Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Что касается вывода теоретических соотношений, более общих, чем уравнения Навье— Стокса, то это чрезвычайно трудновыполнимая задача. Ни одна из полученных до сих пор систем так называемых уравнений высшего порядка не является безукоризненной, и задачу об уточнении уравнений Навье — Стокса еще нельзя считать решенной. Кинетическая теория была разработана во второй половине прошлого столетия Максвеллом, Больцманом, Клаузиусом и другими. В то время самое существование молекул считалось не вполне доказанным. Проявляемый в настоящее время усиленный интерес к кинетической теории в ее приложении к газовой динамике связан с возможностью полетов на чрезвычайно больших высотах с очень большими скоростями. В аэродинамической литературе было много написано по поводу кризиса теории континуума и необходимости замены ее кинетической теорией. Эти утверждения (или их интерпретация) не всегда правильны.
Следует помнить, что общие уравнения газовой динамики, записанные в форме уравнений поля, служат констатацией тех законов, которые остаются справедливыми и в кинетической теории; эти уравнения будут применимы всегда, связывая между собой осредненные величины. Может случиться, что исследователь интересуется малыми областями течения или сравнительно малыми промежутками времени. Тогда измерения не дадут тех средних значений, которые связаны между собой уравнениями поля.
При этих условиях пульсации около упомянутых средних значений будут играть не только заметную, но и, может быть, решающую роль. Следовательно, при течении разреженного газа нужно ожидать наличия пульсаций параметров течения относительно их средних значений, вследствие чего возможность применения уравнений сплошной среды оказывается ограниченной. Кроме того, точность уравнений Навье †Сток может оказаться уже недостаточной, хотя пока что, по-видимому, нет конкретного примера подобных случаев. Наконец, может йонадобиться видоизменение граничных условий, например „условия отсутствия скольжения".
Во всяком случае, совсем нелегко ответить на вопрос о том, следует ли заменить газовую динамику газовой кинетикой; подходить к ответу на этот вопрос следует с большой о=торожностью. В последующих пунктах дается краткий и далеко не полный обзор понятий кинетической теории газов главным образом с той целью, чтобы ознакомить читателя с основными идеями и терминологией, а также чтобы еще более акцентировать сделанное выше предостережение. 74.2.
Понятия теории вероятностей 419 14.2. Понятия теории вероятностей Понятия теории вероятностей, используемые в кинетической теории, можно проиллюстрировать на примере задачи о бросании игральной кости. Предположим, что систематически бросаются две игральных кости, и результат каждого броска представляется графически на плоскости (фиг. 149), т.е. число очков, которое выпадает на первой кости, служит координатой х, а число очков, выпадающее на второй кости, — координа- У той у, Результат броска ре- й гистрируется или маркируется на соответствующем квадрате или „ячейке".
Если, например, бросок дает 5 очков на первой кости и 2 очка на второй, то соответствующая марка или „моделирующая точка" попадает в ячейку 5,2. г После очень большого числа бросков исследуема со- 1 ответствии с количеством маркировок, каково было о „везение" различных ячеек. г г о й й ю Если игральные кости явля- Фнг. 149. моделирующая плоскость.
ются идеальными, т.е. если вес материала распределен в них совершенно равномерно, то ни одна из ячеек не имеет никаких преимуществ перед любой другой, так что при условии проведения такого числа экспериментов, которое достаточно для справедливости статистической модели, распределение марок в плоскости х-у будет однородным. Как принято говорить, каждая ячейка имеет один и тот же вес. В нашем случае имеется Зб ячеек одинакового веса.
Таким образом, вероятность того, что будет выброшена какая- либо конкретная комбинация, например 5,2, составляет Р(5,2) = з— . 1 36 Вероятность любой другой комбинации значений (х, у) будет совершенно такой же. Ее можно выразить более общим способом, кбк отношение площади ячейки в плоскости х-у ко всей площади, т. е. 420 Гл.
74. Элементы газовой кинетики С помощью такой геометрической интерпретации вероятности мы можем получить два основных закона теории вероятности. 1. Вероятность Р(5) того, что бросок первой кости даст 5 очков независимо от результата другого броска, равна площади заштрихованной полосы на фиг.
149, деленной на общую площадь, т. е. р(5) А„+ Ат+... + Аи 1 А и Если записать это в более общей форме, то получим, что в Р(х) =- ~ Р(х,у). Р (14.2) р=1 Этим выражается закон сложения. 2. Каждая из „простых вероятностей", Р(х) и Р(у), равна 1/„а „совместная вероятность" Р(х,у) равна 1(рв. Это пример проявления закона умножения: Р(х, у) = Р(х) Р(у). (14.3) Закон констатирует, что совместная вероятность представляет собой произведение простых вероятностей. Он может применяться только при условии, что простые вероятности являются независимыми, т.
