Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Корректная форма представления коэффициента давления в осесимметричном течении (п. 9.4) оказывается такой: Пользуясь преобразованием (10.21), можно написать в правой части выражения, соответствующие функции Ф: 310 Гл. ПЬ Закона подобия для течений с большими скоростями Пользуясь соотношением (10.24), можно сократить здесь постоянную А, получая в результате, что С, = АСвю как было и в случае двумерного течения. Таким образом, закон подобия можно снова представить в той же форме: ' =~(, ' ). (!огб) Однако возможность произвольного выбора постоянной А теперь отпадает ввиду необходимости выполнения соотношения (10.24).
Иначе говоря, теперь требуется выполнение условия А = = (1 — М' ) '. Отсюда получается правило Гетерта: Ср(1 М<вв) ~(т) 1 М~вв) (! 0.2б) Как ясно из произведенных выкладок и из п. 10.2г соотношение (10.2б) может применяться и к случаю двумерного течения. Разделив обе его части на т'(1 — М' ), можно получить то же самое в другой форме: е, - я*П: М„)~. (10.27) Поскольку параметр А пришлось использовать для придания надлежащей формы „нелинейному" граничному условию, мы уже не можем распоряжаться им с целью построения условия подобия, применимого к соответствующему уравнению околозвукового течения. Для осесимметричного околозвукового течения такого соотношения подобия не существует').
1О.б. Квазидвумерное течение Метод, использованный нами при рассмотрении двумерного течения, может быть распространен на случай трехмерного квазидвумерного течения. В этом случае дифференциальное уравнение и граничные условия таковы: (10.28) — 1 (10.29) ') Закон околозвукового подобия для тонких тел может быть получен, если вычесть из решения член, соответствующий действию источника. Такой закон подобия был получен Осватичем и Берндтом, а также Коулом.
Так, например, в случае конуса с углом при вершине, равным 20, этот закон формулируется так: ф — 4!пб=((~ б,~ ) З12 Гл. 10. Закона подобия для течений с большими скоростями которому удовлетворяет коэффициент давления в любой точке по- верхности квазидвумерной системы, имеет следующую форму: —, Ь!(1 — Мт). (10.32) В случае околозвукового течения подобная процедура приводит к соотношению = Р( м; 1)с1 Мв). ь, (1033) т'Ь тв [(у+1)Ме ]еа 1О.б.
Общий обзор законов подобия и нх применение Соотношение (10.33) дает законы подобия для квазидвумерного течения. Функция Я, фигурирующая в этом соотношении, зависит от выбора семейства граничных поверхностей. Отсюда как частные случаи получаются законы подобия для двумерных течений, описываемых линеаризированными или нелинеаризированными уравнениями. Определяемый этим соотношением коэффициент давления С соответствует некоторой фиксированной точке на поверхности тела. Например, может возникнуть необходимость в определении значения С„на поверхности крыла при каких-то конкретных значениях х/с и у/Ь. Местное значение коэффициента подъемной силы С~ также равно С .
Это следует из того, что С~ = С„ сое Ож С„, где Π— местный угол наклона поверхности к найравлению невозмущенного потока. При применении теории малых возмущений толщина тела и угол атаки достаточно малы для того, чтобы угол О всегда оставался малым и можно было использовать вышеуказанную аппроксимацию. Так как общий коэффициент подъемной силы тела Сс получается просто путем определения среднего значения Сь то для него будет справедлив закон подобия такого же типа: 1)м 1' =.С( м, ' ХЦМ вЂ” Ц) ° ~ (10.34) тьа теа!(у+1) Ме )Ч Аналогично этому общий коэффициент сопротивления Сп получается путем осреднения значений С„, т. е. местных значений коэффициента сопротивления.
Коэффициент С„связан с С„соотношением С, = С з!п О ж С„О. Для заданного семейства поверхностей О т, так что С С„т. Следовательно, закон подобия Хорду с мы оставляем неизменной, так что площадь крыла Я при заданной форме в плане будет пропорциональна Ь; следовательно, удлинение Х— = Ьт/Я также пропорционально Ь, и соотношение (10.32) можно записать так: А-=1( л!с1 М,,' Л)1 — М').
1» (10.32а) 10.6. Общий обзор законов подобия и их применение 313 для коэффициента сопротивления (местного или общего) имеет такую форму: ' "у+.1)"'"" = .О ~ ' "'" —.; Т~~М вЂ” 1~). ~ ([О.З5) тие [та[а((у+1)мтто )а[о угла инг О дб аб у.й бг у.б у,б Ф и г. 106.
Сравнение результатов, полученных на основании обобщенного закона околозвукового подобия, с данными эксперимента (по материалам Спреятера (8р ге [[ег ). тс., р[АСА)1, о — нривые, построенные в обычной системе ноординат; б — кривые, построенные в системе ноординат, определяемоа параметрами оноловвунового подобия ме — [ Кур 1[ма [У. [<т+ ц Мт [Цсиу, [С[с[и, 314 Гл. Пх Законы подобия для течений с большими скоростями Пример применения законов подобия к экспериментальным измерениям дается на фиг.
