Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 18
Текст из файла (страница 18)
12 будет показано, каким образом систему характеристик можно положить в основу метода расчета. Подобно характеристикам в плоскости х1, линии Маха идут в определенном направлении, а именно в направлении течения, совпадающем с направлением „увеличения времени". Эта особенность очевидным образом связана с тем, что в сверхзвуковом течении отсутствует влияние вверх ло потоку.
4.6. Аналогия с движением поршня Аналогия между характеристиками, получаемыми при решении акустической задачи, и линиями Маха в двумерном сверхзвуковом потоке может быть распространена, как это показано на фиг. 31, и на другие свойства течений с распространением волн. Та плоскость х-1, которая фигурировала в гл. 3, на фиг. 31,а повернута .таким образом, что ось1 стала горизонтальной. При 1 = 0 поршень начинает свое движение импульсивным образом со скоростью и„ и создает ударную волну, которая движется впереди него и зовз Гл, 4.
Волны в сверхзвуковом течении со скоростью с. Следы, оставляемые поршнем и ударной волной в плоскости х 1, соответствуют поверхности клина и косому скачку уплотнения в плоскости х;х, (фиг. 31,б). При использовании этой аналогии координата, отсчитываемая по оси х„оказывается „подобной времени". Если при 1 = 1, поршень мгновенно останавливается, то его последующая история изображается линией х = сопз1. Это аналогично обтеканию заостреннего клина; поверхность клина имеет иЬнеккоо" хеосшоосо еж Ф и г. 31. Аналогия между плоскостями хп и х,-х,. о — дввжевве поршвп в распростравевве волн в ппоскоств а-и 6 — двуконный сверх- автковой поток прв оетенанвв нонна с првсоедвненной хвостовой частью. излом — плечо, отделяющее хвостовую часть, граница которой параллельна направлению свободного потока.
В задаче о поршне имеется центрированная волна разрежения, начинающая свое распространение в момент 1х. В задаче об обтекании клина также фигурирует аналогичная волна разрежения, центром которой служит плечо. Положение этой волны отмечается прямыми линиями, каждая из которых наклонена к линии тока под местным углом Маха. Соотношения, определяющие течение внутри этой овеерообразной" области расширения, будут даны в и.
4.10. В плоскости х1 фронт волны разрежения пересекает ударную волну в точке а. В процессе последующего взаимодействия ударная волна непрерывно ослабляется и скорость ее движения уменьшается (приближаясь к акустической скорости а,) до тех пор, пока гдето очень далеко от начальной точки интенсивность ударной волны не становится пренебрежимо малой (на фиг. 31 не показаны очень слабые волны, отражающиеся в обратном направлении, в сторону поршня). Подобным же образом влияние плеча при обтекании клина не ощущается на участке скачка уплотнения, расположенном впереди той точки а, где крайняя волна Маха из веерообразной области расширения „настигает" скачок.
Эта ограниченная возможность влияния вверх по потоку представляет собой чрезвычайно важную особенность сверхзвукового течения, так как она позволяет строить поле течения последовательно, от точки к точке. 4.7. Слабые косые скачки уллаеянения Следует заметить, что обрисованная здесь аналогия является лишь формальной и что реальные геометрические картины в двух указанных плоскостях не могут точно соответствовать одна другой.
Например, возможен случай, когда крайние линии Маха, идущие от плеча клина, наклонены вверх по пал!оку, тогда как при решении задачи о поршне невозможно получить характеристики, наклоненные в отрицательную сторону оси !. Тем не менее эта аналогия является полезной, особенно для целей наглядного изучения общего характера взаимодействия волн в плоскости х-!. 4.7. Слабые косые скачки уплотнения В случае леалых углов отклонения б уравнения косого скачка уплотнения приводят к очень простым выражениям.
Приближенное соотношение, из которого могут быть выведены остальные, уже было дано в виде уравнения (4.11а) Ме Б!и к 1 ж 7+2 М1 !ь Р В При малом О значение Р приближается или к ес/2, или к 7л в зависимости от того, будет ли М, ( 1 или М, ) 1 (см. фиг. 28). Поки что мы рассматриваем только последний случай (М, ) 1), когда можно использовать приближенное выражение !8Р !бр= у„—, 1 ! Тогда написанное выше уравнение принимает следующую форму М,' з!пе )! — 1 ж У, О. (4.!4) з Гм! — ! Это соотношение служит основой для получения всех других приближенных выражений, так как все соотношения, определяющие переход через косой скачок, зависят только от числа Маха нормальной компоненты, равного М,з!и)!.
Так, из формулы (4.3) нетрудно выразить изменение давленйя Ре Ре "1Р УМс а р, р ум,* — ! Как видно из этого выражения, интенсивность слабого скачка пропорциональна углу отклонения. Изменения всех других параметров течения, за исключением энтропии, также пропорциональны д. Изменение же энтропии пропорционально третьей степени интенсивности скачка (п. 2.13) и, следовательно, третьей степени угла отклонения: е)в бе. (4.16) 8* — ее 11Е Гл. В. Волин в сверхзвуковом течении Для того ч'тобы выразить в явной форме, насколько отли- чается угол наклона скачка (7 от угла Маха (е, мй можем положить, что !)= (е+ в, где в «(л.
