Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 76
Текст из файла (страница 76)
а. Нас интересуют здесь лишь совершенные газы при высоких температурах. При этих условиях статистический подход оказывается одним и тем же как в классической, так и в квантовой статистической механике: каждая молекула может рассматриваться как член некоторого статистического ансамбля, т. е. каждая молекула соответствует одной из игральных костей, фигурировавших в нашем простейшем примере.
Энергия молекулы г будет состоять из энергии поступательного движения гт и из доли, вносимой внутренними степенями свободы (как, например, вращение и колебание), которую мы будем обозначать просто символом г. Следовательно, мы имеем гы = гт + г1 и формула для средних значений принимает вид Аи = гт + г.
Выражение для энергии поступательного движения было получено выше в виде формулы (14.19), но там оно было написано применительно к единичной массе е (Т) = — 1ет. 3 Соответствующая энергия, приходящаяся на одну молекулу массой т, будет выражаться как 3 гт =- тет.= — 1сТ, где и = трг — постоянная Больцмана [из формулы (14.17) можно 1 видеть, что гт = — те'].
Теперь нам нужно рассмотреть долю о, вносимую внутренними степенями свободы. б. В классической механике величина г представляет собой непрерывную функцию обобщенных координат 9; и обобщенных 74.7». Удельные тенлоелекости газов 433 импульсов р ). В качестве особенно интересного для нас примера рассмотрим систему, состоящую из материальной точки и пружины, т'.е. гармонический осциллятор. Энергия е такой системы, колеблющейся, например, в направлении оси х, выражается в виде 1 . 1 в = — тХе + — Щ О4ХЯ 2 2 где т обозначает массу, а шо — соответствующую угловую частоту. Обобщенными координатами служат здесь д — = х и р = тх. Следовательно, мы имеем (14.38) .
В квантовой механике величина в может принимать только дискретные значения вь называемые обычно собственными значениями. В случае гармонического осциллятора эти значения определяются равенствами 1'= О, 1, 2, .... (14.38а) Здесь величина й представляет собой постоянную Планка Ь, деленную на 2п. в.
Статистический вес а представляется с помощью так называемого канонического распределения р = сопэ1 е- Гвт. ~ (14.39) Следовательно, в классической статистической механике функция Ч(ряб) есть не что иное, как вес ячейки в фазовом пространстве, т. е. в пространстве, координатами которого служат р1 и д1. Например, средняя энергия осциллятора выражается квк р* то1оь ) ~'гидр де О~ Р 1 ~~~ в ( амат жт ар де О"" Поэтому 2т е г оказ е Р В рь1агоат Лр " ое Е т Рттт дб 2 е + — рчатат а ~ е-т"М'Мтдд ') Обозначения 41 и рз являются стандартными.
Их ие следует смешивать с составляющими вектора теплового потока и давлением. 28 аовв— Гт 14. Элементы газовой кинетики 434 Вычисление этих интегралов, принадлежащих к тому же типу, что и интегралы, встречавшиеся нам ранее [см. формулы (14.25) и (14.27)], дает следующий результат: 1 1 в = — МТ + — МТ = 'иТ. 2 с с, г ° Узйг з РТ 11 НТ 2 (14.40 а) (14АОЬ) или ср со+й У =1 со с, Другая форма этого выражения была представлена формулой (1.91). В квантовой статистической механике формула (14.39) должна быть записана в виде ин = сопз1 с-влит, )» (14.39а) причем величина инв характеризует статистический вес /'-го со- стояния.
Средняя зйергия в должна теперь выражаться следую- щей формулой: ~ виов ~т В случае гармонического осциллятора величины в; выражаются формулами вида (14.38а), и вычисление в не представляет затруднений. Приступая к этому вычислению, мы можем опустить аддитивный член '/, в формуле (14.38а), поскольку он влияет лишь на величину постоянной в выраженйи для энергии, и написать в1 = йсоо/.
Таким образом, получим ~'В /с-<и" МТ11 ив с ~~', с Этот результат выражает следующий известный закон равного распределения энергии: любое слагаемое в выражении для в, являющееся квадратичным по отношению к р или д, вносит в выражение для й долю згаиТ. Классическое определение понятия „степени свободы'* существенно связано с тем фактом, что каждая такая степень приводит к появлению некоторого квадратичного члена в выражении для энергии. Таким образом, каждая степень свободы вносит долю уа и Т в выражение для средней энергии молекулы или долю уа/7Т в выражение для средней удельной энергии газа.
