Г.В. Липман, А. Рошко - Элементы газовой динамики (1161618), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Однако эта вольность оказывается удобной и не должна вызвать никаких недоразумений.) Для определения связи между величинами М' и М нужно обе части уравнения (2.33) разделить на и'. Получаемое в результате уравнение можно разрешить относительно М*' или М', что дает следующие формулы: — — Мв 1+ -М' — + у — 1 2 М' М" в г М' — — ~ (2.376) М* — (у — 1) Как можно видеть из этих формул, при М< 1 получается М*< 1, а при М > 1 будет М* ) 1.
2.11. Уравнение Бернулли; динамическое давление Если использовать уравнение состояния газа р = 1сЕТ для исключения Т, то можно переписать уравнение энергии (2.28) в следующем виде: — и'+ 1 у Р у рв, 2 у — 1 е у — 1 е. Это уравнение справедливо для адиабатического течения. При соблюдении условий изэнтропичности можно использовать соотношение р/Ет = ро/Ег' для исключения Е, получая в результате — и' + у р' / р ! = у - р' ° (2.38) 2 у — 1 Ев 1рв/ у — 1 Е Уравнение (2.38) представляет собой проинтегрированное уравнение Бернулли (2.186).
динамическое давление )сз Еи' в потоке сжимаемой жидкости уже не представляет собой просто разность давления торможения и статического давления, как это было в случае несжимаемой жидкости. Теперь эта величина зависит как от статического давления, так и от числа Маха. Соотношение, выражающее эту зависимость для совершенного газа, будет таким: — Еи' = — Еа'М' = — Е( — ! М' = — урМ'. ~ (2.39) ! 1 1 сура 1 2 Гл.
г. Головая динамика одномерных елечений 74 Величина динамического давления используется для выражения коэффициентов давления и силы в стандартной форме. Например, коэффициент давления выражается в виде где У и М, представляют собой характерную скорость и характерное число Маха. В случае изэнтропического течения можно использовать формулу (2.31) с целью выражения коэффициента давления как функции местного числа Маха: г 11г + (т — 1) Ж1тд~ т> уМ, 11г+(т — 1)Мт1 (2.40а) Наконец, раскрывая обозначения М, '= Уа/айвы Мтко па/па и используя уравнение энергии и' а' ьы а,' — + = — + г г — 1 = г для исключения величины а', можно получить выражение для коэффициента давления в следующей форме: С' = м ([1+ ~ г Мф(1 *)1 1~' (2'406) 212. Течение в канале с постоянной площадью поперечного сечения Рассмотрим адиабатическое течение в канале с постоянной площадью сечения (фиг.
16,а) при наличии области неравно- Ое о о о а б а Ф и г. 16. Схема изменения условий равновесия в потоке с постоянной плопеадью сечения. о — папичие постоявпых параыстроа течения по осе сторояы ойластп неоднородного, течевве или диесипепив свергни; й — прямой скачок тплотвеввя; е — скачок тплоеиеиия, яеляюпЕийся прямыМ иа випми тока ай. весного режима движения (заштрихованной на фигуре).
Если сечения 7 и 2 располагаются вне этой области, то уравнения неразрывности, количества движения и энергии записываются 75 зяз. Течение о канале с постоянным сечением так: (2.41а) (2.416) (2.41в) Иэпэ = рэпа Р,+Еэп~=Р,+Е.п',, 1 э 1 ~ +э" ="э+ г". ') В этой книге ударная волна всегда будет изображаться двойной линией, кэк зта пэкзэзна нз фнг. 1б,б н 1б,о.
Никаких соображений, касающихся ее структуры, мы приводить не будэм. Ни фотографиях, сделанных теневым методом (см., например, фнг. 17,6), ударная волна кажется темной линией, зз которой следует светлая лннйя; причины этого поясняются в и. 6.13. ') Термин „скачок уплотнения" будет применяться в дальнейшем только в случае стационарной ударной волны. — Прим. лорел. Решение этих уравнений определяет, какие соотношения должны иметь место между параметрами течения в двух данных сечениях; это решение будет получено ниже. Никаких ограничений на размеры и свойства указанной области диссипации энергии не налагается, поскольку контрольные сечения располагаются за ее пределами. В частности, она может быть идеализирована в виде области исчезающе малой толщины, показанной на фиг.
1б,б, при переходе через которую параметры течения испытывают „скачок". Тогда контрольные сечения, 1 и 2 могут быть проведены сколь угодно близко к этой области. Такая поверхность разрыва называется ударной эолной') или скачком уплотнения'). Конечно, в реальной жидкости поверхности разрыва практически быть не может; такая поверхность служит лишь идеализированным представлением тех очень больших градиентов, которые на самом деле существуют в ударной волне при переходе от состояния 1 к состоянию 2.
Эти резкие градиенты приводят к возникновению внутри ударной волны вязкостных напряжений и явлений теплопередачи, т. е. неравновесных условий. Механизм образования ударной волны, а также некоторые явления, имеющие место внутри области диссипации энергии, будут рассмотрены ниже. Для приложения к большинству аэродинамических задач вполне достаточно рассчитать скачки равновесных значений параметров потока и представить ударную волну как поверхность разрыва.
Контрольные сечения могут быть проведены сколь угодно близко к ударной волне, а поэтому уже нет необходимости рассматривать канал с постоянной площадью сечения. Иначе говоря, всегда можно применить данные результаты к местным условиям по обе стороны ударной волны, если только последняя направлена по нормали к линии тока (фнг. 16,о). Разумеется, соотношения, определяющие переход через ударную волну, могут устанавливать также и связь между пара- Ф и г. )7. Сжатие н потоке с постоянной площадью сечения.
