Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. при и = О, о = ои Значения и, отличные от нуля, и значения р, отличные от ды называются возмущениями. Эти значения необязательно малы. Для удобства можно ввести следующее определение: Е=а(1+ а). (3.10а) Безразмерная величина з = (о — о,)/а, называется уплотнением'). ') Обычно этв величина обозначается просто через з, но мы будем использовать символ в для того, чтобы не путать ее с энтропией. 86 Гл. 3.
Одномерное распространение волн С учетом сделанных определений уравнения движения можно записать так: дв Гзи ди1 ЭУ е — +е ! — +з — /+е и — =О де '(дх дх) з дх (3.11 а) ди ди а ЭМ вЂ” + и — +=- — = О. дс дх ! + е ах (3.11б) — = — ) — (1 + з)7. Рс О1 (3.10б) Аналогично этому температура определяется из уравнения 'Г (1 + вн) (3.! Ов) т, 3.4. Акустические уравнения Уравнения, полученные нами в предыдущем пункте, точны до тех пор, пока йри движении можно пренебрегать трением и теплопроводностью. Однако их интегрирование не так уж просто, причем главная трудность связана с наличием нелинейных членов типа и(ди/дх) и з(ди/дх), в которых зависимые переменные фигурируют в качестве коэффициентов при своих производных. Упомянутые уравнения можно линеаризировать и достигнуть значительных упрощений решения, если только сделать предположение о малости возмуи/вний.
Например, полагая, что з н 1, можно считать величину з(ди/дх) в уравнениях (3.11) пренебрежимо малой в сравнении с ди/дх. Оказывается, что члены и(дз/дх) и и(ди/дх) имеют тот же порядок и также могут считаться пренебрежимо малыми (эти оценки будут сделаны более точными после получения зависимости между величинами и и з). Фигурирующую в уравнении (3.11б) величину ао можно разложить в ряд Тейлора в окрестности значения а,' для невозмущенной жидкости, т. е. а'= вр =("вр) +/,в,р) (е — е1) =а~+ е.з( — в',р), Таким образом, а' также отличается от своего значения в невозмущенной жидкости на малую величину, вследствие чего последний член правой части уравнения (3.!1б) можно приближенно представить в виде а,'(дз/дх).
Эти два уравнения определяют связь между основными величинами, характеризующими возмущение, т. е. между скоростью час' тйцы и и уплотнением з. Давление связано с величиной з уравнением иззнтропического процесса; в случае совершенного газа это уравнение таково: З.е. Акустические уравнения 87 Следовательно, при наличии малых возмущений точные уравнения движения можно аппроксимировать следующей системой уравнений, в которых не содержатся нелинейные члены: де ди —,+ к=О ас дх ~ (3.12а) аи, а7 — + ае — „= О. дв ах ~ (3.!2б) $Ь (3.14а) и аналогичным образом д'и а'и а3~ 0 авв е,дя' (3.14б) Уравнение этого вида, которому удовлетворяет как в, так и и, называется волновым уравнением. Оно является характерным для описания явлений, при которых „возмущение" распространяется с определенной скоростью сигнала, или скоростью волны.
Как мы увидим, скоростью сигнала здесь является а,. Решение волнового уравнения можно зайисать в весьма общей форме. Оно имеет вид в = р(х — а,1) + 6(х + асг), 1Ь (3.15а) где г" и О являются произвольными функциями своих аргументов. Справедливость такого решения можно проверить путем непосредственной подстановки его в волновое уравнение. Положим, что б =х — а,1 и в1 =х+ а,б Тогда — = — — + — = а ( — Р' + О') ав ВР аа Ва аи ас=ав ас вч ас Эта система носит название акустических уравнений в связи с тем, что возмущения, создаваемые звуковой волной, являются, по опре- делению, очень малыми.
Соответствующие приближенные представления уравнений изэнтропического процесса (3.10б) и (3.10в) для совершенного газа имеют следующий вид: Р =1+уз, Ръ т +(у (3.136) Из уравнений (3.12) можно исключить любую из двух зависид'и ави мых переменных. Поскольку — „, = —,, перекрестное дифферен- цирование позволяет получить уравнение аеа' в дев — — а,' — =0 аве дяв 88 Гл. 3. Одномерное распространение волн причем штрих обозначает дифференцирование по соответствующему аргументу. Проводя и далее аналогичные операции, можно показать, что дв7/д1в= а,'(р + 6"), а д'7/дх'= Г + 6", так что уравнение (3.14а) удовлетворяется.