Следовательно, если число (классических) степеней свободы равно 2, то получается, что И.В. Срударенив малекуе 435 Знаменатель этого выражения представляет собой геометри- ческую прогрессию 7) — = ~ (е-л мт)! = (1 — е-л "'лт)-', а числитель можно выразить как — ер/)/а(нТ) '. Следовательно, 1 ИР е П в(нт)-л «(вт)-1!и А или а ел е = ел,мт 1 Если величину йерр/и обозначить через 0„, то получится, что ° -- — дт- — ю т — — „, ~т или (ее)ррл. (Ви/27Р )р (14.4 ! ) (ев (В,/27))л ' Энергия, которой обладает двухатомная молекула, соответствует поступательному, вращательному и колебательному видам движения. В том диапазоне температур, который нас здесь интересует, вращательные степени свободы „возбуждены полностью", т.е.
они уже достигли классического уровня энергии, получаемого при равном распределении последней. Энергия колебаний хорошо аппроксимируется с помощью модели гармонического осе!иллятора, а доля, вносимая за счет этого вида энергии в выражение для с, или ср, определяется из формулы (14.41). В конечном итоге выражение для ср(Т) принимает вид (1.92), т. е. ср = И + сл = )л + (сл)т + (ср)вреец. + (сл)кол. Двухатомная молекула обладает двумя вращательными степенями свободы. Таким образом, ер 3 2 (ер)клл. — = 1+ — + — + — -' 2 2 или Ер 7 (Вь/2т)е 1! = 2 + (еь (в„/гт))е 14.8.
Свударения молекул. Средний свободный пробег и время релаксации Движущиеся молекулы соударяются друг с другом и со стенками сосуда. При каждом соударении на молекулу действует сила г; имеющая случайное направление (см.п. 14.5).Даже 28' — ив 436 Гл. Ил Элементы газовой кинггааки у стенки, где сила должна иметь преимущественное направление внутрь сосуда, имеется все же элемент случайности, связанный с тепловым движением молекул стенки и с наличием неровностей на ее поверхности. Вследствие того, что действующие на молекулу силы имеют случайный характер, движение молекулы по истечении некоторого времени должно стать не зависимым от ее предшествующей истории. Этот промежуток времени, характерный для „потери памяти", мы обозначим символом г'. Заключенная здесь идея.
может приобрести более четкую форму при введении корреляционной функции, но для проводимого здесь исследования это не является необходимым. Очевидно, что величина гР будет зависеть от числа соударений и, испытываемых молекулой за единицу времени. Проще всего предположить, что Гг обратно пропорционально и, и написать равенство г а и где через гг обозначается коэффициент пропорциональности. Очевидно, что коэффициент ы не обязательно будет одним и тем же для соударений молекул между собой и для соударений со стенкой.
Если рассматривается смесь газов, то этот коэффициент будет иметь различное значение также и в зависимости от того, соударяются ли молекулы одного и того же или разного рода. Кроме того, даже и для молекул одного и того же рода а может быть различным при воздействиях различного характера. Например, для того чтобы изменить энергию колебательного движения, может понадобиться значительно больше соударений, чем для изменения энергии поступательного движения. Величина называется временем релаксации. Для того чтобы получить значение а, требуется подробно рассмотреть и уяснить себе ход процесса соударения.
Следовательно, коэффициент к будет зависеть от свойств газа, а для соударений со стенкой — также и от материала последней. Для определения величины и — среднего числа соударений в единицу времени — можно воспользоваться грубой моделью явления, поскольку в первую очередь нас интересует г*; нет смысла усовершенствовать методику вычисления и, если расчет коэффициента ы производится в упрощенном виде.
Заметим прежде всего, что для газа, состоящего из точечных молекул, вероятность соударений между молекулами равна нулю. Следовательно, для подсчета числа соударений необходимо ввести понятия о „размере молекулы" или об ее „области влияния" Площадь поперечного сечения молекулы А при соударениях определяется как площадь той мишени, которую представляет собой данная молекула для другой, приближающейся к ней 7Е.В. Соударения молекул 437 молекулы.
Среднее число соударений, испытываемых молекулой в единицу времени, зависит от А, от средней скорости с и от числа молекул в единице объема д7. За единицу времени молекула расчищает „коридор" объемом сА, где находится приблизительно МАс молекул. Следовательно, предполагаемое число соударений с другими молекулами будет выражаться как и = ИАс. Тот же результат может быть получен и с помощью анализа размерностей. На основании этого результата определяется время, проходящее между двумя соударениями одной молекулы с другими: 1 Ае МАг (14.42) Среднее расстояние, пробегаемое молекулой за это время, называется средним свободным пробегом: Гд= Л= х (14.43) После этого время релаксации определяется как (14.42 а) а путь релаксации — как Л*= аЛ = —. к МА (14АЗа) 1э аИ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
