Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 19
Текст из файла (страница 19)
4.8. Сжатие еберхаоукооого потока лрн его отклонении 119 принимает вид дифференциального соотношения бш .бд УМ,— 1' Аналогично этому и другие приближенные соотношения, приводимые в п. 4.7, могут быть записаны в дифференциальной форме. Уравнение (4.20) применимо к любой точке области изэнтропнческого поворота; будучи проинтегрировано (п. 4.10), Ударно л Ф и г. 33. Схема сближения линий Маха в области сжатия. а — обревование ударной волны; б — обравовение ударной волны, понававное в уменьшенном масштабе; е — манан, Ферма которого соответствует лианам тона нри плавном статна. оно дает соотношение, связывающее б и М, которое мы пока что запишем просто в символической форме: О = 7(М).
(4.20а) Теперь мы можем вернуться к вопросу о том, что происходит в потоке вдали от стенки, там, где сближаются показанные на фиг. 32,б скачки уплотнения или показанные на фиг. 32,в линии Маха. Пересечение скачков будет рассматриваться в п. 4.12; здесь же нас интересует лишь случай безударного сжатия, вновь иллюстрируемый фиг. 33,а. 120 Гл. Е, Волны в еверхввуиоволе течении Вследствие сближения линий Маха переход от М, к М, происходит на линии тока Ь на более коротком расстоянии, чем на линии тока а, а отсюда следует, что градиенты скорости и температуры на линии Ь оказываются.
большими, чем на линии а. Пересечение линий Маха означало бы наличие бесконечно большого градиента, так как одной и той же точке соответствовало бы два значения М. Однако этого случиться не может, потому что в области, где сближаются линии Маха, градиенты становятся достаточно большими еще до пересечения этих линий, так что условия там уже не являются изэнтропическими. Мы не имеем возможности рассмотреть здесь все подробности; что касается качественной картины развития ударной волны, то мы проиллюстрируем ее следующим образом.
На фиг. ЗЗ,б дается в уменьшенном масштабе схема образования ударной волны. Вдали от угла мы должны получить простой косой скачок уплотнения (см. п. 4.2), соответствующий параметрам М, и О. Действительно, если прямые стенки по обе стороны угла простираются до бесконечности, то масштаб изменения размеров здесь относительно несуществен, и если смотреть „очень издалека", то область поворота выглядит как угол без закругления. Сближение линий Маха в области сжатия представляет собой типичный нелинейный эффект: как уменьшение числа Маха, так и увеличение угла наклона линий тока приводят к увеличению крутизны последующих линий Маха. Аналогичный нелинейный эффект, приводящий к образованию ударных волн в неустановившемся течении, рассматривался в п.
3.10. Возьмем одну из линий тока, например линию Ь на фиг. ЗЗ,а, где градиенты еще достаточно малы для того, чтобы течение было изэнтропическим; если эту линию заменить стенкой, то мы получим изэнтропическое течение сжатия в криволинейном канале, которое показано на фиг. ЗЗ,в. Можно отметить, что, поскольку зто течение является изэнтропическим, имеется возможность обратить его, не нарушая второго начала термодинамики. Обращенное течение представляет собой течение расширения. 4.9. Расширение сверхзвукового потока при его отклонении Мы рассматривали до сих пор только повороты около вогнутых стенок, т. е.
такие, при которых стенка отклоняется „внутрь" потока. Что происходит при повороте около выпуклой стенки, отклоняющейся „наружу" от набегающего потока? В частности, что происходит при обтекании сверхзвуковым потоком выпуклого угла, например угла, изображенного на фиг.
34,а? Осуществить такой поворот путем проведения потока через одиночный косой скачок показанного на фиг. 34,а типа невоз- В.О. Расширение сверхзвукового пошока при его отклонении 1л1 можно. Как видно из простого векторного построения, для этого потребовалось бы, чтобы нормальная составляющая и, скорости за скачком превышала бы эту составляющую перед скачком, поскольку тангенциальные составляющие о, и о, должны быть одинаковыми. Хотя такое изменение потока и удовлетворяло бы уравнениям движения, оно, однако, привело бы к уменьшению энтропии (это показано в п. 2.13); следовательно, такое изменение потока является физически неосуществимым.
Ф н г. 34. Расширение сверхзвукового потока. а — течение, вротнворечащее авионам термодинамики; 6 — Нентрированваи воина разрешении; е — простое течение расширении. В действительности происходит следующее. Те нелинейные воздействия, которые приводят к увеличению крутизны линий '! Маха в области сжатия (п. 4.8), создают противоположный эффект в области расширения. Вместо того чтобы сближаться, линии Маха расходятся, как это показано на фиг.
