Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Как можно заметить, при ра- 3' счете нам потребуются значения Я Зз и », в точке 3. Эти значения могут быть определены следующим образом (фиг. 122). Как только определилось положение точки 3, г в можно приближенно указать направление проходящей через нее линии тока, для чего вычерчивается линия, имеющая угол наклона 0' = зса(0 + Вз) и пеРесекающая линию задания в точке 3'.
Параметры 3 й», остаются неизменными вдоль линий тока, а поэтому их значенйя в точке 3 равны известным значениям в точке 3' на линии задания. Ф и г. 122. Линия тока, проведен ная через точку 3. 12.8. Теоремы о двумерном течении Оставшуюся часть данной главы мы посвятим дальнейшему исследованию некоторых особенностей двумерного сверхзвукового течения, для которого имеются следующие соотношения совместности: т+ В = 9 на характеристиках $, т — 0 =- 1с на характеристиках и. С помощью этих соотношений, не зависящих от геометрических особенностей каждого конкретного течения, могут быть получены следующие полезные теоремы. 12.8.
Теоремы в двумерном течении 351 В поле течения можно выделить три рода областей: 1)область общего типа, или область сложного течения, 2) простая область, иногда называемая простой волной, 3) область однородного течения, или область неизменного состояния.
Область общего типа изображена на фиг. 123. Характеристики в ней искривлены, причем каждой из них соответствует одно определенное значение )с или !4. Значения т и 0 в тачке пересечения а, Ф и г. 123. Характеристики н обла- сти сложного течения. Ф и г. 124. Характеристики а простой области.
каких-либо двух характеристик находятся из решения вышеприведенных уравнений =- 2 Ж+ й) 0 = 2 И вЂ” й). 1 1 (12.!4а) Аналогично этому при движении вдоль характеристик семейства 0 имеем 2 (12.14б) Таким образом, изменения параметров течения легко определяются, если на характеристиках известны значения ег и 1~. Рассмотрим, далее, простую область, или простую волну, которая определяется тем условием, что один из инвариантов Я или )с оказывается постоянным во всей области. Такая область изображена на фиг.
124, где все характеристики семейства т1 соответствуют значению ее =)ео. Тогда из уравнения (12.14б) следует, Если двигаться вдоль характеристики семейства тЬ инвариант 1е будет оставаться постоянным, так что изменения т и 0 будут зависеть только от изменений инварианта Д, обусловленных пересечением данной характеристики с характеристиками семейства Ю. Таким образом, здесь Лт = — е)О = е)0. 1 2 Зб2 Гл. 72. Метод характеристик что величины в и О, каждая о отдельности, постоянны вдоль характеристики О, в связи с чем зги характеристики должны быть прямолинейными.
Следовательно, в простой волне одно семейство характеристик состоит из прямых линий, на каждой из которых параметры течения постоянны. Изменения параметров течения, происходящие при пересечении этих прямолинейных характеристик, связаны условием Ас= ~ АО, 1ь (12.15) в котором знак зависит от того, принадлежат ли прямолинейные характеристики к семейству О или к семейству и. Это соотношение отличается от уравнений (12.14) тем, что оно выполняется на любой линии, пересекающей прямолинейные характеристики, в частности на линии тока. Фиг.
125. Характеристики в области однородного течения. Наконец, область неизменного состояния, или область одно$=. одного течения, — это такая область, во всех точках которой = есв и 9 = 9,. На этом основании значения с и О также постоянны, и оба семейства характеристик состоят из прямых линий, образующих такую сетку параллельных линий, как показано на фиг. 125.
Пример течения, в котором имеются все три рода областей, был приведен на фиг. 36. Как показано на этой фигуре, в области однородного течения линии Маха обычно не изображаются, в простой волне вычерчиваются лишь прямолинейные характеристики, а в области сложного течения — оба семейства характеристик. Можно заметить, что область однородного течения не имеет общей гранис)ы с областью сложного течения (за исключением одной точки). Это общая теорема, которую легко доказать, если попытаться сделать построение для противоположного случая, помня при этом сделанные выше определения. Данная теорема оказывается весьма полезной при построении полей течения.