е. если вероятность результата х не зависит от вероятности результата у. Если речь идет о бросании двух костей, то сделанное предположение естественно, однако легко представить себе случаи, когда это не так, например две кости, соединенные жестким стержнем. Если кости имеют добавочную нагрузку, то задача становится несколько иной. Теперь моделирующая точка .будет отдавать предпочтение некоторым определенным ячейкам. Ячейки будут иметь теперь различный вес.
Для выражения вероятности вместо формулы (14.1) мы имеем теперь формулу Р(х, у) — "( 'у) хр — р( 'у) ° (14.4) ~ч„' ~ и(х,У)Ахр ~ч," ~ х(х,У) х 1р=1 х р причем второе выражение получается из первого путем деления числителя и знаменателя на постоянную площадь А„„. Величина ав(х,у) обозначает вес ячейки (х,у). Формула (14.4) переходит в формулу (14.1) при Чв = сопз(, например при Ч1 = 1. Если функция еу(х, у) известна, то вероятность результата каждого броска и связь между этими вероятностями может быть рассчитана так же, как и прежде. Но как получить вв? В принципе определение этой функции представляет собой механическую задачу.
Если задано распределение веса в кубическом го.2. Понятия теории вероятностей объеме (игральная кость), то его движение при заданных начальных условиях определяется зак дами механики. Однако процесс встряхивания кости в чаше и е бросания вносит в начальные условия элементы статистики, совершенно аналогичные таким же элементам в задаче о молекулярных движениях.
Следовательно, в общем случае приходится сочетать законы механики с законами статистики"). Имея в своем распоряжении определение вероятности, мы можем перейти к вычислению средних значений. Напрймер, нас может интересовать, каково будет среднее значение координаты х после очень многих систематически повторяемых бросков. Это среднее значение х определяется по формуле ,е,' ~ч'„' х о(х,у) х = ~~', ~~'., х Р(х, У) = " " ° (14.5) ~ ~ т(х,у) х о Можно видеть, что при вычислении среднего те значения х, которые, как ожидается, выпадают более часто, оказываются и более „весомыми'".
Величину х можно представить себе также в качестве отсчитываемой вдоль оси х координаты центра масс для распределения материальных точек с массами оо. Часто бывает очень удобным представлять собой функцию (о как функцию распределения масс. Тогда величины хе, ху и т. д. будутсоответствовать определенным компонентам тензора инерции. В общем случае среднее значение любой функции Р(х,у), связанной с координатами (х,у), может быть получено из формулы ~ч'„~ч„г(х,у) о(х,у) ф х о (14.6) „е,' ~ о(х,у) я и В нашем примере с бросанием игральной кости величины х и'у не могут изменяться непрерывным образом, иначе говоря, они могут иметь.
только дискретные значения. Данные нами определения нетрудно распространить и на случай непрерывных распределений' ) типа тех, которые используются в кинети- ') Для того чтобы игральная кость имела добавочную нагрузку, ее вес должен быть распределен таким образом, чтобы центр тяжести не совпадал с геометрическим центром.
Нетрудно видеть, что основной величиной, определяющей р(х, у), является разность значений потенциальной энергии кости в различных положениях последней. ') Для того чтобы распространить пример с бросанием костей на случай непрерывных распределений, представим себе сферическую игральную кость, на которой долгота и широта определяет координаты броска. 422 Гл. И. Элементы газовой кинетики ческой теории. Тогда „площадь*' ячейки становится равной йхау вместо единицы, конечные суммы заменяются интегралами, а функция аз(х,у) превращается в непрерывное весовое распределение или „плотность вероятности".
Таким образом, обобщением формулы, (14.б) служит формула ) ) Р(х,у) о(х,у)йхйу (14.7) ) ) в~(х,у)йхйу Закон сложения принимает вид 9(Х) =- е ) у(х,у) «у (14.7а) Дг(х,у) вхйу а закон умножения при независимых вероятностях остается таким же, как и прежде. Распространение данных определений на случай более чем двух переменных также не вызывает затруднений. Например, если г" = р (х,у,г), то ЯР(х,у,г) ы(х,у,г) йх Ву Вг (14.8) ) ) ) р(х,у г) вх «у йг В заключение мы должны сделать замечание, касающееся так называемого свойства эргодичности. Предполагается, что, проделывая опыт с игральными костями, мы можем получить один и тот же результат, если вместо 1к'-кратного повторения бросков мы будем выполнять одновременный бросок нансамбля", состоящего из М пар одинаковых игральных костей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