а — примеры областей сжатия конечной прохин<енностив «а- нале прямоугольного сечения; при сжатии осуществляется передел сверхввунового течения в доввуновое посредством сложной системы скачков, вааимодейетвующих с пограничным гноем; нз статья лунасевича [сб, и еханиха, )п 5 (1953), стр. 93). б — пример очень уаной области сжатйя) при сжатии осуществляется переход от сверхавунового течения н доавуновому посредством одиночного прямого скачка уплотнения; фотограФия ударной волны, движущейся справа налево в ударной трубе, сделана теневым методом; иа статьи Влипни, Веймера и Флетчера 1В!еа1спеу ууа)хег, ьуе!щег В.
к., р!е(- сп ег С. Й., Все, Вс(. )ее)г„йе (1949), 301]. 2Л3. Прямой скачок унлошненая в совершенном газе 77 метрами потока в сечениях прямых каналов, расположенных за пределами области неравновесного режима (канал такого рода показан на фиг. 1б,а). Для этого необходимо, однако, чтобы силы трения жидкости о стенки были пренебрежимо малыми, потому что эти силы не учтены в уравнении количества движения. В качестве примера может служить сверхзвуковой диффузор с постоянной площадью сечения, в котором вследствие отрицательного градиента давления величина сопротивления трения оказывается пренебрежимо малой.
При движении газа в диффузоре происходит сложный трехмерный процесс, связанный со взаимодействием ударных волн и пограничного слоя. Для того чтобы в конце диффузора жидкость достигала равновесного состояния, он должен быть длинным; это дает любопытный контраст с прямым скачком уплотнения, за которым равновесие достигается уже на очень близком расстоянии.
В качестве примера фиг. 17,а иллюстрирует течение с постепенным сжатием в канале с постоянной площадью сечения; наоборот, на фиг. 17,б приведен пример течения с прямым скачком уплотнения. 2.13. Соотношения для прямого скачка уплотнения в совершением газе Уравнения (2.41) являются общими уравнениями для случая прямого скачка уплотнения. Обычно приходится решать их численным методом (см. упражнение З.б). Однако в случае термически и калорически совершенного газа можно получить формулы, выражающие явную зависимость искомых величин от числа Маха М, перед скачком. Если разделить правую и левую части уравнения количества движения (2.41б) соответственно на а,и, и ази„равные между собой на основании уравнения неразрывности, и использовать соотношение а' = ур/й, справедливое для совершенного газа, то получится следующее соотношение: а1 а1 Рс и — и Рв р,ав реаз у"и унс ае ае аз аз 2 у — 1 2 у — 1 2 у — 1 После некоторых преобразований получается простое соотношение: и,и, = а*'.
> (2.42) Теперь а,' и а,' можно выразить с помощью уравнения энергии для совершенного газа: 78 Гя. 2. Газовая динамика одномерных течений (гАЗ) то из (гА4) ха: Если использовать зту зависимость для замены Мо и М,* в у ненни Прандтля, то получается соотношение между числами Ма 1+У вЂ” ' Мз 2 Мз э— ,Мз У 2 ~ (2.45) ') Выражение для отношения скоростей по обе стороны скачка также может быть записано в весьма простой форме: (2.46) и и,и ао' Это соотношение вместе с соотношением (2А4) полезно использовать при выводе других формул. Например, с помощью уравнения неразрывности отношение плотностей по обе стороны скачка выражается так: (у+ 1) Мз )о (2.47) О, ае (У вЂ” 1) Мз + 2 Желая выразить отношение давлений, из уравнения количества движения получим, что р, — р, = Е,и', — азиз = азиз(и, — ио) где при последнем преобразовании используется уравнение неразрывности. После приведения этого соотношения к безраз- з) Как это, так и другие соотношения для скачков уплотнения табулиру ются в табл.
1Ч, помещенной в конце книги. Оно известно под названием соотношения Прандтля или соотношения Майера. Это же соотношение, переписанное для приведенных скоростей М* = и(ио, принимает следующий вид: мч М' ) Так как случаи М* 1 соответствуют случаям М 1, соотношения Прандтля видно, что скорость при переходе через прямой скачок должна превращаться из сверхзвуковой в дозвуковую или наоборот.
Как будет показано ниже, из двух вариантов оказывается возможным только первый, чего и можно было ожидать постольку, поскольку маловероятно, чтобы эффект диссипации выражался в увеличении скорости. Зависимость между числами Ме и М была получена в п. 2.10. Она является такой: М*з (У+ О М (У вЂ” 1) Мз + 2 2.1З. Прямой скачок уплотнения в совершенном саве 79 мерной форме получаем Рз — Рз Рзи1 1 из1 Рз Р, и,! Наконец, используя формулу а, '= ур/оз и формулу (2.47) для отношения и,/и„ выражаем скачок давления в следующем виде: р,— р, лр, гу (м, — 1). Рз Рз у+1 (2А8) Отношение температур можно получить из формул (2.47) и (2А8а), используя формулу Т,/Т, =(рз/рз) (й,/йз).
Или же, отправляясь непосредственно от уравнения эйергии й используя формулу (2.46), после некоторых преобразований находим, что а$ Гз ! 2(у 11 умз + 1 (МВ 1) ~ (2 48) Наконец, мы можем рассчитать также и изменение энтропии. Пользуясь уравнением (1.43в), можно выразить это изменение в форме вз ез 1 ~(рз) 1(т ~! (Ра) Если же использовать формулы (2.47) и (2.48) для определе- ниЯ йв/й, и Рз/Р„то полУчим е, — в, ! 2у 1з!(т-е) ! (у + 1) Мз ! — т!(т — з) (2.50) Эта формула станет более удобной, если положить М',— 1 = и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
