Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 17
Текст из файла (страница 17)
давление и скорость частиц в овуковоа волне 91 Значения, соответствующие другим температурам, удобно вычислять по приведенным здесь, воспользовавшись соотношением ие Те 3.7. Давление и скорость частиц в звуковой волне С помощью формулы (3.13а) можно рассчитать то изменение давления, которое сопровождает волну плотности в совершенном газе. Оно выражается в виде р — р (р = — = ув. Ре Ре (3.17) Таким образом, волна давления имеет ту же форму, что и волна плотности, отличаясь от нее лишь постоянным множителем у. Когда в жидкости распространяется волна, то вследствие изменения давления жидкость приходит в движение, получая скорость и, называемую скоростью частиц.
Ее не следует смешивать со скоростью волны а„которая обычно намного больше. В задаче об ударной волне (п. 3.2) соответствующие скорости обозначаются через ир и с,. Ф и г. Зь Характерные области при распространении простых акустических волн. а — внене, рвснрестрвнянтвяся вареве: е = р(х — а,о. н=а,р(х — а,п; б — волне, рвелраеервняклявяся влево: е — С(х -(- а,п, а — — а,и(х -(- а,и. Простая волна, распространяющаяся вправо в соответствии с уравнением з = ет(х — а,(), создает по отношению к скорости возмущение, форма которого определяется из уравнений (3.15): и = а,р(х — а,() = а, м (3.18а) Для волны, распространяющейся вправо, и = — а,б(х + а(() = — а,з.
92 Гл. 3. Одномерное распространение волн и= ~а1з )ь (3.19) для областей сжатия и расширения соответственно. Как можно видеть, сжатие ускоряет движение жидкости в направлении распространения волны, тогда как расширение замедляет его. В общем случае, когда волна не является простой, а получается в результате наложения двух простых волн 1см. уравнения (3.18)), зависимость между скоростью частиц и плотностью принимает вид и Р— б аЗ' Р+б и изменяется как в пространстве, так и во времени. Можно отметить еще одно обстоятельство, которое будет использовано в дальнейшем: в предельном случае исчезающе малых возмущений параметры возмущения могут быть представлены в дифференциальной форме.
Тогда и и з заменяются дифференциалами Ии и с(Е/Еы а формулы (3.19) и (3,17) записываются в виде йи= ~а,— де 1 е (3.20а) е ее, ~е (3.206) ') Отсюда происходит название величины в, определение которой дает формула (3. 1Оа). аЗ' аи ') Как можно видеть из втой формулы, и — =У вЂ”, что позволяет проах ах' извести точное сравнение всех членов, входящих в уравнения (3.11).
Этим оправдывается пренебрежение нелинейными членами прн получении уравнений (3.12). Зги соотношения, имеющие место между з и и в простой волне двух видов, иллюстрируются фиг. 20. Отдельные части атой волны называются уплотнениями') или разрежениями в зависимости от того, выше ли там плотность, чем плотность Е, в невозмущенном газе, или ниже. Характер воздействия волны на жидкость зависит от градиента распределения плотности (и давления), а также от направления распространения волны. Та часть волны, которая при своем распространении создает повышение плотности, называется областью сжатия, а та ее часть, которая создает понижение плотности, называется областью расширения. Фигура 20 иллюстрирует характер изменения скоростей частиц, определяемый формулой' ) З.б.
„Линеарииированная" ударная аруба 93 откуда мы можем заключить также, что Ир = — У'Р' бр = ~ 9, а, Ии. рг (З.гов) 3.8. „Линеаризнрованная" ударная труба Для иллюстрации применения акустических уравнений к решению конкретной задачи рассмотрим ударную трубу (фиг. 21). Это — всего лишь труба, разделенная мембраной или диафрагмой на две камеры, давления в которых различны. Когда мембрана внезапно удаляется (разрывается), начинается процесс распространения волн. Если перепад давлений настолько мал, что движение может быть приближенно описано с помощью акустических уравнений, то ударную трубу можно назвать вакустической" или илинеаризированной". Точные уравнения, описывающие процесс в ударной трубе, будут выведены в п. 3.12. а и) 1 (г) а 1 ! /фп~ алии ~Диа Ф и г.