12.9. Метод расчета е помощью слабых волн конечной амплитуды Метод построения двумерных полей сверхзвукового течения с помощью волн был кратко описан в гл. 4. Если используются слабые волны, то можно разработать процесс расчета, эквива- 333 72.9. Метод расчета с помощью слабых воли лентный методу характеристик (см. п. !2.12). На практике он и называется обычно также методом характеристик.
Однако принципы подхода к решению в обоих методах несколько различны. В первую очередь необходимо помнить, что характеристики и волны — зто не одно и то овсе. Иллюстрация их различий и сходственных черт дается фиг. 126. На фиг. 126,а и стенка, и сам поток характеризуются плавными линиями. Показано несколько прямолинейных характеристик одного семейства. Мы могли бы начертить любое число таких характеристик, проходящих через любые точки стенки. Характеристики другого семейства здесь не показаны.
а й У Фиг. 126. Аппроксимация криволинейной стенки рядом прямолинейных отрезков (на схеме в идущая от каждого угла волна разрежения изображается с помощью одной линии). На фиг. 126,б стенка аппроксимируетея рядом прямолинейных отрезков, пересекающихся под конечными углами. При этом поле делится на участки однородного течения веерами расширения, или волнами, расходящимися от угловых точек. Эти волны являются простыми, так что изменения параметров течения при их прохождении связаны данным в предыдущем пункте соотношением (12.15) От= ~.дО. Знак „плюс" соответствует волнам, идущим от стенки, расположенной вверху, как на фиг. 126, тогда как знак „минус" соответствует волнам, идущим от стенки, расположенной внизу; величина АО считается положительной при отсчете против часовой стрелки. На фиг. 126,в дальнейшее упрощение осуществляется путем замены каждого веера одной линией, для чего используется центральная характеристика.
Изменения параметров течения при переходе через зти „волны" будут теперь скачкообразными, что, однако, дает не ббльшую потерю точности, чем замена действительной стенки прямолинейными отрезками. Если стенка имеет вогнутую форму, то ее наличие приводит к плавному сжатию, процесс которого может аппроксимироваться с помощью ряда слабых ударных волн, как это делалось в п. 4.8. 23 зовов Гл. 7г. Метод характеристик 354 Приведенные выше уравнения для определения изменений параметров течения могут использоваться при этом в прежнем виде. Каждая из волн располагается посредине между характеристиками разделяемых ею полей однородного течения (упражнение 4.2). Это правило совпадает с тем, которое дано выше для волн разрежения.
В общем и целом, метод слабых волн состоит в замене плавно изменяющегося потока рядом участков однородного течения со „скачками" между ними. Эти скачки происходят в месте расположения волн. До сих пор мы рассматривали только простые течения, в которых все волны относятся к одному семейству. Для распространения метода на сложные течения нам понадобится знать законы взаимодействия волн, принадлежащих к различным семействам.
12.10. Взаимодействие волн Возможность использования слабых волн конечной амплитуды для построения плоских течений связана со следующей теоремой: Пересечение слабой волны с другими такими же волнами не отражается иа ее интенсивности. Под термином „интенсивность" здесь подразумевается тот угол отклонения АО, который создает рассматриваемая волна.
Иллюстрацией данной теоремы служит фиг. 127. На фиг. 127,а демонстрируется случай пересечения двух простых волн разрежения, для которого теорема легко доказывается на основании о б о Ф и г. 127. Иллюстрация теоремы о сохранении интенсивности волны после ее пересечения с другой волной. е — перееечевве ваяв раережеввж б — приближенная форма прелсчаввеввя пРоцес- еа св е — перееечевве волн сжатия. того, что по обе стороны области пересечения поток проходит через одни и те же характеристики. На фиг. 127,б волны разрежения изображаются одиночными линиями. Фиг. 127,в иллюстрирует ту же теорему для случая волн сжатия (упражнение 4.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
