Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Первым, кто дал вывод ураь внения гиперзвукового течения с малыми возмущениями, был Цянь Сюэ-сэнь'). Мы используем здесь несколько иной подход,чему него, и сформулируем законы подобия с помощью й,'И некоторых простых соотношений, получаемых на основе анализа свойств ударных волн и течений расширения Прандтля— Майера. Полученное нами в гл. 4 соотношение между числом Маха ! — —- М, углом наклона ударной волны (0 и углом отклонения потока 0 можно записать так: у+ 1 Мвв!прв(по 2 сов( — б) При малых значениях 0 и столь больших значениях М, что М 0 )1, угол (0 должен быть также малым и, следовательно, можно использовать следующие приближенные равенства: в(пВж !0; з(пбж 0; сов( — О) пы 1.
Ф и г. !97. характерные режимы Таким образом, сохраняя члены, течения, имеющие порядок малости до ') Тв(еп ~. 8., 3!пн!аг!!у 1ашв о! йуреевоп!с Пешв, /. Ма!И. Раув., 26 (1946),247; сокрашейный русский перевод: П я н ь С ш э-с э н ь (в оригийале Тзян), Подобие для течений газа при очень больших числах Маха, сб. Механика, Ьа 1 (1950); 39. 10.7.
Заколи лодобия для гилерооукових леечеяий 317 О' или В' включительно, мы получаем, что МвВв — 1 = МвВО. 2 Решение этого уравнения можно записать в следующем виде: Ф у+1 +~(у+1)Я+ 1 Относительный перепад давлений при переходе через косой скачок уплотнения выражается как (Мвз!пв — !)~ " (МвВв — 1), „' —,+1 у+1 откуда следует, что выражение для коэффициента давления прини- мает вид: С, = —, ' '= 2В0=20в~ +~( 4 ) + м;~ ° (10.38) Таким образом, коэффициент давления представляется в форме С„= ОЧ(МО) и удовлетворяет закону подобия СФ. /(МО) (10.38а) Покажем теперь, что при течении расширения Прандтля — Майера (см. п. 4.10) коэффициент давления выражается в такой же форме.
Пусть через М обозначается местное число Маха, через М вЂ” число Маха невозмущенного потока, а через 0 — отсчитываемый от направления невозмущенного потока угол расширения. Тогда соотношение Прандтля — Майера может быть записано в виде О = ~/-У вЂ”, (агс18~/У~, )'М' — ! — агс18~/ У~, )'Ме — 1)— — (агс 18 'Г'М' — 1 — агс 1я 'Г'Мо — 1). Если считать, что М велико, тогда то же самое можно сказать и о М, так что, следовательно, )'М' — 1 ~ М. После этого, пользуясь разложением в ряд л 1 агс1дх = — — — „1-... 2 318 Гл. 1В. Законы подобия для течений с большими скоростями для больших значений х, вышеприведенное выражение можно преобразовать к виду в= '1(-м — м') ОЭ или к виду — "=1+ — М В.
М у — 1 м чч (10.39) С„= 2 ~(М зтдт-г) 1] у'ноч (! 0.40) Комбинируя этот результат с формулой (10.39), получим С„Ме = — [(1 + У М В) — 1] ° (10.40а) Если обе части последнего соотношения разделить на М' В', то для течения Прандтля — Майера при больших числах Маха получается, следующий закон подобия: с — Нм в) (10.40б) Таким образом, закон подобия для С„имеет одну и ту же форму как для течения с переходом через ударную волну, так и для течения в изэнтропической волне разрежения. Можно ожидать, следовательно, что этот закон будет применим также ко всем течениям, получаемым путем комбинации ударных волн с веерами расширения.
Действительно, было показано, что этот закон сохраняет свою силу и в самом общем случае') и что общая форма закона подобия для гиперзвуковых течений при использовании параметра т, определяющего характерную толщину, оказывается такой: — 1'-= гР(М т). ') См. работы Хейза [Н а у ее МГ. О., Оп Ьурегзоп!с е!ш!И!аде, Яиагг. Арр(. Магда 5 (1947), 195; сокращеннйй русский перевод: Х е й з В., О подобии'в сверхзвуковом потоке, сб.
Механика, )че 2 (1950), 26! и Ван Дайка [Ъ' а и (1 у )г е М. Р., Нурегеоп!с млад гнзгигьапсе !Ьеогу, /. Аегопаи1. Юс1., 21 (1954), 179; русский перевод: Ван Даик, Применение теории малых возмущений к течениям при больших числах М, сб. Механика, га 3 (1950), 491. Коэффициент давления, определяемый по формуле (2.40а), представляется так: 2 112+ (у — 1) М' гт1(т-!) ) С = ум [12 + (у — П мг При больших значениях М и М это выражение приводится к форме Отсюда мы получаем также, что Сп —,, =Ф(М т), )ь (10.42а) причем коэффициент сопротивления Сп отнесен к хорде. На фиг. 108 показан результат применения закона гиперзвукового подобия для установления взаимозависимости между распределениями давления на поверхности двух тел, имеющих оживальную форму, установленных под углом к основному потоку и имеющих относительные толщины, равные '/з и '/в.
Сравнение производилось при значениях М = 3 и 5 соответственно, чтобы произведение к0 й0 00 00 700 Проценты донны Ф в г. 108. Применение закона гиперзвукового подобия к телам оживальвой формы, установленным под наклоном к основному потоку. М, т = 1,0, М а = 30' (по материалам Эггереа в Свйвертсопз (Е и ие ее А.
