Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Волны в еверхввуховом течении этого сопротивления не зависит от действительного значения коэффициента вязкости. Зто всего лишь другая формулировка правила, по которому изменение энтропии при переходе через скачок не зависит от характера неравновесных процессов, происходящих внутри скачка.) В качестве второго примера рассмотрим изображенный на фиг. 43,б профиль с криволинейной поверхностью, вдоль которой происходит непрерывное расширение.
Для того чтобы скачки уплотнения были присоединенными, необходимо, чтобы носовая и хвостовая части имели форму клина, половина угла раствора которого меньше, чем 0 В качестве третьего примера на фиг. 43,в показана плоская пластина под углом атаки ее,. Так как влияние вверх по потоку здесь отсутствует, то линия тока, проходящая впереди передней кромки, является прямой линией, и области течения, примыкающие к верхней и нижней поверхностям, независимы одна от другой. Следовательно, в верхней части поток расширяется путем поворота на угол а„проходя через центрированную у передней кромки волну, тогда как в нижней части поток сжимается путем поворота на угол ы„ проходя через косой скачок уплотнения.
Зная постоянные значения давлений на обеих сторонах пластины, можно без труда подсчитать подъемную силу и сопротивление. Эти силы оказываются такими: ь = (р,' — ре) с сов х„ ел = (р,' — р,) с з! па„ (4.25) где с — длина хорды. Приращение энтропии потока вдоль верхней поверхности не равно такому же приращению вдоль нижней поверхности, потому что скачки уплотнения на обеих сторонах возникают при разных числах Маха.
Следовательно, линия тока, идущая от задней кромки, представляет собой тангенциальный разрыв, наклоненный под небольшим углом к направлению невозмущенного потока. При рассмотрении этих примеров пока что не упоминалось о взаимодействии между скачками и волнами разрежения. Для наблюдения этого взаимодействия необходимо рассмотреть значительно ббльшую часть поля течения; это сделано на фиг. 44, где изображаются в уменьшенном масштабе два примера из числа разобранных выше. Центрированные волны разрежения воздействуют на косые скачки, делая их более слабыми и искривленными. На больших расстояниях от профиля скачки асимптотически приближаются к линиям Маха невозмущенного потока.
На фиг. 43 не были показаны отраженные волны, так как в теории „скачок — расширение" ими пренебрегают. Их влияние мало, но оно должно быть принято во внимание при точном ана- бд7. Теория мояиого профиля лизе. Впрочем, в случаях ромбовидного профиля и несущей плоской пластины отраженные волны нигде не пересекают рассматриваемый профиль, так что они не влияют на результирующее распределение даления, полученное с помощью теории „скачок — расширение*'. Ф и г. а44. Ослабление волн ири их взаимодействии. а — система волн для ромбовидного пробиля; б — система волн для плоской пластины под углом атаки. Отраженные волны являются очень слабыми. Система волн распространяется на очень большие расстояния за телом и по своему характеру такова, что делает интенсивность всех возмущений в конечном итоге бесконечно малой.
4.17. Теория тонкого профиля Изложенная в предыдущем пункте теория „скачок — расширение'* дает простой и общий метод расчета подъемной силы и сопротивления, применимый до тех пор, пока скачки остаются присоединенными. Однако результаты этой теории не могут быть выражены в четкой аналитической форме, так что теория применяется в основном для получения численных решений. Если профиль тонкий и наклонен под малым углом атаки, т. е.
если углы наклона всех линий тока малы, то можно упростить теорию „скачок — расширение" путем применения приближенных соотношений для слабых скачков и волн разрежения. Такое упрощение позволяет получить простые аналитические выражения для подъемной силы и сопротйвления. Основное приближенное выражение 1формула (4.15)1 для расчета изменения давления имеет вид лр тм — ссс у-Мв 1 с1и. 136 Гл. 4. Волны в сверхзвуковом течении В условиях применимости приближенной теории слабых волн давление р никогда.не будет сильно отличаться от р„а М не будет сильно отличаться от М„и в силу этих соображейий мы можем сделать дальнейшее упрощение, приемлемое для членов до первого порядка малости включительно: — ЛО.
Уме Наконец, если все изменения давления измерять по отношению к давлению в невозмущенном потоке (рз), а все углы наклона— по отношению к углу наклона невозмущенного потока (этот угол равен нулю), то получим р — р, ум, О, р, Ум,'— ( где Π— угол наклона, измеренный по отношению к направлению свободного потока. Какой знак следует приписать величине О, будет ясно в каждом из конкретных примеров. Коэффициент давления, определяемый формулой (2АО) С =-Р выражается теперь так: эо ~ (4.26) 1— Это основное соотношение в теории тонкого профиля. Оно утверждает, что коэффициент давления пропорционален углу наклона линии тока в данной точке.
Имея вышеприведенный результат, легко получить выражения коэффициентов подъемной силы и давления для различных профилей. Так, например, для плоской пластины (фиг. 43,в) под малым углом атаки по коэффициенты давления на верхней и нижней поверхностях соответственно будут следующими: С„= Т- (4.27) 1— Коэффициенты подъемной силы и сопротивления выражаются соответственно в виде') (рь — ри) с сое ае С, ь о,с = (ф— 'С„) сое х„ ь о (р — р и) с е(п вв С = (С„ь — Сро) а) и по.
