Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Получить также несколько точек для более сильных скачков, пользуясь диаграммами скачков уплотнения. 4А. „Свободная" поверхность определяется как такая, вдоль которой давление остается постоянным; такова, например, граница выходящей в атмосферу струи. Показать, что в результате „отражения" косого скачка уплотнения от свободной поверхности получается волна разрежения. Рассчитать интенсивность этой волны для случая слабого падающего скачка. 4.3.
В предположении, что изображенные на фиг. 38 взаимодействующие скачки являются слабыми, воспользоваться приближенными выражениями п. 4.7 и показать, что имеет место приближенное равенство д = З" — З (с этой степенью точности „интенсивность поворота" скачка после пересечения остается той же, какой была до пересечения; сравнить с п. 12.10). Вычислить „интенсивность" тангенциального разрыва в зависимости от (и,' — и,)/и, или (е' — аэ)/Е. Упраиснеиил 459 4.7. Показать, что уравнение энергии может быть записано в виде 'у — 1 авй 1 — соз'и + в(п'д+ —, где Мп м =— у+! и' ' М Использовать это уравнение для получения соотношения — Ь Ь' — ! ГМ вЂ” 1 — = — — б„, !э Ьв+~а р с тем чтобы вычислить интеграл у — 1 где Ь' = — ° у+1 ,— ав 1 ) М' — 1 — = д — — агс!б [ — !9 (в) + сонэ!.
м Ь [Ь Этот результат может быть преобразован к такой же форме, как в уравне- нии (4.21.6). 4.8. Написать уравнение линии тока при течении расширения Прандтля— Майера. Указания: начало координат совместить с вершиной угла и длину каждого луча считать параметром. Учесть, что между стенкой и линией тока проходит вполне определенный н постоянйый поток массы. 4.9.
Показать, что коэффициент сопротивления тонкого симметричного профиля в виде „линзы", состоящей из двух дуг окружности, равен М[ Доказать, что при заданной относительной толщине !!с профилем минимального сопротивления является симметричный ромбовидный профиль. 4.10. Доказать, что прн рассмотрении сверхзвукового стреловидного крыла бесконечного ~>азмаха определяемый по теории тонкого профиля коэффициент давления [формула (4.26)) следует умножать на коэффициент стреловидности 1/) 1 — и', где и = 18 Л/)' М,' — 1, а Л вЂ” угол стреловндности (фиг. 47). Этот результат относится и й крыльям конечного размаха в тех областях, которые не подвергаются влиянию концов.
Указание; следуя Бузе- ману, разложить число Маха невозмущенного потока на составляющие М„ и Мр, одна из которых перпендикулярна, а другая параллельна передней кромке. После этого исследовать течение в плоскостях, перпендикулярных передней кромке, используя теорию тонкого профиля для расчета относительного изменения давления лр/р . Зная последнее, рассчитать зависящий от числа М~ коэффициент давления.
4.11. Написать формулу для вычисления сопротивления биплана Бузе- мана (фиг. 49,а) при нерасчетиом числе Маха. Указание: волны, вырывающиеся за пределы системы крыльев (фиг. 48,в), располагаются ближе одна к другой, чем это было бы при отсутствии интерференции. Следовательно, онн забирают такое же количество движения, как и система волн, отходящая от моноплана с хордой меньшей длины.
4.6. Описать движение, создаваемое в покоящейся жидкости при скольжении клина со скоростью е, вдоль смачнваемой ею стенки. Показать, что составляющая скорости ударной волны, нормальная к ее фронту, равна э, з!п )! н что жидкость за ударной волной получает движение в том же направлении.
Проследить, как движется отдельная частица, н, таким образом, показать, что в каждый момент линии тока перпендикулярны фронту ударной волны. Указание: применить однородное преобразование скоростей к течению, показанному на фиг. 29. 460 Улражненил 4.!2. Показать, что уравнение ударной поляры в плоскости годографа (фиг. 50,в) имеет вид и,и,— а $2 (О, е и, 2 е ее г+! и,— и,и +а И Другая форма этого уравнения такова: Показать, что при М, — ударная поляра представляет собой окружность, которая касается окружности и ит а" ач 4.13. Пользуясь уравнением (4.9), показать, что !бр = ((ч — 1) ~ у(ч — 1)' — 4919' В12 1б В, ГДЕ Ч = В,/В, ПРедставлЯет собой отношение плотностей по обе стороны ударной волны. Показать, как можно применить написанную выше формулу к решению уравнений косого скачка уплотнения в случае переменной тепло- емкости (сравнить с упражнением 3.6).
Показать, что при малых значениях В „решение для слабой ударной волны" (в вышеприведенной формуле берется йри этом знак минус) приводится к виду 16)! = В. Ю ч — 1 Сравнить с уравнением (4.116) для случая больших чисел Мт и постоянной удельной теплоемкости. Показать, что условие отсоединения ударной волны имеет вид е — 1 19В= 2у— Какое влияние на условие отсоединения оказывает переменность удельной теплоемкости? Учесть, что реальные газы имеют тенденцию к увеличению Ч (! ч е у, С ! ! и е, НАСА ТИ 2196, 1950). 4.14. На фиг.
41 построить две кривые, представляющие собой геометрические места чисел Маха, соответствующих отсоединению ударной волны от клиньев и от конусов (каждому значению В/а соответствует определенный угол наклона В образующей клина или конуса, которому, в свою очередь, соответствует определенное число Маха отсоединения; последнее может быть найдено с помощью диаграммы 1 в конце книги или по фиг.