2Ь Акустическая модель ударной трубы. и — ввчвльвые условии: б — диаграмма лли и — условии в мемеит времеви Ь Можно принять, что условиям в камере низкого давления (1) соответствует значение У, =О. В начальный момент времени 1 = О, непосредственно после удаления мембраны, волна имеет показанную на фиг. 21 форму, т. е. имеет место „ступенчатое" распределение плотности. Скорость частиц в этот момент равна Х'л. 3. Одномерное распростронсние волн нулю, так что при ! = 0 волна описывается з(х, О) = Р(х) + 6(х) = з (х) = ! (О, и(х, 0) = а,Р(х) — а,6(х) = О. Решая зти уравнения совместно, получим 11 Е(х) = 6(х) = — з (х) = ~ 2 1 з41 — 2 е ~0, В любой последующий момент времени вается уравнениями уравнениями') х)0, х< 0; х)0, х< О. движение описы- зе х >а,1, 1 — з„— а!<х< а1, з(»' !) 2 зо(х а1!) + 2 зо(» + а !) О, О, х< а,1; х)а,1, 1 1 1 и(х, !) = — а,за(х — ат!) — — атзо(х + ат!) = — — а,з „вЂ” а,!<х< а,1, 3.9.
Изэнтропические волны конечной амплитуды Те свойства акустических волн, которые упрощают их исследование, например постоянство скорости распространения и неизменность формы простой 'волны, связаны с линеаризацией уравнений; последняя, в свою очередь, связана с предположением о бесконечно малых амплитудах и градиентах.
Если такого предположения сделать нельзя, то параметры течения в заданной ') Индексы выбраны таким образом, что они соответствуют анализу течения в ударной трубе, который будет проведен в п. 3,12. О, х<а !. Распределение плотности в момент времени 1, показывается на фиг. 21. В сторону области низкого давления (1) распространяется волна сжатия, а в сторону области высокого давления (4) — волна разрежения той же интенсивности (как будет показано в п. 3.10, скачок разрежения конечной интенсивности в действительности существовать не может, однако зто различие природы волн сжатия и волн разрежения в акустической теории не проявляется). В области (2) между ударной волной и волной разрежения скорость всех частиц одна и та же.
Как видно из приведенного выше решения, зта скорость имеет величину 1 ие 2 исае' 3.9. Иоонтроиичеекие волны конечной амллигауды М точке волны не могут приближенно выражаться через параметры невозмущенной жидкости. Скорость распространения волны будет изменяться от точки к точке, и форма простой волны при ее распространении будет искажаться. Желая описать такие конечные возмущения, необходимо решить полные нелинейные уравнения (3.7) и (3.8).
Это решение было получено Риманом и Эрншоу около ста лет тому назад. Вместо того чтобы описывать здесь формальную математическую сторону решения'), мы подойдем к нему путем рассмотрения физической стороны явления. Основной принцип этого подхода состоит в утверждении, что с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с некоторой частицей, акустическая теория применима в каждой точке в отдельности.
Смысл этого положения иллюстрируется фиг. 22, где показана волна конечной амплитуды, на которую в точке х = х„ накладывается „элементарная волна". По отношению к наблюдателю, движущемуся со скоростью жидкости и„в данной точке, скорость распространения элементарной волны равна местной скорости звука а, = (йр/Ир)н, тогда как по отношению к системе отсчета, связанной с невозмущенной жидкостью, эта волна распространяется со скоростью с„ = и„ + и„. о Ф н г. 22. „Элементарная волна", наложенная на волну конечной амплитуды. Далее мы можем обходиться без элементарной волны.