10б,а, где приведены кривые изменения коэффициентов сопротивления трех клиньев различной толщины. Здесь они изображают обычную зависимость Си = Си(М ) и фигурируют как три различные кривые. На фиг. 1Об,б они построены заново в масштабах, определяемых законом подобия(10.35), и превращаются в одну единственную кривую. За пределами диапазона околозвуковых скоростей эта кривая приближается к той, которую дает линеаризированная теория. Сформулированные в этой главе законы подобия справедливы в неограниченном диапазоне чисел Маха от дозвуковых до сверхзвуковых значений. В тех интервалах дозвуковых и сверхзвуковых скоростей, где возможна линеаризация, указанные законы можно применять в более простых формах Прандтля — Глауэрта и Гетерта, применимых при выполнении условия ~1 — ме ) Х= .*.1(у+1)мв Уь (10.36) 10.7.
Большие числа Маха. Законы подобия для гиперзвуковых течений Выведенные в предшествующих пунктах законы подобия для дозвукового, околозвукового и сверхзвукового течений были получены с помощью применяемого в теории малых возмущений ') См., например, книгу Осаатича [О в и а е! г в с Ь, Оавбупатни ЭргВпиег, тпеппа, Г9521, стр.
254 и далее. В любом случае выведенные здесь законы применимы только к течениям с милыми возмущениями, т. е. к обтеканию тонких профилей и тонких тел при малых углах атаки. При любом усовершенствовании законов подобия это ограничение должно быть снято. Правило Кармана — Цянь Сюэ-сэня и правило Ринглеба') дают возможность рассмотрения более толстых профилей, однако с некоторыми ограничениями.
Определить диапазон их применимости оказывается затруднительным, а обобщить их на случаи трехмерного течения невозможно ввиду того, что их вывод делался с помощью рассмотрения плоскости годографа. Современная аэродинамика по необходимости имеет дело главным образом с тонкими крыльями, так что приведенные здесь законы подобия в действительности охватывают весьма широкий класс конструкций„представляющих практический интерес. При очень больших значениях чисел М все эти законы уже не применимы и должны быть заменены законами гилврзвукового подобия, краткое описание которых дается в следующем пункте. 70.7.
Законы подобия для гиперевуковых течении зеа уравнения (8.9а) , ) а и а*„а „и (у + П а„а д, ах', ах, 'ах1 17 ах, ах', а также с помощью приближенных выражений для коэффициента давления ат С и ах, для квазидвумерного течения и для осесимметричного течения. Как указывалось в пп. 8.2 и 8.3, при достаточно больших числах Маха эти уравнения уже не будут пригодны ввиду того, что некоторые из отброшенных членов начинают играть важную роль. При введении приближений, использованных при выводе уравнения (8.9а), подразумевается, что идущие от тела ударные волны являются слабыми.
Если поток сверхзвуковой, то эти ударные волны проходят очень близко от характеристик (линий Маха), тогда как в околозвуковом потоке они почти перпендикулярны последним. При очень больших числах Маха угол Маха 7л может быть величиной одного порядка с максимальным углом наклона поверхности тела О или может быть меньше последнего. Мы имеем 1г айпи = 1/М, так что указанный случай соответствует выполнению условия — О, или М Оче 1. 1 Таким образом, характерным параметром для нового режима является величина М О, или, точнее, М х, где т — относительная толщина тела. Эта величина называется параметром гиперзвукового подобия К=М х. 1» (10.37) При больших значениях параметра гиперзвукового подобия существенную роль играет разность между углом наклона ударной волны О и углом Маха и. Такое положение имеет место и при околозвуковых скоростях.
В обоих случаях уравнения оказываются нелинейными, хотя эта нелинейность создается за счет различных членов, так как поля течения по своему характеру в корне различны. При околозвуковом течении поле имеет значительную протяженность в поперечном направлении, и наиболее важную роль играют изменения по направлению вдоль потока. При гиперзвуковом режиме поле течения оказывается весьма узким, так как ударные волны проходят близко от тела, и наиболее важными становятся здесь изменения в направлении, перпендикулярном движению потока.
316 Гл. 1О. Законы подобия длл течений с большими скоростями На фиг. 107 изображены типичные поля течений при различных скоростях, начиная от дозвуковых и кончая гиперзвуковыми. Помимо всего прочего, в общем случае нельзя считать гиперзвуковой поток безвихревым и вводить в рассмотрение соответствующий потенциал скорости. Даже при обтекании тонких тел здесь возникают сильные ударные волны и градиентами энтропии позади этих волн не всегда можно пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
