подъемная сила тонкого тела вращения Чтобы найти давления на поверхности тела, необходимо, конечно, вычислить предварительно скорости, соответствующие полному решению, имеющему вид у = у, + у,. Точное выражение для коэффициента давления содержит квадраты этих скоростей, а поэтому в общем случае выражение для С нельзя разложить на слагаемые для осевого и поперечного течений. Однако приближенная теория тонкого тела позволяет сделать это следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
