Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 65
Текст из файла (страница 65)
е. области распространения возмущений давления. Кроме ') Замена 1 на х/и применяется в гидромеханике очень часто. Не всегда легко получить условия, при которых зта замена была бы строго обоснованной. Однако соотношение (13.31), выражающее обычно лишь оценку порядка величин, превращается в точное равенство, если величина и оказывается очень большой по сравнению с иг1дуцируемыми скоростями и в жидкости не действуют никакие силы. Иначе говоря, если 1)и ди дп — = — +и — =о, Вг аг ае то а д — = — и— аг дх пространяется с некоторой эффективной скоростью с, причем с Я ° Теперь понятия о величинах с и б следует распространить на решение данной задачи, где мы имеем дело с установившимся течением.
В 'этом случае существует простая связь между временем 1, расстоянием х от передней кромки и средней скоростью й: 1 — ° (13.31) 376 Гл. еЗ. Влияние влвиоети и теплопроводноети того, на данном этапе мы уже можем отметить, что последний вид представления числа Рейнольдса наводит на мысль о существовании важной комбинации чисел Рейнольдса и Маха, а именно комбинации, определяемой отношением и!с. Это отношение а Уйе е м (13.35) представляет собой параметр, играющий очень важную роль в задачах о гиперзвуковом течении. На основании сказанного при решении нашей задачи об обтекании плоской пластины мы можем ожидать, что существует область влияния, толщина которой возрастает от нуля у передней кромки до максимального значения ~/и у задней кромки. Эта область называется пограничным слоем, если б!! ~ 1, т.е. если число Рейнольдса очень велико.
При выполнении этого условия пограничный слой всюду — за исключением, может быть, окрестности передней кромки — будет очень тонким и весьма медленно утолщающимся. Это обстоятельство влечет за собой три важных следствия, являющихся фундаментальными в теории пограничного слоя. 1. Градиент давления поперек пограничного слоя равен нулю. Следовательно, распределение давления по поверхности пластины воздействует лишь на составляющую количества движения жидкости, направленную вдоль оси х, причем воздействие осуществляется лишь за счет касательных напряжений.
2. Только одна составляющая тензора напряжения отлична от нуля. То же самое относится и к теплопередаче. Следовательно, члены, определяющие напряжения и теплопередачу, будут здесь теми же, что и для течения Куэтта, в котором отсутствует изменение каких-либо переменных вдоль оси х. 3. На любом расстоянии х от передней кромки течение не зависит от длины пластины !. Таким образом, в рамках теории пограничного слоя пластина длиной ! эквивалентна начальному участку полубесконечной пластины, имеющему длину !.
Этот очень важный эффект (или отсутствие эффекта) обязан своим происхождением тому, что слой, рассматриваемый в теории пограничного слоя, очень тонок и что диффузия завихренности происходит поэтому в направлении нормали к поверхности').
') В случае малых чисел Рейвольдса, т. е. толстых слоев, диффузия завихренностп происходит как в направлении нормали к пластине, так и в направлениях вверх и вниз по потоку, так что при Гсе — 1 течение становится симметричным. Передняя и задняя кромки начинают при этом играть одинаково важную роль. 13.7. Уравнения Прандтля для случаи плоской пластины 377 Справедливость утверждения 1 связана с тем, что кривизна линий тока, равная нулю при отсутствии вязкости, остается очень малой и при наличии тонкого пограничного слоя, а следовательно, тот перепад давления, который может уравновешиваться центробежными силами, на самом деле очень мал. Утверждение 2 основывается на том, что градиенты скорости и температуры по нормали к пластине внутри тонкого слоя оказываются очень большими, ди/Зу У/Ь, тогда как такие же градиенты в направлении оси х очень малы, Зп/дх 1//Д Касательное напряжение и теплопередача пропорциональны этим градиентам.
Утверждение 3 тесно связано с утверждением 2. 13.7. Уравнения Прандтля для случая плоской пластины Основываясь на рассуждениях, проведенных в п. 1З.б, мы можем теперь вывести дифференциальные уравнения для пограничного слоя на плоской пластине. Эти уравнения будут относиться к общему случаю течения сжимаемой жидкости при наличии теплопередачи; единственное (и не очень серьезное) ограничение будет состоять в том, что движущаяся жидкость должна представлять собой совершенный газ, имеющий постоянную удельную теплоемкость.
На основании качественного анализа, данного в п. 1З.б, ясно, что искомые уравнения должны иметь много общего с уравнениями для течения Куэтта. Основное их отличие состоит в том, что теперь в потоке имеются изменения в направлении оси х. При течении Куэтта и = и(у), так что уравнение неразрывности выполняется автоматически: Здесь же п = и(х, у), так что должна существовать и составляющая и(х, у), а уравнение неразрывности должно быть включено в общую систему уравнений.
Кроме того, члены, соответствующие переносу количества движения и энергии в случае течения Куэтта были равны нулю. Здесь эти члены необходимо принять во внимание. Система уравнений пограничного слоя для установившегося двумерного течения имеет следующий вид: уравнение неразрывности — + — ', =О, ~ (1З.Зба) дои Здо Зх ЗЕ и' ддио Зс уравнение количества движения — + — = — ~ (13.3бб) Зх Зу ду уравнение энергии ( „' + ' — ( у+хи).
