Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 48
Текст из файла (страница 48)
536 данными точной теории. ' Выражение (9.32в) можно сравнить также с выражением коэффициента давления для тонкого клина с углом при вершине, равным 2д, которое имеет следующий вид: С 28 28 о = )г мв Рост давления при переходе из невозмущенной области к поверхности конуса оказывается значительно менее сильным, чем в случае клина, и имеет величину порядка де!и(!!'д) по сравнению с д. Меньший рост давления обусловливается влиянием трехмерности течения, за счет которой поток около конуса получает „большее пространство для приспособления к новым условиям". В случае конуса слабее проявляется зависимость решения от числа Маха, причем решение для очень тонких конусов практически уже не зависит от этого числа.
Если подсчитать коэффициент давления вдоль линии, параллельной оси, т. е.линии г = сопа1, то можно подметить еще одну характерную особенность. На фиг. 100 демонстрируется график распределения давления между конусом Маха и поверхностью конуса. При обтекании клина все изменения давления происходят в идущей от вершины ударной волне, тогда как при обтекании конуса происходит непрерывное возрастание давления в направлении вниз по потоку от конуса Маха. Это характерное различие между упомянутыми двумя случаями уже упоминалось в п.
9.7. Теория обтекания тонкого тела не обнаруживает скачка давления в волне, идущей от вершины конуса (ср. с фиг, 52). Соответствующий коэффициент давления определяется как Ср — — — — — ( — ) = 2д'(1и — — — ) (9.32в) 9.И. Сопротивление тонкого тела 281 ~ (9.32г) Фиг. 100. Распределение давления между головной ударной волной и поверхностью тонкого клина и тонкого конуса. Этот общий результат может быть получен с помощью метода подобия, который будет рассматриваться в гл. 10. 9.12. Сопротивление тонкого тела Приведенные в предыдущем пункте результаты для тонкого конуса были получены путем аппроксимации точного решения. Можно прийти к тем же самым результатам за счет непосредственного упрощения общего интегрального решения (9.20): р(х,г) =— 1(Й "в У (х — в)е — Л'г' 'о При этом условии упомянутая аппроксимация будет пригодна не только для конуса, но и для тел произвольного профиля.
Аппроксимация решения применительно к случаю тонкого тела проводится путем оценки величины интеграла при малых значениях г, или, точнее, при малых значениях Ь./х. В связи с наличием у подинтегрального выражения особенности, прояв- Соотношение, определяющее коэффициент давления на поверхности тонкого конуса (формула (9.32в)1, может быть представлено в функциональной форме: 7 = ~(б)'М. — 1) 282 Гл. Р. Тела враи(ения. Теория теяхаге тела ляющейся при приближении к верхнему пределу, указанную оценку следует производить с известной осторожностью.
Рассматриваемый интеграл можно расчленить на две части: х-хг-е х — Аг 1(Ф) ае !(в) 4: ч = — 7,— 7е=— У (х — в)г — Л'г', / !г (х — Ю)г — Л'г' о х — хг--е Подинтегральное выражение, стоящее в первом интеграле, может быть разложено в ряд по степеням Лего, — + Лв г' — 1(') + 1 (х — Е)г — Лгге х — в 2 (х — Е)е после чего каждое слагаемое можно интегрировать отдельно; в результате при Лг — 0 получается, что У, = 7(0) 1п х — 7(х) !и е + ( 1'($) 1и (х — б)г(с + е/'(х) !и е. о Второй интеграл можно переписать, используя подстановку (9.22) и выполняя разложение в ряд по степеням Лг: Аг еЫГХг-~-е! ~ Лг1 Уе = / 7(х — Лг сЬ а) е(а = о 1 (9.33а) Аг еопег+епмп Аг еы(хг+е) Мг] = 7(х) ) еЬ вЂ” Лг ! /'(х) сп аеЬ+...
о о После этого при Лг 0 получим Уе= 1(х) 1и — л+ ((х) 1и е — е('(х). В случае остроконечного тела первый член в выражении для 1, равен нулю, поскольку 1(0) = 0 (см. п. 9.10). Второй член в этом выражении и второй член в выражении для Уо взаимно уничтожаются. Наконец, величину е можно сделать сколь угодно малой, получая при г 0 следующий результат: х т = — — /(х) 1и — — ) Г'(о) 1п (х — 4) е(б. ~ (9.33) о Этот результат справедлив не только для конуса, но и для всех осесимметричных тонких тел произвольного профиля. Чтобы найти функцйю 7(х) для данного тела, мы должны использовать граничное условие (9.7). Радиальная составляющая скорости выражается следующим образом: о = — = — г или гг = 1(х).