в,с ') Индексы П и Ь в правых частях формул относятся соответственно к верхней и нижней поверхностям пластины. — Прим. перев. 4.77. Теория тонкого профиля 137 ~ (4.28) так что разность давлений выражается в виде 4е Ре Рг= )Ме е Че 1 и дает силу сопротивления 4ее О = (р — р ) г = ( — ро) ум,— 1 Следовательно, Св =, =, ( — ). ~ (4.29) Зги два примера дают типичные выражения для коэффициентов подъемной силы и сопротивления. Общий результат, применимый к тонкому профилю произвольной формы, может быть получен следующим образом. На фиг.
45 изображается профиль под углом атаки, обладающий некоторой толщиной и кривизной дужки. Коэффициенты давления на верхней и нижней поверхностях имеют соответственно вид 2 ахи Умее — 1 ак 2, ать '~, Сос = уме 1 ~,~„ / где функции уо и уь относятся соответственно к верхней и нижней поверхностям. Каждую из этих функций можно расчленить (4.30) Так как еео мало, то можно считать, что созиож 1, ейп«ежи,. Следовательно, используя формулу (4.27), мы получим следующие выражения для коэффициентов подъемной силы и сопротивления плоской пластины: С 4«е уМе — ~ 4к~ Фокус профиля располагается в середине хорды.
Отношение О//.Я = '/,)7М,'— ! не зависит от ие. В качестве второго примера рассмотрим ромбовидный профиль (фиг. 43,а) с углом раствора в носовой части, равным 2г, и при нулевом угле атаки. Коэффициенты давления на передней и задней поверхностях профиля равны соответственно 2е Гл. Л, Волны в сверхевуковом течении 133 на две: функцию й(х), характеризующую симметричное распределение толщины, и другую функцию у,(х), определяющую положение криволинейной дужки нулевой толщины.
Таким образом, ау и ау, а и» вЂ” = — ' + — = — м(х) +— йх йх йх ох ух Фе ка ах йх ах ' ' ах где и(х) = хо+ и,(х). представляет собой местный угол атаки асс асс 1х) =+'., гУгол Кривизна тдли1ина атаки Ф и г. 45. Линейное расчленение произвольного профиля на составляющие, которыми определяются подъемная сила и сопротивление. криволинейной дужки. Подъемная сила и сопротивление определяются соответственно выражениями с Ь = 31 ) (Срь — Срг ) ах~ о с Р Дг ) [Срь( л ) + Срп('~ )) дх о Подставляя в эти выражения формулы (4.30) и (4.31), получаем с с о о Р =,~' ) ~( — ь) + ( — ") ] дх = о с 4% Л„.(х)+ ('й)'] йх. о Интегралы можно заменить здесь средними значениями, обозначая их чертой сверху, например 1 й = †„, ) и(х)бх.
о 4.77. Теория тонкого профиля Поскольку, по определению, а, = О, мы получаем сг = (ао + а ) = йо + йс = ссо. Подобным же образом й' = (и + сес)' = ссо + 2йоис + ~кс = ио + се' После этого коэффициенты подъемной силы и сопротивления Цу,с и В/д,с можно представить соответственно в виде 4Д 4 ос С, =Ум(, =. „,, ° Св = -~( — ) +осе(х)~ = ~ (4.32) 4 ~~ий)о о о Эти формулы дают общие выражения для коэффициентов подъемной силы и сопротивления тонкого профиля в сверхзвуковом потоке.
В теории тонкого профиля силу сопротивления разбивают на три части: сопротивление за счет толщины, сопротивление за счет подъемной силы и сопротивление за счет кривизны дужки. Коэффициент подъемной силы зависит только от осредненного угла атаки. Задачи о сверхзвуковых течениях, решаемые методами „малых возмущений*', обычно распадаются на задачи об определении подъемной силы и сопротивления в отдельности; такое распадение выражает тот факт, что описывающие течение дифференциальные уравнения являются, как будет показано в гл. 8 и 9, линейными.
Однако при рассмотрении случаев околозвукового (гл. 12) и гиперзвукового (п. 8.2) течений мы увидим, что условие малости возмущений, например малости углов отклонения потока, не является достаточным для обеспечения линейности. В упомянутых случаях уравнения остаются нелинейными даже при малых возмущениях, и влияние толщины и угла атаки нельзя учесть путем простого наложения решений. Можно отметить, наконец, что при расчете подъемной силы нам не нужно было требовать явно выполнения условия Кутта, как это необходимо делать в случае дозвукового течения. Условие Кутта определяет различие между передней и задней кромками, устанавливая тем самым определенное направление увеличения времени.
В этом смысле указанное условие удовлетворяется и при сверхзвуковом течении, так как направление увеличения времени определяется выбором направления распространения волн (см. п. 4.5) в данном случае вниз по потоку. 14О Гл. 4. Волны в евердевуковом течении 4.18в. Плоские несущие крылья В втой книге мы не имеем возможности заниматься рассмотрением обширной темы о крыльях в сверхзвуковом потоке. Следует лишь отметить, что ббльшая часть теории таких крыльев основана на применении уравнения, которое линеаризировано с помощью предположения о малости углов наклона линий тока, так что данную задачу всегда можно расчленить на исследование вопроса о влиянии толщины и вопроса об образовании подъемной силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