~ (13.3бв) В левых частях этих уравнений стоят члены, соответствующие процессам переноса и равные нулюпри течении Куэтта. Эти члены можно взять из уравнений, данных в гл. 7 для случая течения невязкой жидкости [см., например, уравнения (7.10), (7.13) и (7.25)). Члены, характеризующие воздействие вязкости и фигурирующие в 378 Гл. И. Влияние вязкости и теллолроводности правых частях уравнений, остаются теми же, что при течении Куэтта (записывая уравнение энергии, мы пренебрегли величиной ',гз са, ' малой по сравнению с величиной ',4иэ). Нам будет удобно переписать уравнение энергии так, чтобы в него вошла знакомая нам величина') /= — и'+ 1).
1 2 Так как из рассмотрения одномерного течения и течения Куэтта мыужезнаем,чтодлянекоторыхзадач/ = сопз(, топреимущество введения этой величины очевидно. В результате получается уравнение — + — = — ( — ч) дои,у д~ У д дх ду ду ~ (13.36г) представляющее собой более удобную форму записи уравнения энергии').
Члены, входящие в зти уравнения и характеризующие касательное напряжение и тепловой поток, могут быть выражены через градиенты скорости и температуры следующим образом: дп т =(в— ду дТ 1 дТ б = — )г — = — — ггс— ду Рг Р ду где Рг =— срл (г представляет собой число Прандтля. 13.8. Характерные результаты, получаемые из уравнений пограничного слоя Общее решение задачи об обтекании плоской пластины, т.
е. решение системы уравнений (13.36) при заданных значениях У и при конкретных данных о распределении температуры или об условиях теплопередачи у стенки, является весьма громоздким. Прежде чем дать описание аналитических методов решения, мы рассмотрим некоторые результаты, для получения которых требуется очень небольшой объем вычислений'). ') Здесь принято обычно использовать обозначение (,а не дв(ср.с уравнениями в гл. 2 и 7).
') Левая часть этого уравнения также может быть получена непосредственно из уравнения (7.25) для случая установившегося течения. ') Записывая нужные уравнения, мы для удобства будем считать ср постоянным. Однако от этого допущения нетрудно отказаться. Так как р постоянно, то ба = срг(Т и все результаты остаются справедливыми, если грТ заменить на а = ) срг(Т [см.
уравнение (13.11) и его обобщение, уравнение (13.11а)1. 379 1З.В. Характерные результаты 1. Касательное напряжение в непосредственной близости от стенки остается постоянным. Это значит, что дъ/ду - О при у — О. Данный результат является прямым следствием уравнения количества движения (13.3бб). В левой части этого уравнения фигурируют квадраты или произведения и и о. При у — О эти члены становятся сколь угодно малыми, так что в результате остается равенство ф,=о. (13.37) 2. При числе Прандтля Рг = 1 существует простой интеграл энергии, подобный тому, который был получен для случая течения Куэтта. При Рг = 1 мы имеем простое выражение эт ает а= — й — = — р — а — ° Эу ду Отсюда следует, что уравнение энергии (13.3бг) принимает вид Уравнение (13.38) будет наверное удовлетворяться, если ,/ = сопв1, т. е.
если 1 1 2 — и' + с„Т = сопв1 = — Пе + с Т, где Т вЂ” температура в невозмущенном потоке. Но (! + срТС, срТа~ где Т, — температура торможения. Мы получаем, следовательно, что равенство 1 — и'+ с„7 =с„Т, ~ (13.39) является одним из возможных интегралов уравнения энергии для пограничного слоя. Можно показать, что равенство (13.39) соответ. ствует условию отсутствия теплопередачи через стенку, т.е.
случаю теплоизолированной пластины. Действительно, если все члены равенства (13.39) продифференцировать по у, то получится, что ди Эт и — + с — = О. эу о ау = Так как и — О при у — О, то отсюда следует также, что дТ(ду — О и а- О. Следовательно, при числе Прандтля, равном единице, температура теплоизолированной пластины оказывается раей Т. 380 Гл. 73. Влияние внвновти и теплопроводновти 3. При Рг = 1 нетрудно обобщить этот интеграл энергии и на тот случай, когда имеется теплопередача через стенку; способ этого обобщения аналогичен тому, который применялся при исследовании течения Куэтта. Положим, что / = с„Тш + сопз1 и, (13АО) где Т обозначает теперь постоянную температуру стенки.
Мы видим, что уравнение (13.38) при этом по-прежнему удовлетворяется, поскольку первый член выражения (13.40) обращает обе части уравнения (13.38) в нуль, а второй член превращает это уравнение в уравнение количества движения (1З.Збб). Поэтому выражение (13.40) является другим решением уравнения энергии, а входящая в это выражение константа просто связана с теплопередачей через стенку. Из условия ~ а + срТ = срТ~+ сопз1 ° а 1 можно рассчитать градиент температуры у стенки и получить, что с соивс 2. й т я ш Так как по условию Рг= 1, то мы получаем отсюда сопз1 = —— Чш вш Таким образом, при Рг = 1 уравнения пограничного слоя имеют интеграл энергии — ив+ с Т = с„Тш — — "п, (13.41) о '" вш соответствующий постоянной температуре стенки Тш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
