Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Если принять указанные выше приближенные условия, то Л(Т) можно заменить на Л(Та) = яч = сопзц Кроме того, можно воспользоваться интегралом энергии '/,и'+ срТ=сопв1. Доказать, что максимальное касательное напряжение 7юах получается в той точке, где и = а*, т. е. в звуковой точке. 13.8. Показать, что толщина ударной волны есть величина порядка е= — ~ асти где Аи представляет собой „скачок" скорости при переходе через ударную волну. Указание: отнесенная к единице массы скорость увеличения энтропии в частице выражается как (я/Т)(би/Их)е (и'/Т )(Ли/с)е.
Сравнить это выражение со.скоростью„увеличения энтропии, определяемой уравнениями пря- Улраясненил 472 мого скачка уплотнения (п. 2.13) с помощью данных о потоке массы и формулы (2.51). Строго говоря, к указанному выражению следует добавить еще слагаемое вида (/буе)(и7/их)е. покааатеч как видоизменяется результат за счет добавления этого слагаемого. Дать оценку толщины ударной волны для случаев, когда М,= 1,1 иМ =1,01. 13.9. Определить толщину е ударной волны с помощью формулы а =- ~ тКшат их. Найти явное выражение величины е для рассмотренного в упражнении 13.7 случая слабой волны. Построить график зависимости е от числа Маха. 13.19.
Сравнить величину а, найденную по формуле из упражнения 13.9, с результатами, получаемыми йри использовании других формул для определения толщины ударной волны: и, — ие (ии/их)шах 13.11. Показать, что обобщение формулы (13.37) на случай течения в пограничном слое с градиентом давления имеет такой вид: бт) ир Зу ) ставка «Х (а) Исследовать кривизну профиля скорости вблизи стенки при М, = 0 и при произвольном М , но при Рг = 1 и о = О. (б) В потоке несжимаемой жидкости ир/йх = — 9(7 й(7/их. Предположить, что (7= сопз1 ° ха и что профили скоростей обладают свойством автомодельности, т.
е. что Показать, что в этом случае .е х(1-аП2 (За-1 из (в) Показать, что условия, имеющие место вблизи стенки при о = 0 и ир/их та О, оказываются такими же, как и в случае, когда 7,„~ 0 и ир /их = О. Определить вид той связи. которая должна при этом существовать между о„ и йр/Фх. 13.12.
Уравнение ламинарного пограничного слоя при обтекании плоской пластины потоком малой скорости допускает следующее частное решение: — — при лосшолнном д. и гу и= (б/ Показать, что это решение соответствует наличию на поверхности пластины равномерного подсоса со скоростью е,. Определить внд функции /(у/д) и связь между д и е,.
Улралснения 473 13.!3. Распределение скоростей в турбулентном пограничном слое близ гладкой стенки имеет такую форму: — — и, = и — = и,(х). Используя уравнение неразрывности, найти величину и вблизи стенки и дать графическое построение линии тока (Коула, 1935). 13.14. При отсутствии градиента давления скорость в ламинарном пограничном слое близ стенки выражается в такой форме: Написать уравнение пограничного слоя, используя в качестве первого приближения этот линейный закон [одним из многочисленных приложений таких уравнений может явиться, например, расчет величины т„(Вейль, 1941) и расчет теплопередачи (Лайтхилл, !950)]. 13.13.
Уравнения пограничного слоя для осесимметричного течения имеют следующий вид: — + — О, ОЕ О~ дх дт дои'г долог Ор Огт дх Оу 'дх + ду дэи./г даэ Гг д — + — = — (тиг — гб). дх ду ду Здесь г — радиальная координата, у — расстояние, отсчитываемоепо нормали от поверхности тела; ось х проходит вдоль оси самого тела. (а) Рассмотреть ламинарный пограничный слой на поверхности прямого конуса при сверхзвуковых скоростях. В этом случае р = сонэ!. Получить интегральную форму уравнения количества движения. (б) Преобразовать интеграл количества движения к переменным Крокко и показать, что при заданном х (тв)конте = ] 3 (тв)аассная пластина где обе величины подсчитаны прн одних и тех же условиях в не- возмущенном потоке.