53а). Экспериментальные измерения зависимости В(а от М для клина или конуса, имеющего заданный угол В, ложатся на кривую, начинающуюся от геометрического места точек отсоединения и асимптотичесйи сближающуюся с соответствующей предельной кривой на фиг. 41. 4.15. Уравнение Р(х, у, а) = 0 характеризует поверхность в пространстве. Пусть это будет фронт ударной волны. Показать, что в таком случае из уравнений неразрывности, количества движения и энергии следует, что следующие три выражения Упражнения Еп ° бган Р, Е(в ° бган Р)а + р(бгаб Р)', С4 (з) )гз(п ° бган Р)' + — — (бгаб Р)' т — 1 е имеют одинаковые значения по обе стороны ударной волны. Упражнения к главе 5 5.1.
Массовый расход потока, проходящего через сопла Лаваля, может быть выражен через параметры газа в резервуаре и у горловины. Показать, что т — 1 ~ -тят-П ш = Е. а, А' М' (1 + — М ) 2 1 тдт-О гамах = гл* ( ) е а А*. +1) во 5 2. Построить график распределения чисел Маха по длине конического сверхзвукового сопла, площадь сечения которого увеличивается от величины А* у горловины до величины Ан = 4А* у выхода (если расширение идет постепенно, то результаты одномерной теории дают довольно хорошую точность), Показать, что наименьшее отношение давлений р,/рн, нужное для поддержания сверхзвукового течения вплоть до выхода иа сопла, выражается в виде Определить положение прямого скачка уплотнения, возникающего внутри вышеописанного сопла при значениях отношения давлений, меньших указанного минимума.
6.3. Уравнения адиабатического одномерного течения газа без трения в канале постоянной площади сечения имеют два возможных решению однородный поток и переход через прямой скачок. Неоднородные течения и течения с трением могут исследоваться приближенным способом, если использовать средние значения параметров й, т и т. д. Показать, что при этом и+( — ) =,=и„ е~ где ш — массовый Расход.
так как е = е (и, а), то пРи заданных ш/А и ио это уравнение определяет некоторую кривую в плоскости И-и. Такие кривые нааывают линиями Фаина. Построить линию Фаина, предполагая при расчете зависимости Е = Е(И, а), что газ совершенный. Показать, что максимальное значение энтропии соответствует условиям течения со звуковой скоростью. Рассмотреть характер возможных изменений скорости, давления и т.д. в канале постоянной площади сечения для случаев сверхзвукового и дозвукового течения.
6.4. Покааать, что при неадиабагаичсском течении беа шрения в канале постоянной площади сечения справедливо уравнение р+1 — ) ==сонат. (А) е Упражнения 462 Это уравнение, определяющее так называемую линию Рэлел, полезно при исследовании потоков постоянной площади сечения с притоком тепла извне. Построить линию Рэлея в плоскости И-а и показать, что на ней значения энтальпии и энтропии проходят через максимум, причем максимальное значение энтропии снова соответствует условиям течения со звуковой скоростью.
Рассмотреть характер сверхзвуковых и дозвуковых течений с притоком тепла. 5.5. Рассчитать продолжительность рабочего цикла аэродинамической трубы кратковременного действия в зависимости от давления в резервуаре и объема последнего, а также в зависимости от площади сечения рабочей части и числа Маха.
Сравнить „нагнетательный" и „вакуумный" методы работы. Для определения минимального отношения давлений, необходимого при каждом числе Маха, использовать фиг. 6!. 5.6. Написать формулу выражения „мощности в идеальных условиях" [формулы (5.7а), (5.9)1, приходящейся на квадратный фут площади сечения рабочей части, используя параметры торможения стандартной атмосферы. Построить график изменения этой мощности в зависимости от М, определяя при этом отношение давлений с помощью фиг.
61. 5.7. Показать, что можно получить очень точную оценку мощности в идеальных условиях, если положить, что С) = — (Т. + Т.) 8, 1 т. е. если оценивать изменение энтропии по средней температуре. В результате получается выражение Р' = 2490!п И, определяющее мощность в лошадиных силах, приходящуюся на квадратный фут площади сечения горловины. 5.8. Построить график основного рабочего цикла аэродинамической трубы (фиг. 62) в виде диаграмм р-е и И-а (илн Т-а).
5.9. Пользуясь теорией одномерного течения, исследовать распределение скоростей и давлений в горловине сопла. Описать, в частности, характер точки разветвления, появляющейся при достижении в горловине звуковой скорости (фиг. 56). Указание: проинтегрировать уравнение (2.27), определяющее связь между скоростью и площадью сечения, пользуясь при этом приближенными равенствами А = А*+ схе, и = а*+ и'. Показать, что и'э— 2 са*' х' = сонэ! (у + 1)А* 5.10.
Условия, соответствующие одной из расчетных точек )Ожнокалифорнийской аэродинамической трубы, оказываются такими: М1 = 1,8, ра = = 1420 фунт/фут', Т, = 120 Р, площадь сечения рабочей части = 96 9)уш'. Мощность компрессора равна 40000 л. с. Сравнить это значение с идеализированным значением мощности прн тех же условиях, применяя формулу (5.9) и предполагая, что имеет место восстановление давления за прямым скачком.
Упражнения к главе 6 6.1. Если скорость измеряется с помощью стандартного индикатора воздушной скорости, дающего значение иь то истинная скорость может определяться по формуле и/и;= )1/а, где а= а/а, — отношение фактической плотности к стандартной плотности на уровне моря, а сжимаемость не учи- 463 Улразснеиил тывается. Показать, что при дозвуковых скоростях поправка, учитывающая влияние сжимаемости,может быть получена из формулы ( — ")'= у М;[(!+ — ''у !М,)г((т О-1~ ', которую можно аппроксимировать формулой Ме Дать оценку диапазона чисел Маха, в котором можно ограничиться использованием первых двух слагаемых этого приближенного выражения, получая при этом точность не ниже !%.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
