Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 59
Текст из файла (страница 59)
тех граничных условий, которые могут быть наложены на течение, и об ограниченности областей влияния этих условий. Все это принципиально отличается от того, что имеет место в лапласовом, или эллиптическом, поле, где область проведения Гб. )б. Метод характеристик 344 расчетов должна быть ограничена со всех сторон и где каждан точка подвергается влиянию всех других точек, лежащих в той же области.
К сожалению, здесь мы не имеем возможности более глубоко разобраться в этих интересных вопросах. На практике обычно бывает ясно, какова корректная постановка граничных условий в рассматриваемых случаях. Пример построения сетки характеристик приводится на фиг.
117. В канале с прямолинейными стенками, расходящимися Там~о е гс кол в нв е- -в а-о,-лб б =б О-б-б л е б л,а !о~а) в=)л!в-б) ч-)!По+в)-лг в арб"б), л Ч лял .вл-лл во тел+ Ц -гб Про лро Ооотло Ф и г. )!7. Расчет течения в расширяющемся канале под углом 12', создается радиальное течение, причем на дуге ай число Маха равно 1,436. Требуется рассчитать поле течения вниз по потоку от этой дуги. Разумеется, так как течение радиальное, то здесь зто может быть сделано очень просто по соотноШениям площадей сечения.
Однако такой пример может служить хорошей иллюстрацией применения метода характеристик и дает возможность проверки точности этого метода. В таблице на фиг. 117 указываются граничные условия, задаваемые на дуге аИ и на стенках канала. Эти 'условия выражаются значениями в и й, по которым легко рассчитать соответствующие значения 9 и )с в тех точках, где это требуется.
Приводятся типичные результаты расчета для точки е, лежащей внутри канала, и для точки )), лежащей на стенке. 12.5. Точки, лежащие внутри поля нотона и на его границе Как показывает приведенный выше пример, граничные усло'вия вполне обеспечивают возможность проведения расчетов. На границе потока один из двух инвариантов Римана остается 12.5. Точки, лежащие внутри паля и на ега границе 345 неизвестным, но вместо него может быть определено значение одного из двух других переменных.
Так, на твердой границе задается угол О, тогда как на свободной границе типа поверхности струи задаются значения отношения давлений р/рб и, следовательно, значения р. О-я+О О р-д =ма+О) О .ШОУ-я) ,) Ф и г. 118. Данные, необходимые для расчета параметров течения в точке 3. о — схема табуянровання; 6 — точна внутрн поля потова; е — точна на твердов гравице; е — точна на евободнон границе. Ф и г. 119. Расчет параметров течения в точке 3, лежащей непосредственно ва ударной волной. Существующие возможности можно классифицировать в виде табличной схемы так, как показано на фиг. 118. На этой фигуре чертеж а представляет собой схему табулирования.
На чертеже б показана точка 3 внутри поля потока, значения (~ и 1т в которой определяются из данных для точек 1 и 2 соответственно. На -чертеже в значение с1 определяется из данных для точки 1, а значение О задано; на чертеже г задается значение м В каждом 13 случае задаются какие-либо две величины, так что две другие могут быть вычислены из уравнений, приведенных на фиг. 118,а. Иногда необходимо произвести расчет течений, в которых возникают ударные волны; 1 примером может служить течение около профиля, показанного на фиг.
43,б. Иллюстрацию метода расчета дает фиг. 119, где требуется рассчитать параметры течения в точке 3, лежащей непосредственно за ударной волной. Величина 1т в этой точке определяется из данных для точки 1. Другая величина определяется из соотношений на ударной волне. Она выражается не в явном виде, а в виде соотношения между ув и О,. Таким образом, параметры в точке 3 могут быть определены. По этим параметрам определяется угол наклона ударной волны О, что позволяет начертить следующий 34а Гн. Ы.
Метод характеристик участок ударной волны. Если ударная волна сильно искривлена, то течение за ней оказывается завихренным и должны применяться уравнения, которые будут выведены в п. 12.7. 12.6". Осесимметричное течение Проведенное в предшествующих пунктах исследование двумерного течения показывает основные свойства метода характеристик. Существует также теория характеристик для общего случая трехмерных течений, но связанные с ней расчеты чрезвычайно — трос б Фиг. 1йп.
Координаты, применяемые при исследовании осесимметричного течения. а — естественные координаты; С вЂ” сетка характеристик. сложны. Однако метод расчета двумерных течений легко обобщить на случай осесимметричного течения, в котором фигурируют лишь две независимые и две зависимые переменные. В этом случае уравнения движения (упражнение 7.1) таковы: седая а ад еы В тк ао он г ~ (12.10) ап ао — — — — =О, и ап ао где величины и и О определяют скорость в меридиональной плоскости (фиг.
120,а). Первое уравнение отличается от случая двумерного течения только своим последним членом. В тех точках, расстояние г которых от оси велико, этот член оказывается малым и течение имеет практически такой же характер, как в двумерном случае. Второе уравнение, условие отсутствия вихрей, остается неизменным. Если все члены первого уравнения умножить на 1д еа, а все члены второго уравнения — на си,и оси ее, то уравнения примут 12.9*. Оеееимметричиое течение 347 следующую форму: а. ав ппв — - 1б р — „= 1й и — „ ве ап а.