34,б и 34,в, а отсюда следует, что в данном случае имеется тенденция к уменьшению градиентов. Таким образом, течение расширения является иээнтропическилс во всех его точках. При течении расширения около угла (фиг. 34,б) возникает иентрированная волна, определяемая „веером" прямых линий Маха. Этот вывод может быть сделан с помощью одного из нижеследующих рассуждений. 1. Течение вверх по потоку от угла является однородным и соответствует числу Маха М„а поэтому передняя волна Маха прямолинейна и наклонена под углом Р,.
Рассматривая каждый из следующих участков течения, мы можем применять к нему такое же рассуждение, не забывая об ограниченности зоны влияния 122 Ги в'. Волин в еверхввуковом течении вверх по потоку. Замыкающая линия Маха наклонена к стенке, расположенной за поворотом, под углом р,. 2. Для рассматриваемой здесь конфигурации не существует характерного размера, определяющего масштаб длин; следовательно, любое изменение параметров теченияможетопределяться только угловой координатой, характеризующей поворот вокруг вершины обтекаемого угла. Иначе говоря, параметры течения должны быть постоянными вдоль „лучей*', идущих из этой вершины. Рассуждение такого типа проводится в п.
4.21 применительно к „коническому течению". 3. Существование центрированной волны можно показать, используя аналогию с задачей о поршне (см. фиг. 31). Зта центрированная волна, чаще называемая веером разрежения Прандеплл — Майера, служит для случая выпуклого угла противоположностью косого скачка уплотнения, возникающего в случае вогнутого угла.
На фиг. 34,в показана типичная схема расширения при прохождении плавного выпуклого поворота. Течение при этом является изэнтропическим и, следовательно, обратимым. Если, например, рассмотреть канал, образованный какими-либо двумя линиями тока, то течение в этом канале в прямом направлении является течением расширения, а в обратном — течением сжатия.
Соотношение, связывающее при этих изэнтропических поворотах угол наклона линии тока и число Маха, дается в функциональной форме уравнением (4.20а) 0 = 1(М). Нам предстоит получить явное выражение этой функции. 4.10. Функция Прандтля-Майера Уравнение (4.20), из которого получается дифференциальное соотношение, связывающее 0 и М при изэнтропическом сжатии или расширении, осуществляемых путем поворота, можно записать в виде 00 =)ГМЗ вЂ” 1 — "" илн 0 1- сопз1 = ! ) Мв — 1 ~~ = о(М).
(4.21а) Для того чтобы вычислить интеграл и таким образом найти явную форму представления функции о, мы можем выразить еи через М с помощью соотношений !у= аМ и. дч о;-1+у 1М, ое 123 4.10. Функция Прандтля- Майера откуда получается, что ям ом «а оМ 1 — = — + — =— ю М а М 1 у — 1М. 2 Тогда функция э(М) принимает такой вид'): „(М) ~" у м' — 1 ™ / !+У 'И* 2 = ~/~ агс1б~/У (М' — 1) — агс1дКМэ — 1. ~ (4.21б) Она называется функцией Прандтлл — Майера. Произвольная постоянная интегрирования была выбрана так, чтобы равенству М = 1 сооглветстводало значение э = О.
Безразмерная (в радианах) величина э, которая дается уравнением (4.216), для удобства расчета углов наклона потока обычно переводится в градусы. В табл. Ч, помещенной в конце книги, табулируются значения М, соответствующие целочисленным значениям (в градусах). Соответствующие значения отношений давления и других величин можно получить из соотношений для изэнтропического течения(п. 2.10). Некоторые из них приводятся также в табл. Ч. Значения э в зависимости от М имеются также в табл.
П1. Таким образом, сверхзвуковое число Маха М всегда связано с определенным значением'функции м При изменении М от ! до значения т монотонно увеличиваются от О до т а„причем ты~ = — ф У вЂ” 1) ° (4.22) На фиг. 35 показана связь функции Прандтля — Майера т, а следовательно, и числа Маха М, с углом наклона линии тока для случаев поворота как со сжатием, так и с расширением. В предыдущих пунктах величина О считалась положительной при отклонении в направлении сжатия, однако сейчас мы оставим в стороне вопрос об алгебраических знаках, пользуясь лишь абсолютными значениями углов отклонения потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