Указание: привести интеграл количества движения 1 к форме — — — = сонэ!, проинтегрировать его для случая конуса гта бх та (г = Э х) и сравнить со случаем г- Упражнения к главе 14 14.1. С целью получения представления о порядке встречающихся величин рассчитать, какова доля молекул, скорости которых при стандартных условиях превышают одну десятую скорости света. !4.2.
Пусть гГ обозначает число молекул совершенного газа, содержащихся в объеме !г. Показать, что число пар молекул, для которых межмолекуляр- НЫЕ раССтОяНИя ИМЕЮТ ВЕЛИЧИНУ В ПрЕдЕЛаХ От З да З + иа, раВНО 2 л )Чэагба/У. Рассчитать среднюю величину межмолекулярного расстояния. 14.3. Покааать, что число молекул л, вылетающих за единицу времени из некоторого сосуда через очень малое отверстие площадью лА, определя- Упражнения 474 ется по формуле и = ЛАс/4. С помощью этого результата показать, что связь между давлениями р„р, и температурами Т„Т, в двух сосудах, соединенных малым отверстием, выражается так: (термин „малое отверстие" следует понимать в том смысле, что аА « Лз).
14.4. Обозначим через 41 и р; обобщенные координаты и обобщенные импульсы классической механической системы. Вероятность зз(рь бз) нахождения данной системы в элементе фазового пространства ба = 44, ... 44 бр, ... ар„ выражается с помощью канонического распределения Г(рь бз) з(й = Аехр ~ — (1 ь'з)] з(О КТ 1 где з — энергия системы, А — постоянная, определяемая при нормализации функции м. (а) Рассмотреть систему молекул совершенного газа в гравитационном поле, для которого (Рз + Рз + РР + шббз.
Величина шбоз представляет собой гравитационный потенциал. Найти распределение частиц в зависимости от высоты (эз) и Установить, совпадает ли этот результат с барометрической формулой, выведенной в гидростатике. (б) Рассмотреть молекулы, действующие одна на другую с некоторыми силами. Пусть потенциал этих сил есть х(з), где через з обозначается расстояние между центрами молекул. Показать, что число пар молекул, разделенных между собой расстоянием з, будет равно (сравнить с упражнением 14,2) 2пХзездее-ядп 14.5.
Использовать результат, полученный в упражнении 14.46, для расчета той доли, которую вносят в вириал межмолекулярные силы. Рассмотреть сферический сосуд типа, описанного в п. 14.5, и показать, что величина Р ° з, обусловленная наличием межмолекулярных сил, отличается от нуля лишь в зоне, близко примыкающей к стенкам сосуда. Попытаться вычислить второй коэффициент вириала [см. уравнение (1.85)). Результат расчета должен быть таким: Ь(Т) = — — ) у — е-я(зйнг Нз г бх 8((Т .I де о или, после выполнения интегрирования по частям, Ь(Т) 1 ез(е-я(нт 1) нз 2л г = кт,) о Проанализировать выражение Ь(Т) для недеформируемых молекул, для которых х = 0 при е > О и х = при з т Ю.
ЛИ ТИР А ТУР Аг) А. Термодинаммка и физкка газов 1. 3 о м м е р ф е л ь д А., Термодинамика и статистическая физика, ИЛ, М., 1955. 2. Фаул е р Р., Гуг ген гейм Э., Статистическаятермодинамика, ИЛ, М., 1949. 3. Э п ш т е й н П. С., Курс термодинамики, Гостехиздат, М.— Л., 1948.