ав 1я р — „—,— = 0. ап а=. Это соответствует уравнениям (12.5) для двумерного случая. Складывая и вычитая эти уравнения так, как делалось прежде, а также применяя преобразования (12.6) и (12.7) для приведения к характеристическим координатам, мы получим д $!и 9 — (и — О) = З!П 1е — ~ ач а $!п в — (~+ 0) = 3!П 1$ ° аг ~ (12.11) Проинтегрировать эти уравнения таким же образом, как прежде, здесь невозможно, поскольку процесс связан с геометрическими особенностями течения, определяемыми переменной г. Интегрирование должно теперь производиться численно, от точки к точке, одновременно с построением сетки характеристик.
На фиг. 120,б изображен характерный элемент сетки, где параметры течения в точке 3 должны быть определены на основании данных, известных в точках 3 и 1. Пользуясь уравнениями (12.11), мы можем написать, что вдоль отрезков характеристик выполняются следующие соотношения: а 8 )'е((у 0) )'($1п р еепв) б„, е е )' б(„+ 0) )' (91п „$!и в),И 1 1 Так как размеры ячейки малы, то величины, заключенные в скобки под знаком интегралов в правых частях, можно приближенно считать постоянными на всем интервале интегрирования н имеющими значения, известные по данным в точках 1 и 2 соответственно.
В результате получается, что ($$ — 0$) — ($$ — 0$) = гбп 1$$ е(е!$$ $!и в, 8!и 91 ($$ + 0$) — (, + 0$) = $1п 1й е ~ 0$$, где Лпее и И$$ — длины отрезков, отсчитываемые вдоль характе- 348 Гл. 73. Метоб характеристик ристик в! и с. Решение этих двух уравнений выглядит так: 1 .1 "З = З ("1 + "З) + З (из чв) + 1 Г . в!и В, в!и В, + з (Б1п Рз л1сзз + з!п Рв — Лчзз) ' (12.! 2) Вз- З (вз вв)+ —,'(Вз+ б)+ 1 г. з!пд, в!и В, + — (з(п рз — '4ք— 81п рв ' Ав! ). гз г, Эти выражения отличаются от формул (12.8) для двумерного случая только тем, что здесь имеются добавочные члены, зависящие от геометрических особенностей конкретной задачи. Фигурирующие в этих членах расстояния рассматриваемых точек от оси гз и г„а также длины стоРон Ячейки аяза и л1сзз должны опРеделяться путем измерений на чертеже, изображающем поле течения, или путем вычислений.
Помере приближения к оси величина этих членов все возрастает. М1 Чоипь паля вблизи узповод точки Распае3епение давление вдоль поввохпости Ф и г. 121. Расчет поля течения около комбинации конуса с цилиндром. Пример расчета поля осесимметричного течения около комбинации конуса с цилиндром дан на фиг. 121. Прежде чем приступить к самому решению методом характеристик, нужно проделать некоторые предварительные построения. В области до первой линии Маха, идущей из угловой точки контура, течение является коническим (пп. 4.21 и 9.9). Положение этой линии Маха определяется 349 12.7*.
Неиеентропичесхое течение просто путем вычерчивания отрезков, наклоненных под местным углом Маха к местному направлению потока, причем построение начинается из угловой точки так, как это показано на увеличенной схеме части поля. Угол Маха и направление в каждой точке определяется из решения для конических течений. Положение других отрезков линий Маха, идущих из угловой точки также легко определяется в связи с тем, что течение а охресшноспш мпой точки эквивалентно двумерному течению расширения Прандтля — Майера (упражнение 12.3).
После этого можно начинать построение сетки характеристик и расчет параметров в точках 4, 5 и т. д. Как видно из показанного на фиг. 121 графика распределения давлений, после создающегося за угловой точкой разрежения давление снова повышается, приближаясь к своему значению в невозмущенном потоке. Взаимодействие течения расширения с ударной волной начинает впервые проявляться вниз по потоку от точки е. Для получения точных результатов расчеты в области, лежащей вниз по потоку от линии ае, должны производиться с учетом завихренности, хотя обычно ударная волна и волна разрежения не являются настолько сильными, чтобы их взаимодействие давало ощутимый эффект.
12.7". Неизэнтроиическве течение В предыдущем примере интенсивность ударной волны начинает убывать в точке И, т. е. в точке начала взаимодействия этой волны с волной разрежения. За искривленной ударной волной энтропия изменяется при переходе от одной линии тока к другой, и уравнения изэнтропического течения в этой области не являются строго справедливыми. Взамен их следует использовать уравнения с!пер дв дд е!и д — У ае ап 1а ао тдз ! 4п, е. в дп ае ве Еп ве оп Второе уравнение было выведено в гл.
7 [см. уравнения (7.32)— (7.34)]. Преобразование этих уравнений к характеристическим координатам производится точно таким же образом, как в предыдущем пункте, и дает следующий результат: а е!и д совр е п8 аи,1 — (у — 0) = з!п,и —— ач е ве !, Фп Ип ) (7.— — — ). а е!и д сое р / оз оае1 — (е+ а) = з1п и — + де е ве ! оп Фп ) (т е). 350 Гл. 72.
Метод характеристик Последние члены в правых частях обоих уравнений можно записать как производные вдоль характеристик, пользуясь для этого геометрическими соотношениями, ясными из фиг. 115,б: — „= созес сз — „= — созес р. дч ае Зп ди После этого интегрирование по малому элементу сетки позволяет получить уравнения ми о, тз — О. = тз — О. + азп Р. ' г(Ч.,— гз — — """ (т,р, — з,) — (»„— » )), з!п 9, "з + Вз = тз + Вз + з)н рз АЦзз— Гз — ' „."' (Тз(8з — 8з) — («оз — «оз)1 (12.! 3) Эти уравнения могут быть разрев, шены относительно ез и В,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