Подобным же образом можно выразить через две произвольные функции и решение для и: и = /(х — а,1) + д(х + а,1). (3.15б) В силу первоначальных уравнений (3.12) должна существовать связь между величинами и и 7, а поэтому, разумеется, функции / и д связаны с Г и 6. Уравнения (3.12) удовлетворяются, если положить 1= а,Р, (3.15в) в = — а,6. (3.15г) Справедливость последних соотношений можно проверить опять- таки путем непосредственной подстановки. 3.5. Распространение акустических воли Для иллюстрации характера решения, выражаемого формулой (3.15а), можно положить вначале 6 =0; тогда распределение плотности в момент времени 1 определяется следующим уравнением для уплотнения: 7 = Г(х — ае1). Это уравнение характеризует возмущение или волну, которая при 1 = О имела следующую (произвольную) форму: 7= Г"(х) и которая в данный момент времени! имеет в точности такую же форму при наличии, однако, смещения соответствующих точек вправо на расстояние а,1(фиг.
19). Это значит, что скорость каждой точки волны, а следовательно, и самой волны равна а,. Такого рода волна, скорость распространения которой имеет одно направление, называется простой волной. Если предположить, что ес = О, а волна описывается уравнением в = 6(х + а11), то получится простая волна, распространяющаяся влево со скоростью а,. Общее решение 1формула (3.15а)) получается путем наложения простых волн двух указанных видов, одна из которых распространяется влево, а другая — вправо. Каждую акустическую волну можно разложить на две простые волны. Иллюстрацией применения данного метода служит пример, который будет разобран в п.
3.8. З.б. Скорость звука Ха(тактв пстикис к а а(л а б Ф и г. 19. Простые волны в плоскости хи. а — волна, распространяюшаяся вправо: Е = Р (х — а,и; в — волна, распростраляюшаяся влево: З = О (х -Ь аап. Те линии в плоскости х4 (фиг. 19), которые характеризуют распространение волн, т. е. линии, имеющие наклон ((х/(1( = = -ь вы называются харакгперис(ликами волнового уравнения.
3.6. Скорость звука Величина а = '1'((р/(/9 определяет собой скорость распространения возмущений в жидкости и поэтому называется скоростью звука или акустической скоростью. В тех уравнениях, которые приводились в предыдущих пунктах в связи с вопросом о распространении возмущений, предполагалась возможность пренебречь трением; для того чтобы такое предположение было справедливым, полученные в этих пунктах результаты следует применять только к случаю достаточно малых возмущений.
Звуковые волны представляют собой „достаточно малые" возмущения уже в силу своего определения; критерий малости возмущений состоит в том, чтобы создаваемые ими градиенты скорости были очень малыми (в результате чего можно пренебречь силами трения) и чтобы выполнялось неравенство и/аа « 1. Так как приращение энтропии завйсит от квадратов градиентов скорости (и от градиентов температуры), то оно также будет пренебрежимо малым, откуда следует вывод об изэнтропичности движения в звуковой волне. Таким образом, зависимость между давлением и плотностью в звуковой волне должна соответствовать изэнтропическому процессу, и для корректного выражения величины ав следовало бы написать, что (3.16) Ги Э.
Одномерное распространение волн Т = 500'й (4!'Г), Т = 300'К (27'С). О При расчете скорости звука нормальной громкости можно пренебречь трением (з также местным приращением знтропии), но суммарный эффект возрастания амплитуды яе является пренебрежимо малым. Звук нормальной громкости имеет достаточно малую амплитуду, так что местный прирост энтропии является фактически пренебрежимо малым, и применение формулы (3.16) к расчету скорости распространения звука дает высокую точность'). С помощью формулы (З.бв) можно оценить ошибку, получаемую при расчете скорости звука конечной амплитуды.
Параметр а' играет в теории течения сжимаемой жидкости центральную роль, так как он фактически определяет собой зависимость между давлением и плотностью жидкости. Этот параметр используется для того, чтобы с помощью подстановки др ар до до — = — — =а'— дл до дя дя исключить давление из уравнения количества движения (см.,например, пп. 2.9 и 7.12). Здесь фигурирует полная производная, так как подразумевается, что р представляет собой явную функцию о, т. е. р = р®; с другой стороны, при введении параметра а' подразумевается, что эта зависимость между давлением и плотностью соответствует изэнтропическому процессу. Следовательно, указанная выше подстановка пригодна только для изэнтропических течений.
В тех случаях, когда принимается во внимание трение, приток тепла или какой-либо другой неиз- ' энтропический процесс, давление зависит также и от энтропии, т. е. р = р(р,э), и получается, что где появляется в явной форме член, связанный с приростом энтропии и содержащий производную дз/дх.
Можно отметить, наконец, что для подсчета величины а' всегда может быть использовано уравнение состояния вместе с формулой (3.16). Такой подсчет для случая совершенного газа 1уравнение (3.106)1 дает результат а' = УР = у1тТ. о Величину а' часто вводят в какое-либо уравнение, например уравнение энергии, взамен температуры, однако такая замена пригодна только для случая совершенного газа. Если указанное выше соотношение применить к расчетам скорости звука для воздуха (у = 1,4, И = 2,87 х 1О' эрг)г 'С), то можно получить, что а=1095 сбаут/сок при а=348 м!сок при З.у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