ди 1(х) дг г 0.72. Саар«та«ление томного тела 283 На поверхности тела г =,1с и, таким образом, гг(Х) = (и)егло Р. С другой стороны, условие касания линии тока с поверхностью имеет вид Следовательно, интенсивность источника определяется выражением «х 2л «х я и«з ~(9.33б) где 8(х) =л1со — площадь поперечного сечения тела, соответствующая координате х. Очевидно, что 1(О) = О, если )х = О, т. е.
если в носовой части контур тела замыкается. Условие 1(О) = О относится не только к остроконечным телам. Однако допустимая степень затупленности ограничивается определенным пределом (см. упражнение 9.1). Интересный результат, следующий из выражения (9.33б), состоит в том, что интенсивность источника пропорциональна лишь местному значению производной функции, характеризующей зависимость площади сечения тела от осевой координаты. Если тело очень тонкое, то „далеко расположенные" части тела не оказывают влияния на условия течения в данной точке.
Интенсивность „отбрасывания" жидкости в окрестности какого-либо сечения тела зависит, следовательно, исключительно от-местного значения упомянутой выше производной. Таким образом, осесимметричное течение вокруг тонкого тела вращения с замкнутым контуром носовой части, имеющего в меридиональном сечении произвольную (плавную) форму, определяется решением следующего вида: Ч (х,г) = — 2 Я'(х)1п ~, — — )' Я"($) 1и (х — $) е(с; ~(9.34) о х ы = 2 1" ь —,х ) б (4)1п(х б)оЧ' ~(9'34а) и 3 "(х) 2 1 о о о'(х) й (Я (Г 2лг Г «Х ~ (9.34б) Коэффициент давления на поверхности тела при г =)х выражается так: х С = о (х) 1п 2 -1- 1 „~~ ~ З'(~) 1и (х — б)'1ц — ( — ) ° (9.34в) о 284 Гл.
й. Тела вращения. Теория тонкого тела Покажем теперь, как использовать это выражение для расчета сопротивления. Давление р, действующее по окружности показанного на фиг. 101,а элемента площади поверхности в произвольном сечении х, распределяется равномерно по всему контуру сечения. Нормапоная проекция впемгкана ппщеел1и цз(л1-ъ ннв=г Я ип стс Фиг.
101. Давление, действующее нл осеснмметрнчное тело. а — влемелт площади поверхности; а — подроавая схема тпаааппото элемента. Это давление порождает силу сопротивления, поскольку поверхность имеет некоторый наклон к оси и, как показано на фиг. 101,б, давление действует на нормальную проекцию элемента площади бЯ = 2я)са)а'. Следовательно, сопротивление выражается как ь ь Р = ) Р ИЯ вЂ” Рв ЯЮ = ) (Р— Р,) с(8 + (Р— Рв) 8((-), а о или в безразмерной форме как ь 11 1 Г аз СР = о Ц- = 8— 1) 1 СР— бХ + Сяв = Сна + Све.
о Последний член характеризует ту часть сопротивления, которая определяется воздействием донного давления рв. Величина последнего связана с теми механическими процессами, которые происходят в спутной струе и законченной теории которых пока что не существует. Значения коэффициента донного давления С в приходится получать экспериментальным путем. Для подсчета интеграла, входящего в последнюю формулу, можно заменить С„выражением (9.34в). Таким образом, ) С„Я'(х) с(х = — ) 8'(х) Я"(х) 1п „ с(х — ) ( †„) Я'(х) бх + о о о ь л + — ) Я'(х) д ) Я"(Е) 1п(х — б) ИбФ а о 9.И.
Сопротивление тонкого тела 288 Первый и последний интегралы в правой части выражаются соответственно так: У, = — — ~ 1и — - е((Я'(х))' = о =-И(')' 71';+ Х~'Ф)'" о х 1. = ( [о'(х) ) 8"($) 1п(х — с) йс) о Ъ х — — ~ 3" (х) ~ 8" (9 1п (х — «) е(Е е(х = о о = — '3(Е)~3.®1 (Š— 8)й8 о — —.' ~'~ 8.(х) Я"($) 1п(х — $) йбйх. о о Комбинация этих выражений со вторым интегралом приводит к следующему результату для коэффициента сопротивления передней части телж С, =, 1п „,ц+ — 13"(~) 1п(Š— 4)й8 [8'(Е)1' 2 Я'(Е) о ь х — — ~ ~ Я"(х) Я'(б) 1и (х — $) е% е(х.
(9.35) о о Если Я'(Е) = О, то первые два члена этого выражения обращаются в нуль. Поскольку 8' = 2нИг', этот частный случай имеет место при выполнении одного из следующих условий: 1с(Е) = О, тело имеет замкнугую форму контура в донной части; или И'(Ь) = О, наклон контура тела в донной части равен нулю. В этом случае коэффициент сопротивления определяется таким выражением: ь х Б(Е) С„, = — — ) ) 8'($) Я" (х) 1и (х — с) е(е е(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