Затем, раскрывая выражение з!п((в+ о), можно приближенно приравнять з!п во!о в, созвочо 1 и написать з(п !) ни з!и (в+ в соз,и. ТаК КаК, ПО ОПрЕдЕЛЕНИЮ, З!П(!=1/М, И С!а(о=~М,' — 1, тО получается, что М з!и )) ж 1 + в 11еМà — 1, (4.17а) или М, 'з!и'(Уж 1+ 2в!ГМ~ — 1. (4.17б) Сравнивая последнюю формулу с уравнением (4.14), получим зависимость между в и 9 в форме т+1 М, в= — д.
4 М! — 1 (4.18) Если угол отклонения имеет конечную величину б, то угол наклона слабого скачка отличается от угла Маха на величину о, имеющую тот же порядок, что и д. Нам нужно будет выразить также изменение скорости потока при переходе через скачок. Его можно определить из отношения (см. фиг. 27) Вое иео + оо (ие/о)о + 1 1Зо(!З вЂ” В) + 1 сове р л!о в (4.19б) !о! и( + оо (и1/Ь)о + 1 1$$ р -1- ! сове(() — В) где для замены ио/о и из(о использовались формулы (4.8). В последнем из полученйых членов по формуле (4.17б) имеем созе(1= 1 — з!пв)) = ' ~1 — - ). Мо — !р зо М; ~ УМ,*— 1 Отсюда получается и аналогичное выражение для соз'(!У вЂ” О), если только в заменить на в — 6.
Если отбросить все члены порядка до и более высоких порядков, то окончательный результат получается таким: — оно! — . ° (4.19а) и', 1'М,1— 1 б.г. Сжатие еоерхтукоооео потока при еео отклонении 117 4.8. Сжатие сверхзвукового потока при его отклонении Проходя через жидкость, ударная волна увеличивает ее давление и плотность, т.е. сжимает поток. Простой способ сжатия сверхзвукового потока состоит в повороте потока так, чтобы он проходил через косой скачок; для этого, как показано на фиг. 32, а, стенку необходимо отклонить на угол О. 6 в Ф и г. 32. Сжатие сверхзвукового потока путем поворота В угол З.
О ОДИВОЧВЫВ Слачеи уввотв6НИЯ, ИВТЕВСИВВО«ть ВотОРОГО СООТВЕТЮВуот углу о; б — ив«вольво более слабых «вачвов, тггевевавость важхого соотетствует ВО; о — влаввое веврерыввое сжатие. Можно подразделить этот поворот на несколько этапов, в каждом из которых, как это показано на фиг. 32,б, поток поворачивают на меньший угол АО. Тогда сжатие осуществляется за счет последовательности косых скачков, делящих поле течения вблизи стенки на отдельные области, в которых поток однороден.
Направления этих скачков сближаются, так что на некотором удалении от стенки они должны пересечься между собой, но мы будем рассматривать пока что только течение вблизи стенки. Каждый участок течения в этой области совершенно независим от следующего участка; это значит, что все поле течения можно построить от участка к участку, двигаясь вниз по потоку.
Это свойство ограниченности зоны влияния вверх по потоку имеет место до тех пор, пока отклонение не становится настолько большим, что течение переходит в дозвуковое. 118 Гл. 4, Велим в сверхзвуковом течении Чтобы сравнить процессы сжатия в случаях, показанных на фиг. 32,а и 32,б, можно использовать полученные в предыдущем пункте приближенные выражения для слабых скачков.
При переходе через каждый из скачков в случае, показанном на фиг. 32,б, мы имеем Лр- ЛВ, Лв (Аб)з. Если весь поворот состоит из п участков, то О= пад, и тогда суммарные изменения давления и энтропии оказываются такими: р — р, пе)б в„— з, п(А9)з пАВ(А6)з б(АВ)з. Следовательно, если сжатие осуществляется с помощью большого числа слабых скачков, то прирост энтропии может быть очень сильно уменьшен в сравнении со случаем отдельного скачка, дающего в итоге то же самое отклонение.
Этот прирост уменьшается в пропорции 1/пз. Если продолжать процесс подразделения поворота на этапы, то отдельные участки могут быть сделаны исчезающе малыми, т. е. ЛО- О, и в пределе получается плавный поворот, показанный на фиг. 32,в. Тогда и прирост энтропии становится исчезающе малым, т. е. процесс сжатия оказывается изэнтропическим. Рассмотрение этого предельного процесса приводит также к следующим результатам, 1) Интенсивность скачков становится исчезающе малой, причем их положение определяется в пределе прямыми линиями Маха, часть которых показана на фиг. 32,в.
2) Ширина каждого участка однородного течения также становится исчезающе малой, и этот участок в конце концов превращается в линию Маха. Таким образом, на каждой из линий Маха оказываются постоянными как угол наклона линии тока, так и число Маха. 3) Ограниченность зоны влияния вверх по потоку сохраняется; течение в области, расположенной выше по потоку, чем данная линия Маха, не подвергается влиянию изменений формы стенки, происходящих ниже по потоку'). 4) Приближенное выражение для изменения скорости при переходе через слабый скачок лв м ум',— ! ') Следовательно, а предельном случае плавного течения скорости и углы наклона потока должны изменяться непрерывно, хотя их производные по-прежнему могут изменяться скачком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