1., 8 у ч е е 1 з о и С. А., ХАСАН. М х оставалось одним и тем же. Для сохранения подобия необходимо также, чтобы путем подбора соответствующего значения ее сохранялся постоянным параметр М и; причины, обусловливающие это требование, аналогичны тем, о которых говорилось в п. 1О.б в связи с соображениями, касающимися Сы Теперь мы можем сравнить данную форму закона гиперзвукового подобия для С„с той, которая была получена для линеаризированного сверхзвукового течения: А ( А1М вЂ” 1) В 3 Я «4 7 10.7.
Законы, подобия дяя гилеровуковык течений ЗИ 320 Гл. 1О. Законы подобия для течений е большими екороетямп Полагая А = г', получим, что — о=)(, ) = ~(х)М вЂ” 1). (10,43) В гиперзвуковом потоке разница между М' и М' — 1 пренебрежимо мала, так что формула (10.43) дает комбинированный закон, справедливый во всем диапазоне сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростей. Его формулировку дал Ван Дайк.
Используя частный вид формулы (10.32а), мы можем также получить обобщенную форму сверхзвукового — гиперзвукового закона подобия для квазидвумерных систем: — о = еР (х '1 Ме — 1; л ) Мо — 1). ~ (10.44) Глава 11 ОКОЛОЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ 11.1. Введение Интенсивные аэродинамические исследования околозвукового диапазона скоростей были вызваны необходимостью решения практических задач перехода через скорость звука и полета с околозвуковой скоростью. В этом диапазоне скоростей картина течения (а следовательно, и силы, действующие на движущееся тело) существенно отличается от того, что имеет место при малых скоростях. В настоящее время мы знаем, что в околозвуковом течении весьма существенную роль играют ударные волны, и их появление вблизи движущегося тела приводит к тому, что с увеличением числа Маха коэффициент сопротивления быстро возрастает.
Для многих аэродинамиков, привыкших иметь дело с течением несжимаемой жидкости при малых скоростях, те явления, с которыми они столкнулись в околозвуковом диапазоне, оказались столь неожиданными, что возник миф о „звуковом барьере". Это произошло несмотря на наличие почти векового опыта изучения движения артиллерийских снарядов, достигающих в момент вылета сверхзвуковых скоростей, а затем по необходимости замедляющих свой полет, переходя при этом через скорость звука. В настоящее время качественные особенности околозвуковых течений хорошо известны, а экспериментальные методы исследования связанных с этими течениями задач непрерывно улучшаются. Еще не преодолены трудности, связанные с проектированием конкретных аэродинамических форм и теоретическим количественным предсказанием характеристик течения. Для решения первой группы вопросов требуется иметь достаточный запас экспериментальных данных; что касается второй группы„то существующие здесь трудности обусловливаются нелинейным характером уравнения, описывающего околозвуковое течение.
Помимо прочего, при околозвуковом, а также при гиперзвуковом течениях очень часто оказывается невозможным провести резкую границу между течением невязкой жидкости и проявлениями влияния вязкости. Здесь имеет место то, что иавестно как „взаимодействие ударной волны .с пограничным слоем", т.
е. 21 зово†Гл. 11. Околоввуковое мекение 322 взаимосвязь между интенсивностью и положением ударной волны на теле и свойствами пограничного слоя (его характером, тенденциями к отрыву и т. д.). В настоящей главе предполагается дать описание и разбор наиболее существенных физических особенностей околозвукового течения с простыми граничными условиями; при этом мы не будем вдаваться в чрезмерно сложные выкладки и попытаемся дать читателю представление о характере задач, возникающих в теории таких течений. 11.2. Определение околозвукового диапазона скоростей Временно мы будем предполагать, что трение в жидкости отсутствует; тогда поток может скользить вдоль твердой границы. Течение называется околозвуковым, если в его поле имеются одновременно два вида областей: дозвуковые и сверхзвуковые. При непрерывном увеличении числа Маха невозмущенного потока от нуля можно считать, что околозвуковой диапазон начинается там, где наибольшее из местных чисел Маха достигает единицы, и кончается там, где достигает единицы наименьшее из местных чисел Маха.
Это условие можно сформулировать более конкретно, если ограничиться только рассмотрением обтекания тонких тел, к которым применима теория малых возмущений, Если характерное значение относительной толщины тела обозначить через т, то поток около такого тела будет околозвуковым при условии, что параметр околозвукового подобия (и. 10.3) имеет величину, заключенную в пределах м2 1 = 1(г+ Пем' 1ея (1 1.!) 11.3.
Околозвуковое обтекание клиновидиых профилей В качестве первого и весьма поучительного примера рассмотрим обтекание простого клина, имеющего угол раствора 20 и длину с, за которой профиль сечейия принимает прямоугольную форму. На фиг. 109 демонстрируются наиболее существенные особенности картины течения при различных числах Маха невозмущенного потока. Если число М в дозвуковом диапазоне постепенно увеличивается, то вблизи плеча клина появляется скачок уплотнения. При дальнейшем увеличении числа М и приближении его к единице протяженность этого основного (почти прямого) скачка увеличивается, а сам скачок отодвигается вниз по потоку. При М = 1 оказывается, что он отодвинулся в „бесконечность вниз по потоку*', а в „отрицательной бесконечности" появился второй скачок уплотнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