Очевидно, что местная скорость распространения волны в любой точке х„ определяется этим выражением или, в общем случае, выражением с= а~ и. (3.21) Знак минус в правой части берется тогда, когда волна движется влево. Правило знаков состоит в том, что и представляет собой проекцию вектора скорости (ее знак связан с направлением отсчета х), тогда как с и а суть модули скоростей (всегда положительны). Скорость распространения волны уже не будет постоянной, как в линеаризированной теории, не только за счет того, что переменна скорость звука и, но и потому, что уже нельзя ') См. упражнение 3.4.
Гл. В. Одномерное роенроетроненне волн т — ! а= а1~ 2 и. (3.23а) Если подставить зто выражение для местной скорости звука в формулу (3.21), то уравнение, определяющее скорость распространения волны, принимает вид с аА~ 2 и у+1 (3.21а) или с = а,(1 !- '+, (( е )" — 1]~ ~ (3.216) где а, — скорость звука в невозмущенной жидкости. 3.10. Распространение волн конечной амплитуды Можно показать, к каким последствиям приводит наличие волн, скорость которых выражается таким „нелинейным" образом, если вновь рассмотреть случай распространения простой волны, допустив лишь, что ее амплитуда конечна.
Для возможности сравнения с фиг. 19 предположим, что плотность имеет такое начальное распределение, какое показано на фиг. 23 при ! = !о = О. Для волны, распространяющейся вправо, в уравнениях предыдущего пункта следует везде взять знак плюс. Согласно уравнению (3.21б) скорость распространения ударной волны в областях уплотнения (а >а,) больше, чем а„ а в областях пренебречь скоростью частиц и. Чтобы выразить зависимость этих величин от плотности, используется акустическая теория, применяемая к условиям в каждой точке в отдельности. Прежде всего, можно выразить зависимость местной скорости звука от плотности.
Используя соотношение иззнтропичности с целью исключения величины р из выражения а' = ур/а, мы получаем для случая совершенного газа а= а,(~) (3.22) Далее, зависимость скорости частиц от плотности определяется с помощью применения формулы (3.20а) к условиям в данной точке, т. е. Ни=~и —. ве е Если а заменить по формуле (3.22), то зто соотношение интегрируется следующим образом: и =+ / а — е= ~ ' ((е)'~ — 1) = ~ ! (а — а,),(3.23) е, д.б. Анаяогия е движением норшня 113 на фиг. 30,б точки Р; ею могла бы быть любая точка потока. Угол 1в является просто характеристическим углом, который связан с числом Маха М посредством соотношения ~ (4.13) 1 ,и = а ге з1 и —.
м Этот угол называется углом Маха. Те линии, которые можно провести под углом ев к направлению потока в любой его точке, называются линиями Маха или иногда волнами Маха. Однако последний термин может'ввести в заблуждение, так как он часто применяется в другом смысле — для обозначения слабых, но конечных волн, создаваемых малыми возмущениями. В неоднородном потоке угол ев изменяется вместе с числом М и линии Маха оказываются искривленными.
В любой точке Р поля течения (фиг. 30,в) всегда имеются две линии, пересекающие линию тока под углом ев (в трехмерном течении линии Маха определяют собой коническую поверхность с вершиной в точке Р). Таким образом, двумерному сверхзвуковому течению всегда соответствует два семейства линий Маха. Для их обозначения удобно пользоваться значками (+) и ( — ), как зто показано на фиг. 30,в. Линии Маха семейства (+) отходят вправо от линии тока, а линии семейства ( — ) отходят влево от нее. Их называют также характеристиками, используя термин, взятый из математической теории описывающих данное течение гиперболических дифференциальных уравнений. По существу эти линии аналогичны тем двум семействам характеристик, вдоль которых распространяются одномерные волны в плоскости х 1 (п. 3.5). В гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