4. Вогп М., Ха!пга! рййозорйу о! сансе апд сйапсе, Ох(огй Оп!ч. Ргезз, 1949. 5. О пййеп Ье1ш Е. А., ТЬегшойупашкз, Ног)Ь Нойапй РпЫВЫпй Со., Апм!егйаш, 1950. 6, На11 Х. А., ТЬегшобупаш!гз о! !!пЫ !1очг, Ргепйсе-Най, Нече Уог1г, 1951. 7. ) еапз )., Ап !п!гадис!1оп !о Спе Ыпейс !Ьеогу о! йазез, СапгЬ|Ыйе, 1946.
8. Коза(п! Р. О. (ред.)„ТЬегшодупаш!сз апд рЬуз1сз о! шаНег, чо1. 1 о! Н!6Ь зреед аегопупаш!сз апд )е! ргорп!з!оп, Рг)псе(оп, 1955. 9. Леонтович М. А., Введение в термодинамику, ГТТИ, М.— Л., 1950. Б. Распространение волн 1. 3 о мме рф ел ьд А., Механика деформируемых сред, ИЛ, М., 1954. 2. К у рант Р.,Ф р и д р их с К.,Сверхзвуковое течение иударные волны, ИЛ, М., 1950. 3. Р э л е й, Теория звука (т.
1 и 2), Гостехнздат, М., 1955. 4. О з и а ! 1 ! з с Ь К., Оазйупаш!Ь, 8рг!пйег, У!еппа, 1952. 5. К и д ! п й е г О., йгате 6!айгашз !ог попе!саду йою !п ппс!з, Чап )Чоз!гапд, Хею Уогй, 1950. 6. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М., Механика сплошных сред, ГТТИ, М.— Л., 1954. ') В конце списка литературы по каждому разделу выделена литература, добавленная при переводе. 476 Лилмратура В.
Аэродинамяка больших екорвстей 1. Гуде р л е й Г., сб. „Проблемы механики" (под ред. Т. Кармана, Р. Мизеса), ИЛ, М., 1955. 2. 3 а у э р Р., Введение в газовую динамику, Гостехиздат, М.— Л., 1947. 3. Карман Т,, Проблема сопротивления в сжимаемой жидкости, сб. „Газовая динамика", ГОНТИ, М.— Л., 1939. 4. К а р м а н Т., Сверхзвуковая аэродинамика, ИЛ, М., 1948. 5. К у р а нт Р., Фрид р их с К., Сверхввуковое течение и ударные волны, ИЛ, М., 1950.
6. П р а н дтл ь Л., Общие теоретические соображения о движении сжимаемой жидкости, сб. „Газовая динамика", ГОНТИ, М.-Л., 1939. 7. Те йл о р Г., Ма к кол Д., Механика сжимаемой жидкости, в книге „Аэродинамика" (под ред. Дюрэнда В., т. !! 1), Оборонгиз, М„1939. 8. Ферри А., Аэродинамика сверхзвуковых течений, ГТТИ, М., 1953. 9. Франкль Ф. И., Карпович Е. А., Газодинамнка тонких тел, Гостехиздат, М.— Л., 1948. 10.
Х о у а р т Л. (ред.), Современное состояние аэродинамики больших скоростей (т. 1 и 2), ИЛ, М., 1956. 11. А с Ь е г е 1 )., Оавбупашйг, НапбЬисЬ бег РЬузйг, Вб. 7, Кар. 5., Зрг!пбег, Вегйи, 1927. 12. Ашев йезеагсЬ 81аН, „Ег!иаВопв, 1аЫез апб сиаг(з 1ог сошргезз!Ые Нотч", МАСА йер. 1135, 1953.
13. В и вешали А., ОавбупашПг, НапбЬисЬ бег Ехрег!шеп1а!риув!Ь, Вб. 4, Т. 1, АЬабеш!зспег Уег!аб, 1.е!рв!и, 1931. 14. Сагг!ег О. Р. (ред.), РоипбаНоив о1 ЫПЬ врееб аегобупаш!св, Почет, Меш Уогй, 1951. (Сборник оригинальных статей; содержит также обширную библиографию). 15. Е пг ш о и в Н. %. (ред.), РоипбаВопв о1 Пав бупаш!св, чо1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
